Область определения оператора

Пусть и, и — произвольные функции из области определения оператора Л на основании (2.456), (2.453) имеем [c.117]

Для доказательства применимости теоремы 4.8 необходимо убедиться в том, что л непрерывен. Область определения оператора п —множество функций Т)- - Р Т) заметим, что из о е [c.190]

Далее введем понятие оператора, действующего в R. Если имеется правило, по которому некоторым элементам х R ставятся в соответствие элементы у, также принадлежащие R, то будем говорить, что задан оператор Т, и писать у = Тх. Совокупность тех элементов х, для которых введено это правило, носит название области определения оператора, а совокупность всех у — области его значений. Оператор Т называется ограниченным, если для любых двух элементов и Xj, принадлежащих его области определения, справедливо неравенство [c.69]

Область определения оператора 64 Обратной матрицы отыскания 90 Обращение ряда 306 Оператор 69, 194 [c.313]

Введем понятие оператора. Пусть в некотором пространстве имеется множество Оа и каждому элементу множества Оа поставлен в соответствие элемент ф некоторого множества / а однозначным образом. Тогда говорят, что задан оператор А, а само соответствие символически записывают в виде ф = Аф. Множество Оа при этом называется областью определения оператора А, а Rл — областью значений оператора. [c.127]

Область определения оператора будет состоять из функций, непрерывных вместе со своими первыми и вторыми производными в области П и удовлетворяющих условию (11.49). Тогда для любых двух функций U и i) из этой области можно образовать скалярное произведение в энергетическом пространстве [c.135]

Замечание. Уравнение (32) включает фактически и краевые условия через области определения операторов А и С [c.140]

Операторное уравнение (1) включает в себя не только дифференциальные уравнения, но и граничные условия (через область определения операторов). В дальнейшем множество функций, дифференцируемых по всем переменным должное число раз, интегрируемых с квадратом в области S и удовлетворяющих всем граничным условиям (как кинематическим, так и динамическим), обозначим через D (С). Это множество обычно совпадает с областью определения упругого оператора С, что учтено в обозначениях. В дальнейшем полагаем, что D (А) s D (С). [c.167]

Замечание 5. Для сходимости метода Бубнова - Галеркина достаточно потребовать полной непрерывности оператора С, положительной определенности оператора А и полноты системы базисных функций принадлежащих области определения операторов А и С (681 [c.184]

Условия применения метода. Метод применим, если оператор С вполне непре рывный, а оператор А положительно определенный. В этом случае элементы, принадлежащие области определения оператора С, могут быть представлены в виде разложения по собственным элементам оператора A, т, е. по нетривиальным решениям уравнения (6). [c.236]

Область определения решений и (х, t) уравнения (24) обычно совпадаете областью определения оператора С, общего для уравнений (22) — (24). [c.248]

Теоремы об устойчивости по вероятности. Пусть в окрестности х = О, t t(, существует непрерывная положительно определенная функция v (х, t), принадлежащая области определения оператора L и удовлетворяющая при х О условию Lv 0. Тогда решение х (t) =0 устойчиво по вероятности. [c.302]

Пусть Da—-область определения оператора Л и — еЫ область значений. Допустим, что соответствие между элементами Х>А и устанавливаемое оператором Л, яв,- [c.24]

Элемент Хп входит в область определения оператора Л, т. е. при любом натуральном п и любых коэффициентах а/ (l i n) Хп принадлежит Da. Критерии, которыми руководствуются при выборе коэффициентов а,-, могут быть различными. Поэтому мы имеем дело с различными модификациями проекционного метода. [c.155]

Элементы этой системы в отличие от координатной являются произвольными элементами гильбертова пространства Я и в общем случае не принадлежат области определения оператора А. [c.155]

Как следует из результатов 4, оператор К определен в Я = = ( г(Г)) операторы L и L — ъ ( " P(Г)) 0< 5 1, оператор М — в (С -Р(Г)) , 0<р 1, причем множества значений этих операторов принадлежат В. Заметим, что области определения операторов L, L, М плотны в Н. [c.73]

М не зависит от А, Н — норма в ) для всех к из области определения операторов Ь и Ь, то можно применить хорошо известные результаты теории возмущения спектра. В частности, если % — кратное собственное значение оператора Ь с кратностью ш и выполняется неравенство (8.3), то для достаточно малых значений комплексного параметра г оператор Ь + гЬ имеет тп изолированных собственных значений (не обязательно различных) [c.169]

Рассмотрим операторное уравнение (15) в общем случае, когда X и 2 могут принадлежать разным метрическим пространствам. Говорят, что задача решения операторного уравнения (15), в котором X Х г Z Х X и Х —-область определения оператора А, корректно поставлена по Адамару, если 1) решение задачи х существует для всех данных г Z 2) решение задачи единственно для тех же данных 3) решение непрерывно зависит в метрике X от вариаций правой части в метрике Z. [c.33]

Область определения оператора (О — все вещественные пх1 вектор-функции, у которых для каждого / = 1, 2,. .., п соответствующие компоненты - (1) на отрезке [О, Тд] непрерывны вместе со своими производными до порядков 2v, и удовлетворяют краевым условиям [c.87]

Каждую функцию из -пространства можно сколь угодно точно аппроксимировать (по норме) функцией / (г) или функцией к (р), для которой соответственно функция (г) или функция (р) принадлежит Р-пространству. Следовательно, хотя областью определения оператора кинетической энергии является не все -пространство, эта область всюду плотна в этом пространстве. [c.190]

Из сказанного следует, что вполне непрерывный оператор либо имеет конечное число собственных значений, либо нуль является их точкой сгущения. Если область определения оператора С имеет бесконечную размерность, то пуль должен принадлежать спектру этого оператора ([824], стр. 286, задача 9). Последнее означает, что оператор не может быть определен всюду [c.194]

Эрмитовыми операторами называются такие операторы, которые обладают следующим свойством для любых векторов и Ф из области определения оператора А, которая считается плотной в с1 -пространстве, имеет место равенство [c.195]

Такие операторы хорошо знакомы всем, кто имел дело с квантовой механикой, так что здесь достаточно ограничиться кратким рассмотрением их свойств. Если области определения операторов А и Л совпадают, то оператор А называется самосопряженным и можно просто писать [c.195]

Обратное утверждение здесь доказываться не будет (см. [8241, стр. 310). Допустим, что существует целое число п, такое, что область значений и нуль-пространство оператора (ао — /С)" являются взаимно дополнительными, а область значений оператора (ао — /С)" замкнута, и пусть т 1 — наименьшее из таких целых чисел. Тогда оператор резольвенты (а — К) имеет в точке ао полюс порядка т. Если областью определения оператора К является все ( -пространство и /С — вполне непрерывный оператор, то каждая ненулевая точка спектра является полюсом ([8241, стр. 311). По существу этот результат вытекает из факта конечности верхнего и нижнего индексов вполне непрерывного оператора. [c.201]

Показать, что если область определения оператора А является плотной в гильбертовом пространстве, то нуль-пространство сопряженного ему оператора является ортогональным дополнением к области значений оператора А. [c.204]

Область определении оператора 123 [c.250]

В случае областей О со сложной геометрией, когда задачу на собственные значения не удается решить точно, обращаются к методу конечных элементов [226]. Указанный метод основан на том, что дискретизацию исходной краевой задачи можно строить на функциях, лежащих за пределами —области определения оператора Ь. Идея метода состоит в замене пространства конечномерным подпространством пробных функций, лежащих в которое строится следующим образом. Область О делят на части, в каждой из которых прибегают к полиномиальному или даже линейному представлению пробных функций с соблюдением условий непрерывности на границах раздела. В связи с этим уместно отметить, что метод Галеркина применяется и к решению задач на собственные значения Ьи = %и. Идея состоит в использовании отношения Рэлея [c.12]

Доказательство. Это следует из того факта, что каждый вектор лежит в области определения операторов [c.183]

Пусть А — линейный оператор, определенный на элементах линейного многообразия 2)(А) гильбертова пространства Ж и принимающий значения в Ж. Многообразие (А) называется областью определения оператора А, а линейное многообразие 1 (А) = АФ Ф S) А)) —областью значений оператора А. Пусть В — оператор, определенный аналогично оператору А. Если E>(A) содержится в 3) В) и ЛФ==БФ для всех Фе (Л), то оператор А называется сужением оператора В на (Л), а оператор В — расширением оператора Л на Ю В). Пусть Л и Л —два линейных оператора, определенных в Ж Л — на 2)(А), а Л — на (Л ). Операторы Л и Л называются сопряженными, если (W, ЛФ) = (Л Ч , Ф) при всех Фе (Л) и всех е А ). Говорят, что линейный оператор Л имеет всюду плотную область определения )(А), если замыкание (Л) по норме, заданной в Ж, совпадает с гильбертовым пространством Ж. Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то существует единственный линейный оператор Л, называемый максимально сопряженным с Л, такой, что любой оператор А, сопряженный с Л, совпадает с сужением оператора Л на некоторое линейное многообразие (А ), содержащееся в (Л ). Линейный оператор В называется замкнутым, если для каждой последовательности Ф из S) B), элементы Ф которой сходятся (по норме) к некоторому вектору Ф Ж, их образы 6Ф сходятся (по норме) к некоторому вектору Т е и при этом Ф З) В) и ЙФ = Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то Л — замкнутый оператор. Оператор Л с всюду плотной областью определения называется симметричным, если 3) А) содержится в S) A ) и Л совпадает с сужением оператора Л на (Л). В этом случае оператор Л есть замкнутое симметричное расширение оператора Л и называется замыканием оператора Л. Говорят, что линейный оператор Л самосопряженный, если он симметричен и, кроме того, удовлетворяет условию (Л) — 2Е> А ). Вообще говоря, у симметричного оператора может быть не одно, а несколько самосопряженных расширений. В частности, симметричный оператор Л называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряженно. В этом случае Л допускает лишь одно самосопряженное расширение, а именно А . Говорят, что линейный оператор Л ограничен (в области определения), если существует конечная положительная величина М, такая, что при всех Фе (Л) выполняется неравенство ЛФ М. В противном случае оператор Л называется неограниченным. Линейный оператор Л допускает (единственное) ограниченное расширение на подпространство (Л) [замыкание (Л) по норме] в том и только в том случае, если он ограничен на S)(A). Если оператор Л имеет всюду плотную область определения и ограничен на ней, то его можно неявно [c.21]

Определим теперь Л1 Лг . .. Лд, как оператор (Л,), сопряженный с оператором Л,. Область определения оператора (Л,), очевидно, содержит линейное многообразие, порожденное в Ж прямым произведение (Л ) X X .. X и, следовательно, плотна в Ж. Таким образом, Л[ X Л X. ... .. X линейный оператор ь Ж с всюду плотной областью определения. Имея в виду нашу главную цель, рассмотрим случай, когда все Ж1 в приведенном выше определении являются тождественными экземплярами одночастичного пространства Ж а действующие в них операторы Л, — одночастичными операторами. В частности, каждому линейному замкнутому оператору Л<" в 5 " с всюду плотной областью определения мы сопоставим в Ж операторы [c.25]

Прежде всего необходимо признать, что первичным объектом теории служат поля и их средние значения. В пространстве Фока полевые величины Р 1) появляются как операторы, определение которых удовлетворяет всем требованиям современной математической строгости. Линейное многообразие 9 (определенное в приведенной нами конструкции пространства Фока) плотно в Ж, содержится в области определения операторов Р () и устойчиво относительно их действия. Рассмотрим более подробно сужения операторов Р 1) на 3 . Образуем все конечные линейные комбинации и произведения этих сужений. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что полученные операторы вместе с тождественным оператором I образуют алгебру, которую мы обозначим символом 91. Определим состояния как нормированные линейные функционалы (ф ) на Я. Рассматриваемая ками задача столь проста, что о введении топологии на 91 можно не заботиться. [c.37]

Чтобы уйти от вопроса относительно области определения операторов, который при абстрактном рассмотрении требует весьма громоздких рассуждений, введем унитарные операторы [c.122]

Аналогичный вид имеет естественная область определения оператора йу. Заметим далее, что линейное многообразие 3), служащее линейной оболочкой векторов Фп т [п] , плотно в содержится в пересечении областей [c.339]

Оператор Z симмегтричен, т.е. если U и U входят в область определения оператора, то [c.217]

Очевидно, оператор сжатия всегда непрерглвен. Так, если Хп и х принадлежит области определения оператора и Хп-ух, то из неравенства - [c.56]

За область определения оператора у (/) возьмем множество всех вещественных функций, которые на отрезке [О, То] непрерывны вместе со своими производными до порядков 2v, и удовлетворяют приведенным краевым условиям. Множество будем рассматривать лежащим в гильбертовом пространстве 2 Ю, То] вещественных функций. Это множество всюду плотно в 2 [О, Тд]. Можно показать (см., например, работу 16]), что дифференциальный оператор вида Ьц Ц) с областью определения является симметричным положительно определенным оператором в пространстве 1 Ь [О, Тд]. Причем Ьцкц, кц)с > для всех кц Оьц, где Ьцкц = Ь1 ( ) 1кц (1)], [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...