Резольвента теория

В теории интегральных уравнений Вольтерра второго рода функция T(i) называется ядром уравнения (5.12), а функция /С(/) —его резольвентой. Если для ядра Т(0 найдена резольвента K t), то уравнение (5.11) называется решением уравнения (5.12), и, наоборот, уравнение (5.12) будет решением уравнения (5.11), если для ядра К (t) уравнения (5.11) найдена резольвента T(t). Уравнение (5.12) можно записать в краткой форме [c.220]

Остановимся вкратце на случае, когда среда несжимаема (о = 0,5). Будем рассматривать этот вопрос только с позиций интегральных уравнений. Дело здесь усложняется тем, что значение а = 0,5 является вырожденным для дифференциальных уравнений. Интегральные уравнения теории упругости для несжимаемой среды совпадают (с точностью до физического смысла) с уравнениями линеаризованного течения вязкой жидкости [230]. Эти уравнения являются регулярными, и в дополнение к полюсу резольвенты в точке к = —1 возникает еще полюс в точке Я. = 1. Это обстоятельство очевидно, поскольку для несжимаемой среды постановка задачи 1+ возможна лишь при условии [c.565]

В уравнение не введен параметр А, поскольку в этом параграфе не строится теория резольвенты. [c.590]

Свойства обратного (по параметру х) преобразования Лапласа, связующего решение нестационарных н стационарных задач, определяются резольвентами задач дифракции. При реализации этой связи методами контурного интегрирования на комплексном многообразии [148, 150] естественно возникает вопрос об особенностях аналитического продолжения резольвенты задачи дифракции с действительной оси. Он рассматривается в рамках спектральной теории решеток, изучающей задачи дифракции при комплексных значениях частотного параметра х [25, 62, 66, 80, 151]. При этом в отличие от традиционных задач дифракции основное внимание уделяется не регулярным точкам х, где соответствующие операторы ограничено обратимы, а дополнительному к ним множеству — спектру, изучению характера особенностей и закономерностей их распределения в комплексном пространстве [152—187]. [c.10]

ПО степеням Л. Удобнее, однако, построить теорию возмущений для оператора резольвенты [129, 176] [c.108]

Уравнение (7.3.15) можно назвать основным кинетическим уравнением для системы в термостате. Оно справедливо при любой интенсивности взаимодействия между системой S и термостатом. Конечно, в общем случае явное выражение для ядра (7.3.16) является чрезвычайно сложным. Приближенное основное кинетическое уравнение можно получить, применяя теорию возмущений к резольвенте оператора эволюции примерно так же, как это делалось в разделе 7.2.1. [c.119]

В 7 развита теория сингулярной резольвенты и заново доказаны теоремы Фредгольма для интегральных уравнений первой и второй граничных задач классической теории упругости. [c.123]

Мы получили теорему, аналогичную первой теореме Фредгольма существует сингулярная резольвента N (х, у х), мероморфная функция параметра х(5 П, удовлетворяюш ая функциональным уравнениям (7.55) и (7.56) и такая, что для УС и отличных от полюсов N (х, у х), уравнение (7.37) имеет решение, единственное и представимое формулой [c.190]

Развить теорию резольвенты и с ее помощью доказать теоремы Фредгольма для уравнений третьей и четвертой статических (колебательных) задач классической теории. [c.199]

Развить теорию резольвенты и с ее помощью доказать справедливость теоремы, Фредгольма для уравнений всех шестнадцати основных задач (см. гл. IX) моментной теории упругости. [c.199]

С помощью теории резольвенты установить свойства дифференцируемости решений сингулярных интегральных уравнений и доказать теоремы вложения. [c.199]

Резольвента и резольвентная функция. Теория интегральных уравнений переноса излучения для случая плоского слоя развивалась почти одновременно с теорией для полубесконечной среды [73]. Многие соотношения для конечного слоя являются прямыми обобщениями соответствующих соотношений для полубесконечной среды. Рассмотрим резольвенту основного интегрального уравнения. [c.129]

Аппроксимация ядра х (i — т) с помощью экспоненциальных функций позволяет простыми средствами обращать соотношения (2.25), т. е. находить резольвенты соответствующих ядер. При решении задач вязкоупругости используется принцип, сформулированный В. Вольтерра и заключающийся в том, что решение задачи обычной теории упругости может быть трансформировано в решение соответствующей задачи теории вязкоупругости, если заменить упругие константы операторами. Расшифровка появляющихся при этом функций от операторов в принципе всегда выполнима, если эти функции рациональны. В противном случае возникают определенные трудности. Следует заметить, что принцип Вольтерра применим лишь тогда, когда вид граничных условий остается неизменным (он непригоден, например, для задач о движущемся штампе). [c.131]

Функциональные уравнения резольвенты. Первая теорема Фредгольма. Задача, которая встает перед нами после того, как указан способ регуляризации системы уравнений, состоит в доказательстве того факта, что для этой системы остаются в силе основные теоремы и альтернатива Фредгольма. При доказательстве этого мы будем следовать Жиро, иногда внося в его рассуждения существенные изменения и дополнения, отличающие теорию систем от теории одного уравнения, которая была исследована Жиро. [c.141]

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 155 [c.155]

Элементы теории резольвенты. Результаты, установленные в предыдущих параграфах, позволяют развить для резольвенты сингулярной системы (5.12) теорию канонических ядер и главных функций, аналогичную теории Гурса для резольвенты уравнений Фредгольма для одного уравнения это показал Жиро [10а, б]. [c.155]

I 12] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ 157 [c.157]

Из формул, установленных в этом параграфе, так же. как это делается для обычных уравнений Фредгольма. можно получить теорию главных функций и канонических ядер для наших сингулярных уравнений. На этом мы не будем останавливаться в общем случае, когда х = Хо есть кратный полюс резольвенты, и рассмотрим детально только случай простого полюса. С точки зрения приложений в теории упругости именно этот случай представляет наибольший интерес задачи теории упругости, как будет показано в 1 и 2 гл. VI, приводят к таким уравнениям, которые допускают только простые полюсы соответствующих резольвент. [c.157]

И. Исследование полюсов резольвенты. Из теорем 11 и 12 предыдущего параграфа очевидно, что при некоторых значениях параметра 11)2 х= — 1 есть характеристическое число для уравнения [c.195]

Теория Фредгольма. Обратимся теперь к применению теории Фредгольма. В своей первоначальной форме метод Фредгольма не применим, поскольку оператор К (и Ж) на главной диагонали, т. е. при г = г, обращается в бесконечность. Как показано в гл. 9, 3, эту трудность можно обойти либо путем вытаскивания ядовитого зуба , либо итерируя оператор К. В первом случае мы строим ядро резольвенты, используя (9.84) и (9.85). Во втором случае с помощью первоначального метода Фредгольма мы строим оператор (1 — Однако поскольку оператор К (г, г ) не ограничен при г->- г, то в любом случае для доказательства сходимости ряда, полученного первым методом, нужно использовать ряд, полученный вторым методом. Запишем оператор Ж в виде [c.269]

Интегральное уравнение (2.24) при Я=1 соответствует второй основной задаче для совокупности областейDI,. ..,От когда решение разыскивается в виде единого потенциала простого слоя, распределенного по всем поверхностям. Собственные функции союзного уравнения соответствуют решению первой основной задачи для области О. Используя обобщенную теорему Гаусса (1.19), не составляет труда показать, что смещение как жесткого целого каждой из поверхностей 5/ (/ = = 0) есть собственная функция. Поэтому в отличие от случая, когда область ограничена одной поверхностью, точка X = 1 является полюсом резольвенты. [c.567]

Отметим еще одно обстоятельство. Расчеты показали (и это обстоятельство находится в соответствии с выводами, следующими из теории резольвенты), что, начиная с некоторого значения п, функции (fniq) ведут себя во всех точках как члены геометрической прогрессии с единым знаменателем (определяемым расположением второго полюса резольвенты). Поэтому при невысокой степени сходимости можно, установив достоверную величину знаменателя, аналитически просуммировать прогрессию и получить тогда точное значение плотности. [c.575]

Это операторное тождество вполне эквивалентно известному ряду Неймана для резольвенты. В теории интегральных уравнений доказывается сходимость ряда Неймана для любых ограниченных ядер К. Здесь мы заметим, не приводя доказательства, что ряд Неймана сходится, если итерированные ядра становятся ограни-ченпыми, начиная с некоторого номера. В частности, если ядро имеет особенность вида (i —т) , 0<а<1, то ряд Неймана сходится. [c.578]

В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г (Х) будем называть резольвентным оператором, порождаемьш оператором К. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г ( .) [c.579]

Чтобы при помощи преобраловапия Л получить функцию Ляпунова (уравнение (36)), необходимо тщательно исследовать сингулярности резольвенты, соответствующей оператору Лиувилля (21). Можно показать, как это недавно сделали Теодосопулу и др. [24], что при небольших отклонениях от термодинамического равновесия функционал Ляпунова И (уравнение (36)) сводится к макроскопической величине S" S (уравнение (9)). Кроме того, при этом во времени эволюционируют только величины, удовлетворяющие закону сохранения. Это означает, что нам удалось в самой общей форме, по крайней мере для онзагеров-ской области, установить взаимосвязь между термодинамикой необратимых процессов и статистической механикой. Следует подчеркнуть, что, по существу, это означает дальнейшее расширение применимости результатов, давно полученных в рамках теории Больцмана, справедливой для разреженных газов (25). [c.152]

А. с(.г, х ) u x )dx, к к-рому можно применить теорию Фредгольма. Задача Lu — ku н.мест не более счётного числа собстн. значений Aj, л.2, Яз,. . , , нее К вещественны и не имеют коничпы.ч точек сгущения. Если комплексное число h не является собств. значением оператора L, то мож-но построить Г, ф. G x, х л) оператора L—I.I, где I — единичный оператор. Ф-цпя G(x, х Я), паз. резольвентой оператора L, является м е р о-м о р ф п о й ф у и к ц и с й параметра "к, причём её полюсами служат собств. значения оператора L. Т. о., снсктр оператора L можно найти, изучая его резольвенту С(х, х Я), [c.537]

С помощью дифференц. выражений формулируют и дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования, единственности, зависимости от нач. данных для решений дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке свойств д. о. как вопросы об области определения, ядре, непрерывности обратного оператора. Нанр., теоремы существования решений доказывают с номон(ью метода сжатых отображений — классич. метода теории операторов. Существенную информацию дают исследование спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложение по ого собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о. Наиб, развита теория линейных Д. о., к-рые вооби ,е являются важнейшим примером неограниченных операторов (см. Линейный оператор). Б дифференц. геометрии и физ. приложениях особую роль играет класс Д. о., не меняющихся или меняющихся спец. образом при действии на дифференц, выражение преобразований из пек-рой группы (см., напр., Ковариаптпая производная, Лапласа оператор). Д. о. служат для описания структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщённую функцию медленного роста можно представить как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию степенного роста. [c.684]

Так как таким же свойством обладает и оператор, 55 , естественно объединить эти операторы. Далее нетрудно построить все операторы эволюции общей теории, онисываюпще поведение системы в постоянном внешнем поле. В частности, невозмущенную резольвенту теперь следует заменить на [c.212]

Линеаризуем все операторы, входяпще в теорию. Резольвента % (z) удовлетворяет уравнению [c.214]

Ядро К (О можно найти из опыта на ползучесть, после чего резольвенту Г( ) — из (20.8). Но резольвенту T t) можно также найти из опыта на релаксацию и проверить соответствие опыта и теории. Ядра /Сь Ti определять трудно, так как полимерные материалы малосжимаемы. При условии несжимаемости (/С= оо, [c.245]

Для операторов классической теории упругости, термоупругости и моментной упругости оказалось возможным построить теорию регуляризации и доказать основные теоремы Фредгольма более элементарно, на базе исследования так называемых функциональных уравнений резольвенты такое исследование было начато в работе Giraud [1, 2], продолжено и дополнено в книге Купрадзе [13] эти результаты изложены в 7 настоящей главы. [c.199]

Так как и —союзные системы линейно независимых решений, соответствуюш,их простому полюсу резольвенты (см. теорему 4.3), их можно считать биортонормированными (см. теорему IV, 7.1). Тогда уравнение (5.11) разрешимо. Пусть ф есть его решение. [c.266]

Однако эта функция не приводится к суперпозиции экспонент, и поэтому теория, изложенная в главе 3, приложима к рассматриваемому случаю не полностью. Выполняются равенство Гоо (т", ri) = Фоо( г Ti ) и соотношения Соболева, выражающие резольвенты уравнений для полубесконечной и конечной сред через резольвентные функции. Можно ввести преобразования Лапласа от резольвенты и резольвентной функции, в частности Н-функцию. Остаются справедливыми выражения для двустороннего преобразования Лапласа от Фс ) и соотношение Винера—Хопфа, а также уравнения, содержащие производные по толщине слоя го- Однако преобразование Лапласа от ядерной функции не является интегралом типа Коши. Явное выражение для ii-функции можно записать в том же виде, что и для неподвижной среды, но обратить преобразования Лапласа от резольвентных функций и представить их в виде, удобном для вычисления и исследования, в общем случае не удается. Поэтому асимптотическую теорию для рассеяния в дви-жухщосся средах нельзя построить так, как это было сделано для сред без учета их движения. [c.246]

Эти функции были названы дробно-экспоненциальными. Если принять 5-функцию за ядро ползучести и релаксации, то, как оказывается, существенные особенности ядер (6.1) и (6.2) сохраняются. Однако операторы с ядрами, сконструированными из -функций, обладают некоторой специальной алгеброй, резольвенты их образованы из функций того же класса с параметрами, вычисляемыми по простым правилам. Свойства с -опера-торов изучались в работах М. И. Розовского, И. И. Круша, Н. Н. Долининой, Е. С. Синайского был установлен ряд теорем о произведениях этих операторов, о нахождении обратных операторов и т. д. М. И. Розовский (1959) установил связь 5-функций с функциями Миттаг-Леффлера. Асимптотика -9-функций изучалась Б. Д. Анниным (1961). Г. И. Брызгалиным [c.150]

Одним из основных вопросов в теории вязкоупругости является выбор ядер интегральных уравнений (1.5) и (1.6), нахождение резольвент, а также достоверное определение их параметров. Анализ экспериментальных кривых ползучести показывает, что прн малых t деформация после приложения нагрузки быстро нарастает, так что вначале кривая ползучести практически сливается с осью ординат. Попытки определения фактической скорости ползучести в опыте при о — onst для очень малых t оканчиваются неудачей, так как или скорость ползучести остается больше той, какая может быть измерена применяемыми регистрирующими приборами, или не удается исключить колебательные явления. В связи с изложенным многие исследователи пришли к заключению, что функция ползучести для реального материала должна обязательно иметь слабую (интегрируемую) особенность. Поэтому заметна тенденция использовать для анализа реологических задач ядра интегральных уравнений, имеющие слабую особенность при t =0. Систематизация таких ядер" и их резольвент проведена в работе [95] (табл. 1.1). Отметим, что дробноэкспоненциальная функция Ю. Н. Работнова может использоваться не только как ядро релаксации, но и как ядро ползучести, например, когда материал обнаруживает ограниченную во времени ползучесть. Использование ядра Эа для решения практических задач представляется особенно перспективным в связи со следующими обстоятельствами. Во-первых, на их основе Ю. И. Работновым [138] и М. И. Розовским [149, 150] разработан метод решения задач линейной вязкоупругости с применением принципа Вольтерры. Этими авторами создана алгебра операторов, согласно которой можно производить математические действия умножения, деления и т. д. над выражениями, содержащими интегральные операторы. Дальнейшее развитие алгебры операторов имеется в работах [65, 155]. Во-вторых, Эа — функции протабулированы и изданы отдельной книгой [142]. В-третьих, разработан достаточно эффективный метод определения параметров Эа — функции для реального материала на ЭВМ [126, 163]. [c.21]

Р. Я. Ивановой [23] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке при исходных физических интегральных зависимостях наследственного типа. Предполагалось, что движение катка начинается в момент времени —оо и продолжается с постоянной скоростью объемное последер вие отсутствует. Путем привлечения принципа Вольтерра задача решалась в рамках теории упругости с помощью метода Н. И. Мусхелишвили [38]. Полученные при этом два сингулярных уравнения типа Фредгольма содержат реологический оператор, который выражается через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. После введения подвижной системы координат и замены дуги окружности катка дугой параболы одно из этих интегральных уравнений, которое соответствует мнимой части соотношения Мусхелишвили, удалось привести к форме, даюшей возможность решить его по методу Карлемана. Для конкретности резольвента ядра наследственности была взята в внде совокупности простых экспоненциальных ядер. Даже в этом случае получение численного результата было связано со значительными вычислительными трудностями. Решение выписано в квадратурах вычисление их осуществлялось приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации. [c.403]

Докажем ряд теорем относительно свойств резольвент этих уравнений. Эти свойства аналогичны известным свойствам резольвент интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана в теории гармонических функций, а метод их доказательств аналогичен методу доказательств для гармонических функций, ставшему теперь классическим (см., например, [12]). [c.163]

Теоремы существования, которые мы доказали выше, опираясь на теорему о простоте полюсов резольвенты, могут быть доказаны и в том случае, когда полюс резольвенты не предполагается простым. Для интегральных уравнений Фредгольма и для задач о колебании мембраны и об упругих колебаниях это было показано автором в работах [13а, д.]. Позже (1952 г.) к тем же результатам в частном случае задачи Дирихле и только для уравнения мембраны пришел Вейль в работе [46]. Для того чтобы указанный метод распространить на системы сингулярных интегральных уравнений, необходимо теорию этих уравнений, изложенную в гл. V, дополнить теорией главных функций и канонических ядер Гурса [7], что, конечно, нетрудно сделать. Мы, однако, на этом не останавливаемся, так как в теории упругости, как мы видели, случаи полюсов высших порядков не встречаются. [c.205]

Квантовомеханическая теория начинается с детального и наиболее строгого из имеющихся в литературе изложения формальной теории двухчастичного потенциального рассеяния во временной и стационарной трактовках (гл. 6 и 7). Ньютон вводит меллеровские операторы, 8-матрицу, а также Т- и К-матри-цы. Для более отчетливой формулировки возникающих при этом математических проблем автор приводит два специальных математических раздела, посвященных вопросам функционального анализа. Подробно рассмотрены спектр оператора Гамильтона, представления о сильной и слабой сходимости, сходимости по норме, аналитичность резольвенты, определение и свойства вполне непрерывных (компактных) операторов. [c.6]

Строго говоря, нужно было бы записывать а — /С в видеа — ЛГ, но мы не будем в этом пункте очень педантичными. Отметим, что в теории интегральных уравнений твеличица аК (а — К) также называется резольвентой оператора К- [c.189]

Существенным здесь является то, что уравнение (12.4) оказывается интегральным уравнением Вольтерра и, следовательно, его можно решать методом итераций при очень общих условиях, лишь бы эти условия не зависели от константы у. В рамках теории Фредгольма это объясняется треугольностью ядра. [Такое ядро — обобщение понятия треугольной матрицы К х, х ) — О при х С х. В силу треугольности определитель Фредгольма тождественно равен единице. Следовательно, резольвента должна быть целой аналитической функцией у. Заметим, что для ядра [c.309]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...