Резольвента уравнения Фредгольма

Резольвента уравнения Фредгольма 1 (1-я) - [c.239]

Резольвента уравнения Фредгольма. Решение уравнения Фредгольма второго рода даётся формулой [c.258]

Резольвента уравнения Фредгольма представляет собой частное двух целых функций параметра X [c.258]

Для достаточно малых по модулю значений X резольвента уравнения Фредгольма определяется рядом Неймана [c.259]

Пусть П и отлично от полюсов резольвенты уравнения Фредгольма (7.40). Решение его представим в виде [c.188]

Элементы теории резольвенты. Результаты, установленные в предыдущих параграфах, позволяют развить для резольвенты сингулярной системы (5.12) теорию канонических ядер и главных функций, аналогичную теории Гурса для резольвенты уравнений Фредгольма для одного уравнения это показал Жиро [10а, б]. [c.155]

Что же касается решения со (х), то оно может быть построено лишь в том случае, если [ (х) удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Это следует из того, что уравнение (7.87) есть уравнение Фредгольма с непрерывным ядром у (х, у 0), и из соотношения (7.75) видно, что его резольвентой служит у (х, у х). Следовательно, х == х , как полюс резольвенты, есть характеристическое число уравнения (7.87) и по третьей теореме Фредгольма для разрешимости этого уравнения достаточно выполнения условий [c.195]

Вопрос о сходимости к Ki при q— оо, например, в пространстве 2, т [О, Го1 может быть рассмотрен на основе результатов, полученных в статье [2] для скалярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. На основе результатов этой же статьи при необходимых предположениях просто получается оценка нормы разности в пространстве Д т [О, Тд] между K f и /С,-через норму резольвенты ядра Hi (t, т), норму правой части исходного уравнения, норму разности Я, (t, т) и Я,- (t, т) кроме того, может быть получена оценка нормы разности между К Ki в про-94 [c.94]

Для любых конечных значений / на плоскости П, не являющихся полюсами резольвенты уравнения (5.39), решение уравнения (5.13), согласно первой теореме Фредгольма, может быть представлено в виде [c.142]

Из формул, установленных в этом параграфе, так же. как это делается для обычных уравнений Фредгольма. можно получить теорию главных функций и канонических ядер для наших сингулярных уравнений. На этом мы не будем останавливаться в общем случае, когда х = Хо есть кратный полюс резольвенты, и рассмотрим детально только случай простого полюса. С точки зрения приложений в теории упругости именно этот случай представляет наибольший интерес задачи теории упругости, как будет показано в 1 и 2 гл. VI, приводят к таким уравнениям, которые допускают только простые полюсы соответствующих резольвент. [c.157]

Так как мы допустили существование решения, то, очевидно, существует вектор и х), который удовлетворяет равенству (7.9), рассматриваемому как интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Принимая Ф х) за правую часть этого уравнения, можно его решение представить с помощью первой теоремы Фредгольма, если только существует резольвента Фредгольма, соответствующая ядру Г( )(лг, у). [c.208]

Это уравнение называется союзным или транспонированным к уравнению (2.1). Очевидно, что резольвента союзного уравнения получается из резольвенты исходного уравнения перестановкой аргументов х к у, поэтому они имеют одинаковый определитель Фредгольма, а значит, и совпадающие полюсы. [c.39]

Таким образом, правая часть в (2.16) есть положительная величина, а левая — отрицательная. Поэтому отношение (1—Яо)/(1+Хо) есть число отрицательное. Следовательно, А.о 1. С другой стороны, точка Х=1 соответствует задачам 1+ и П , решения которых единственны. Если же допустить, что эта точка есть полюс резольвенты, то пришли бы к неединственности краевой задачи. Другое дело точка Х = —1, соответствующая задачам 1 и И+. Если бы эта точка не была полюсом резольвенты, то интегральное уравнение задачи 11+ было бы разрешимо при произвольной правой части, а тогда и краевая задача была бы всегда разрешима, но это противоречит теореме существования. Следовательно, точка X = —1 обязательно является полюсом резольвенты. Поскольку же уравнение задачи И является союзным (а альтернативы Фредгольма выполняются), то и здесь интегральное уравнение будет разрешимо лишь при определенных краевых условиях, хотя для исходной краевой задачи они не являются необходимыми ). [c.564]

В 7 развита теория сингулярной резольвенты и заново доказаны теоремы Фредгольма для интегральных уравнений первой и второй граничных задач классической теории упругости. [c.123]

Функциональные уравнения резольвенты. Первая теорема Фредгольма. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение с оператором (7.2) [c.187]

Мы получили теорему, аналогичную первой теореме Фредгольма существует сингулярная резольвента N (х, у х), мероморфная функция параметра х(5 П, удовлетворяюш ая функциональным уравнениям (7.55) и (7.56) и такая, что для УС и отличных от полюсов N (х, у х), уравнение (7.37) имеет решение, единственное и представимое формулой [c.190]

Таким образом, задача сводится к решению уравнений (7.87) и (7.88). Уравнение (7.88) есть уравнение с сингулярным ядром А (х, у 0), и его резольвентой, согласно (7.76), является А (х, у х) поэтому не является характеристическим числом для уравнения (7.88), и его решение находится по первой теореме Фредгольма, уже доказанной выше. [c.195]

Развить теорию резольвенты и с ее помощью доказать теоремы Фредгольма для уравнений третьей и четвертой статических (колебательных) задач классической теории. [c.199]

Развить теорию резольвенты и с ее помощью доказать справедливость теоремы, Фредгольма для уравнений всех шестнадцати основных задач (см. гл. IX) моментной теории упругости. [c.199]

Выразив, далее, (х, т), с помощью резольвенты Фредгольма, как решение уравнения (2.20) и замечая, что в полуплоскости как правая часть уравнения, так и резольвента суть аналитические функции т для [c.337]

Выразив решение уравнения (4.26) по первой теореме Фредгольма, и заметив, что как резольвента, так и правая часть — аналитические функции X в полуплоскости Пае, приходим к выводу об аналитичности решения, [c.409]

Функциональные уравнения резольвенты. Первая теорема Фредгольма. Задача, которая встает перед нами после того, как указан способ регуляризации системы уравнений, состоит в доказательстве того факта, что для этой системы остаются в силе основные теоремы и альтернатива Фредгольма. При доказательстве этого мы будем следовать Жиро, иногда внося в его рассуждения существенные изменения и дополнения, отличающие теорию систем от теории одного уравнения, которая была исследована Жиро. [c.141]

Пусть / принимает на П значения, отличные от полюсов резольвенты этого уравнения. По первой теореме Фредгольма находим [c.145]

Третья теорема Фредгольма. Пусть х = Хц есть полюс резольвенты и собственное число однородного уравнения (5.12°). Предположим сначала, что уравнение [c.158]

Уравнение (5.83) есть уравнение с сингулярным ядром А(х, у 0) его резольвентой, согласно (5.69), является А х, у х), поэтому х = у.ц пе является собственным числом для уравнения (5.83), и решение этого уравнения находится по первой теореме Фредгольма. доказанной для сингулярных уравнений в 9. [c.159]

Теоремы существования, которые мы доказали выше, опираясь на теорему о простоте полюсов резольвенты, могут быть доказаны и в том случае, когда полюс резольвенты не предполагается простым. Для интегральных уравнений Фредгольма и для задач о колебании мембраны и об упругих колебаниях это было показано автором в работах [13а, д.]. Позже (1952 г.) к тем же результатам в частном случае задачи Дирихле и только для уравнения мембраны пришел Вейль в работе [46]. Для того чтобы указанный метод распространить на системы сингулярных интегральных уравнений, необходимо теорию этих уравнений, изложенную в гл. V, дополнить теорией главных функций и канонических ядер Гурса [7], что, конечно, нетрудно сделать. Мы, однако, на этом не останавливаемся, так как в теории упругости, как мы видели, случаи полюсов высших порядков не встречаются. [c.205]

Для операторов классической теории упругости, термоупругости и моментной упругости оказалось возможным построить теорию регуляризации и доказать основные теоремы Фредгольма более элементарно, на базе исследования так называемых функциональных уравнений резольвенты такое исследование было начато в работе Giraud [1, 2], продолжено и дополнено в книге Купрадзе [13] эти результаты изложены в 7 настоящей главы. [c.199]

Р. Я. Ивановой [23] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке при исходных физических интегральных зависимостях наследственного типа. Предполагалось, что движение катка начинается в момент времени —оо и продолжается с постоянной скоростью объемное последер вие отсутствует. Путем привлечения принципа Вольтерра задача решалась в рамках теории упругости с помощью метода Н. И. Мусхелишвили [38]. Полученные при этом два сингулярных уравнения типа Фредгольма содержат реологический оператор, который выражается через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. После введения подвижной системы координат и замены дуги окружности катка дугой параболы одно из этих интегральных уравнений, которое соответствует мнимой части соотношения Мусхелишвили, удалось привести к форме, даюшей возможность решить его по методу Карлемана. Для конкретности резольвента ядра наследственности была взята в внде совокупности простых экспоненциальных ядер. Даже в этом случае получение численного результата было связано со значительными вычислительными трудностями. Решение выписано в квадратурах вычисление их осуществлялось приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации. [c.403]

Существенным здесь является то, что уравнение (12.4) оказывается интегральным уравнением Вольтерра и, следовательно, его можно решать методом итераций при очень общих условиях, лишь бы эти условия не зависели от константы у. В рамках теории Фредгольма это объясняется треугольностью ядра. [Такое ядро — обобщение понятия треугольной матрицы К х, х ) — О при х С х. В силу треугольности определитель Фредгольма тождественно равен единице. Следовательно, резольвента должна быть целой аналитической функцией у. Заметим, что для ядра [c.309]

Предпожение 1.4. Мы уже говорили, что если резольвента Я г) компактна в точке то она компактна для любого гер(Л). Далее, если оператор А обладает компактной резольвентой, то по предложению 1.3 его спектр всецело состоит из собственных зна-чений (с конечными кротостями), причем точкой накопления может быть только бесконечность. В частности, для уравнения (Л - г/ )(р = из единственности следует существование альтернатива Фредгольма). [c.275]

Теперь заметим, что для уравнения (5.8) из единственности следует существование. Это обычно называется альтернатвой Фредгольма, Действительно, мы знаем (см. гл. Я, предложение 1.2), что особенности резольвенты компактного оператора Т исчерпываются его собственными значениями поэтому, если (5.8) обладает свойством единственности, то 1 не есть собственное значение и оператор Т -1) [c.374]

Большое число новых важных понятий и соображений было внесено в теорию рассяния в связи с исследованием дифференциальных операторов. В одномерном случае разложение по собственным функциям непрерывного спектра было построено еще в классической статье Г.Вейля [138]. Принципиально труднее многомерный случай. Здесь решающий прорыв произошел уже в пионерской работе А.Я.Повзнера [73. В ней установлено существование решений задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Построение таких решений основывается в [73] на предварительном исследовании с помощью альтернативы Фредгольма интегрального уравнения для резольвенты оператора Шредингера. Это позволило отказаться от принятого в [97] условия малости возмущения. В [74 [c.401]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...