Нелинейность задач механики сплошной

Целью этой статьи является изложение некоторой идеологии возможных путей развития эффективных подходов к решению сложных нелинейных задач математической физики и выработки стратегии получения решений, основанной как на сочетании чисто вычислительных методов, так и на применении некоторых аналитических конструкций и результатов исследования качественных и аналитических особенностей нелинейных задач механики сплошной среды. В связи с этим будет рассмотрен также вопрос о теоретической подготовке математика-вычислителя, которая необходима для успешной работы в области решения задач инженерно-физического плана и эффективного использования современных ЭВМ для математического моделирования и прогнозирования параметров проектируемых машин и аппаратов. [c.14]

Вторая часть плана содержит набор из 9 лекционных курсов, из которых слушатель выбирает не менее двух. Список курсов по выбору состоит из механики сплошной среды (48 ч.), устойчивости движения (32 ч.), истории механики (32 ч.), нелинейных задач механики сплошной среды (32 ч.), релятивистской механики (32 ч.), линейной алгебры и тензорного анализа (32 ч.), вариационного исчисления (20 ч.), теории функций комплексного переменного (32 ч.) и теории вероятностей (16 ч). [c.57]

Обратим внимание также на работы, где содержатся обобщения принципа максимума Хопфа на случай нелинейных эллиптических уравнений второго порядка и даны его приложения к построению оценок в нелинейных задачах механики сплошной среды. Обзор работ указанного направления приведен в [201]. [c.214]

Книга посвящена описанию метода конечных элементов и его приложений к широкому классу нелинейных задач механики сплошных сред и строительной механики. Особое внимание уделено решению задач механики твердого тела, однако основы метода изложены с достаточной степенью общности, допускающей применение, например, к нелинейным задачам гидродинамики, электродинамики, теории дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрены также различные численные методы решения больших систем нелинейных уравнений. [c.6]

Задачи механики сплошных сред обычно формулируются в виде системы дифференциальных уравнений, например, таких, какие получены в гл. 3 для нелинейной теории упругости. Механические или физические характеристики непрерывного тела, такие, как перемещения, напряжения, деформации и т. д., считаются непрерывными функциями пространственных координат Xi, i = 1, 2, 3, а сплошное тело мысленно представляется совокупностью элементов бесконечно малого размера, как показано на рис. 3.1. [c.339]

Ответы, хотя бы частичные, на перечисленные семь вопросов, как уже отмечалось, будут существенно влиять на выбор оптимальной стратегии приближенного решения большой задачи. В этой связи отметим несколько современных тенденций развития численных методов решения нелинейных больших задач механики сплошной среды. [c.23]

Одно из перспективных новых направлений развития методов приближенного решения сложных многомерных задач механики сплошной среды связано с сочетанием применения как численных, так и аналитических подходов. Использование аналитических конструкций для выделения границ особенностей решений, для аппроксимации решений в областях достаточной гладкости, для построения решения в неограничен-ных областях позволяет в ряде случаев осуществить адаптацию приближенного метода к особенностям решения дифференциальной задачи и повысить тем самым эффективность и точность решения на ЭВМ сложных нелинейных задач механики. [c.225]

Филимонов М.Ю. О применении специальных рядов при решении смешанных задач для нелинейных уравнений в частных производных // Аналитические и численные методы исследования задач механики сплошной среды. 1987. [c.247]

Целью этого сообщения является, во-первых, краткое изложение основных аналитических подходов, широко используемых при анализе и конструировании решений нелинейных уравнений естественной конвекции, и, во-вторых, описание одной новой конструкции и ее возможностей для построения периодических решений пространственной конвекции. Изложенные здесь методы используются или могут быть использованы при решении широкого круга задач механики сплошной среды, которые описываются квазилинейными системами уравнений в частных производных. [c.371]

Сделанные выше ссылки относятся только к последним публикациям, которые используют МГЭ и на основе которых были получены весьма обш,ие алгоритмы решения задач многие другие исследователи решали частные задачи при помош,и очень сходных методов (см. список дополнительной литературы в конце настоящей главы). Большинство одно-, дву- и трехмерных задач механики сплошной среды (с учетом анизотропии, неоднородности и нелинейности), описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, успешно решались при помощи МГЭ. [c.16]

Основной идеей решения задачи является шаговый алгоритм. От шага к шагу могут изменяться время или внешние воздействия или то и другое одновременно. Существует возможность выполнять решение задачи теплопроводности или механики сплошной среды только на определенных шагах, что позволяет осуществлять несколько шагов задачи теплопроводности (например, при анализе тепловых процессов) на одном шаге механики сплошной среды, и наоборот после одного шага задачи теплопроводности может следовать несколько шагов задачи механики сплошной среды (например, при решении задачи теории ползучести в условиях стационарного теплового режима). На каждом шаге допускаются внутренние итерации для любой из задач с целью уточнения параметров линеаризованной задачи при учете нелинейностей. Поочередный выход на каждую из задач позволяет учитывать их взаимное влияние друг на друга. Связь между задачами и шагами по времени осуществляется с помощью специальных параметров и системы файлов, что позволяет при необходимости на определенном шаге прервать счет и затем его снова продолжить, начиная со следующего шага, изменив при этом в случае необходимости исходную информацию. Предусмотрена возможность решения частных случаев задачи только задачи теплопроводности или только механики сплошной среды. Любой из этих случаев приводит к сокращению объема входной информации и выдачи а печать. [c.90]

Решение задачи механики сплошной среды с учетом физической и геометрической нелинейностей методом конечных элементов [c.93]

В предыдущих разделах было показано, что задачи механики сплошной среды сводятся к уравнениям в частных производных, которые необходимо интегрировать при определенных начальных и граничных условиях. Значительные трудности решения этих задач связаны с нелинейностью основной системы уравнений, и от этой нелинейности зачастую не удается избавиться в интересных и важных прикладных проблемах. В связи с этим Б механике сплошной среды уже давно важное место занимают приближенные и численные методы решения, а в последнее время — компьютерное моделирование. [c.438]

При отборе материала для книги я не стремился к тому, чтобы дать исчерпывающий набор решений для всех типов нелинейных задач. Моей целью было описать общий и физически наглядный метод получения дискретных моделей сплошной среды и представить образцы применения этого метода к исследованию характерных нелинейных задач механики твердого тела. После усвоения основных принципов читатель сможет сам приложить метод к целому ряду не рассмотренных в книге задач. [c.7]

Заметим, однако, что обоснование в теории трещин — вопрос достаточно деликатный наличие стремящихся к нулю расстояний между берегами трещин затрагивает самые основы принципа сплошности, и в связи с этим первостепенное значение приобретает сравнение и анализ результатов, полученных на основе различных реологий и при разном характере геометрических и физических упрощений. Это делает необходимым последовательное изложение основ нелинейной механики сплошных сред, включая различные варианты реологических соотношений, с нацеленностью на разрушение. Представляется целесообразным также рассмотрение математических методов и математического аппарата, приспособленного к исследованию задач теории трещин, и решение характерных типовых задач, способных дать качественное объяснение изучаемому явлению. [c.6]

Сидоров А.Ф. Аналитические методы построения решений в нелинейных задачах пространственной конвекции // Механика неоднородных сред Обзорные доклады 6-й Всесоюзной школы по моделям механики сплошной среды. Алма-Ата, 1981. — Новосибирск, 1981. — [c.390]

Основу механики тел, содержащих трещины, обычно образуют два допущения трещину представляют в виде математического разреза в однородной сплошной среде среду полагают линейно упругой вплоть до разрушения. Это направление теории называют также линейной механикой разрушения (в отличие от нелинейной механики разрушения, где учитывают нелинейные свойства материала, в частности, пластические деформации у фронта трещин). Название линейная механика разрушения не вполне точно передает содержание ее предмета, поскольку все задачи механики разрушения, по существу, нелинейные (нахождение полей упругих напряжений вблизи трещин —предмет теории упругости, а не механики разрушения). В связи с этим употребляем, как правило, термины механика хрупкого разрушения и механика квазихрупкого разрушения в зависимости от того, считаем материал линейно упругим вплоть до разрушения или нет. [c.105]

Авторы постарались сделать книгу, по возможности, читаемой не только узкими специалистами, частично учтя замечание зарубежных коллег о необходимости размещать в книге как новые результаты, так и справочную информацию, облегчающую чтение. Поэтому в главах 1 и 2 излагаются максимально сжато основные соотношения нелинейной теории упругости и вязкоупругости и основы теории многократного наложения больших деформаций, а в приложениях III-VI приведены справочные материалы, облегчающие чтение глав, связанных с методами решения задач (хотя авторы и отмечают, что чтение будет более комфортным для читателей, знакомых с книгами Л.И. Седова Введение в механику сплошной среды и А.И. Лурье Нелинейная теория упругости , и что первые две главы они могут пропускать при чтении). [c.4]

Промежуточное место между линейной и нелинейной теорией занимает теория устойчивости трехмерных упругих тел, в которой учитываются напряжения и деформации, возникающие вследствие поворотов частиц. Впервые такого рода задачу устойчивости для сплошной сферы рассмотрел Л. С. Лейбензон. Позднее, в 30-х годах, появилась серия работ М. Био, отраженных затем в монографии (1965), где были рассмотрены многие задачи, относящиеся главным образом к геофизике и геодинамике. Он рассмотрел различные задачи статической и динамической потери устойчивости слоистых сред с учетом и без учета вязкости. Задачу об устойчивости упругой полосы решал А. Ю. Ишлинский. В последние годы интерес к этому направлению исследований возродился главным образом в связи с задачами механики грунтов. [c.261]

Другой общий подход к построению нелинейной механики сплошной среды, с привлечением основ термодинамики и электродинамики, развивается Л. И, Седовым. В основе этого подхода лежит введение дополнительных физических параметров в качестве искомых характеристик состояния и свойств среды. Седов дополнил соответствующий математический аппарат тензорного анализа, предложил общий вариационный принцип для исследования уравнений задачи и подошел (совместно со своими учениками) к построению новых моделей сплошной среды. [c.306]

Книга посвящена систематическому изложению одного изТновейших методов Численного анализа — метода конечных злементов — и его приложений к широкому классу нелинейных задач механики сплошных сред и строительной механики. [c.4]

В настоящее время большое внимание уделяется созданию адекватных моделей нелинейных процессов деформирования, связанных с большими деформациями, неупругим поведением материала и нелинейными динамическими волновыми явлениями в слоистых и композиционных материалах. Построение общих сложных моделей, как правило, сочетается с необходимостью разработки достаточно простых, но в то же время эффективных моделей описания процессов с требуемой точностью, выделением главных или ведущих параметров рассматриваемых процессов деформирования и созданием экономичных программ их численной реализации. При решении задач механики сплошных сред и деформирования элементов конструкций достаточно универсальными и широко распространенными являются метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностные методы (ВРМ), метод конечных разностей (МКР) в различных вариантах и сочетаниях с другими методами. В основу этих методов положено дискретное представление функций непрерывного аргумента и областей их определения, ориентированное на использование современных ЭВМ с дискретным способом обработки информацш, включая вычислительную технику новой архитектуры с векторными и параллельными процессорами. В механике, в частности в строительной, дискретное представление тел или конструкций в виде набора простых элементов имеет глубокие исторические корни, которые в свое время и послужили отправной точкой развития и обобщений МКЭ. [c.5]

В главе 1 кратко рассмотрены общие нелинейные соотношения механики сплошных сред, приведены необходимые обозначения и выделены две энергетические пары тензоров напряжений и скоростей деформаций, свертки которых определяют мощность внутренних сил. Обсуждаются подходы и методы решения задач численного моделирования динамических волновых процессов и разрушехшя. [c.6]

Кошур В. Д. Моделирование и расчет нелинейной динамики оболочек и удара о жесткую преграду Ц Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды.— Красноярск ВЦ СО АН СССР, 1986.— С. 44-51. [c.191]

Процедура VRUP выполняет решение задачи механики сплошной среды с учетом геометрической и физической нелинейностей. При этом она использует информацию о температурном поле, подготовленную процедурой VRT. Если температурные деформации не учитываются, такая информация процедурой не используется. При этом сокращается и исходная информация. Аналогичная проверка используется и в отношении упругопластических деформаций, а также деформации ползучести. В случае неучета геометрической нелинейности на какой-то из областей происходит упрощение функционала, что сокращает вычислительные затраты. [c.103]

Решение уравнений механики сплошных сред усложняются тем, что система уравнений нелинейна. Поэтому часто для решения задач механики сплошных сред использ)ТОтся методы подобия и размерности. [c.191]

Содержание гл. X в соответствии с нашим попимаинем проблемы устойчивости посвящено первой частп этой задачи — оценке числа форм равновесия оболочки при той пли иной нагрузке. В 38 сделана попытка проанализировать вторую ее часть — выяснить степень реальности той илп лной формы равновесия, если их несколько. Для этого раоота оболочки описывается с учетом статистических факторов, причем оказывается возможным нрп-нпсать той или иной форме равновесия вероятность пребывания в этой форме. В частном случае в качестве меры вероятности выступает уровень потенциальной энергии оболочки. Этим, в сущности, завершается намеченный план рассмотрения проблемы устойчивости пологих оболочек. Автор надеется, что книга окажется полезной исследователям и инженерам, работающим с тонкостенными конструкциями, а также математикам, интересующимся нелинейными проблемами механики сплошной среды. [c.8]

Пусть Wo есть особое решение. Иными словами, примем, что операторное уравнение (23.2) имеет о = 1 своим собственным значением. Общий анализ этих проблем заложен в фундазиенталь-ных трудах А. М. Ляпунова [49, 99], Э. Шмидта [104], Пуанкаре [101]. Подробное изложение вопроса мы находим в [16]. Применение метода малого параметра к широкому кругу задач механики сплошной среды для особого решения можно найти в [45, 46, 53]. В краевых задачах нелинейной теории пластин метод ветвления впервые был использован в работе П. Я. Полубариновой-Кочиной [59] в 1936 г., где рассматривалось послекритическое поведение прямоугольной шарнирно опертой пластины. В 1939 г. Фридрихе и Стокер рассмотрели послекритическое поведение сжатой пластины [89]. [c.206]

Иначе говоря, в теории упругости (линейной и нелинейной) и вообще в механике сплошной среды задачи исследования деформаций решаются с помощью феноменологических понятий и законов, т. е. осредненных п достаточно большим объемам параметров динамического и кинематического характера и связей между ними, подтверждаемых макроопытом. Взаимоотношения механики сплошной среды и физической теории строения вещества есть взаимоотношения между макро- и микрофизикой. [c.5]

В о р о в и ч И.И. Неединственность и устойчивость в нелинейной механике сплошной среды. Некоторые математические проблемы // Н ещенные задачи механики и прикладной математики Сб. статей. - М. МГУ, 1977. - С. 10-47. [c.204]

Подавляющую часть физических процессов и явлений, которые происходят в сплош ных средах (жидких, твердых, газообразных, типа плазмы и др.), можно описать с помо щью систем дифференциальных уравнений или интегродифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения — весьма сложный математический объект, особенно если они являются нелинейными, а именно учет нелинейных членов в урав нениях является зачастую решающим для описания очень важных эффектов механики сплошной среды. Надежное количественное описание таких эффектов является необхо димым элементом при проектировании самых различных машин и устройств, начиная от таких крупномасштабных объектов, как самолет, подводная лодка, ракета и кончая такими миниатюрными приборами, как интегральная схема, гибкий световод и т. п. Особенно существенно значение количественных характеристик явлений при оптимальном проек тировании конструкций, когда требуется добиться большей экономичности, дальности полета, минимального веса или улучшить другие аналогичные параметры. Так, например, проектирование летательных аппаратов, полет которых может проходить со скоростью, большей скорости звука, требует умения решать задачу об обтекании тела газовым пото ком в рамках нелинейных уравнений газовой динамики. Здесь в рамках линейных моделей не удается правильно описать эффект возрастания сопротивления при приближении ско зости полета к звуковой. Таких примеров можно было бы привести очень много. [c.13]

Основные уравнения механики сплошной среды нелинейны. Отметим прежде всего принципиальную разницу между методами решения линейных и нелинейных задач. Для однородных линейных уравнений работает принцип суперпозиции произвольная линейная комбинация частных решений линейного уравнения снова является решением исходного уравнения. Применение этого принципа позволяет строить решения с функ циональным произволом (если известны частные решения, зависящие от параметров) и тем самым решать широкий круг задач. Развитые для линейного случая методы ин тегрирования уравнений с постоянными коэффициентами, уравнений, коэффициенты которых не зависят от одного или нескольких независимых переменных, методы нахо ждения фундаментальных решений и еще целая серия [2] других методов, получили очень широкое распространение. Однако все они оказались фактически неприменимы к решению нелинейных задач. Отсутствие принципа линейной суперпозиции и каких либо других достаточно общих конструктивных принципов чрезвычайно осложняет аналитическое исследование нелинейных задач. [c.16]

Когда плотность газа становится достаточно низкой, так что средняя длина свободного пробега больше ие является- пренебрежимо малой по сравнению с характерным размером течения, результаты, полученные методами механики сплошной среды, требуют поправок, которые становятся все более и более значительными по мере увеличения степени разреженности. Если разреженность достаточно велика, то вместо механики сплошной среды необходимо пользоваться кинетической теорией газов, а вместо уравнений Навье — Стокса — уравнением Больцмана. Последнее представляет собой весьма сложное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, решение которого для практических задач осуш ествимо, по-видимому, только при помощи соответствующих приближенных математических методов. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...