Неограниченный оператор

Как уже отмечалось, дифференциальные операторы образуют класс неограниченных операторов. Однако если область определения такого оператора плотна в Lj, то можно расширить ее до всего пространства, положив [c.212]

Видно, что с, вообще говоря, неограниченный оператор, ко имеет единственный обратный С поскольку — поло- [c.216]

Подробно рассматривался и другой случай, а именно случай, когда Х = ш фиксировано (со вещественна), а к = е, где вещественный единичный вектор е также фиксирован. Здесь к играет роль собственного значения, но является множителем при неограниченном операторе умножения -е, что, конечно, создает дополнительную трудность. Теперь следует изучить уравнение [c.230]

Подчеркнем, что оператор с дискретным спектром — обязательно неограниченный оператор, так как оператор, обратный к ограниченному, не может быть вполне непрерывным. [c.303]

Для неограниченного оператора А это утверждение остается в силе при условии 23 (Л) = 23 (Л). [c.309]

Замечание. Если 4- — эллиптический ПДО положительного порядка V, то его можно рассматривать не только как ограниченный оператор из Я + ( ) в но и как неограниченный оператор в Я ( ) с областью определения = Н +у Щ- Она всюду плотна в Я С ), [c.327]

Y > О, то L, можно рассматривать также как неограниченный оператор в S) с областью определения 5+ - [c.330]

Может ли последовательность неограниченных операторов сходиться по норме к ограниченному оператору [c.170]

Решившись однажды иметь дело с неограниченными операторами, мы встречаемся лицом к лицу с парой практических проблем, имеющих отношение к их областям определения. Может случиться, что не определен, кроме как на нулевом векторе, поскольку может случиться, что [c.127]

Другим полезным источником по коммутативности неограниченных операторов является [c.133]

Теорема 8.3. Рассмотрим полугруппу Pt i>o линейных (возможно, неограниченных) операторов Р1 в сепарабельном гильбертовом пространстве Ж, которая обладает следующим свойством существует плотное линейное подпространство в Ж, такое что [c.181]

Л + 1)11/11]. Следовательно, a f) и о (/)— вполне определенные линейные (но неограниченные) операторы, действующие из в Поскольку — плотное линейное многообразие в мы заключаем, что операторы a f) и а Ц) определены на одной и той же плотной в Ж области (а именно на области инвариантной относительно отображений а(/) и о (/), вследствие чего при /],. .., /дг, 1,. .., gJ из Ж 1 все полиномы относительно о (/,),. .., а (/дг),. .., (ё ]), а м) можно считать полностью определенными на В частности, на для всех / и g, принадлежащих выполняются следующие тождества [c.20]

Здесь мы впервые сталкиваемся с необходимостью использовать в явном виде неограниченные операторы. Напомним некоторые элементарные сведения из теории неограниченных операторов, которые понадобятся нам в дальнейшем. [c.20]

Действительно, условие р тривиально следует из условия й, а а — из р, У- Доказать же, что у следует из р или р, можно, например, сначала для частного случая, когда я (Л) —оператор проектирования, а затем, воспользовавшись теоремой о спектральном разложении, тождеством Якоби и снова теоремой о спектральном разложении, получить результат для общего случая. Такой путь доказательства дает то преимущество, что он подсказывает правильный критерий совместности для случая неограниченных наблюдаемых. Заметим, в частности, что в случае неограниченных операторов условие у не следует из а (в чем можно убедиться, рассмотрев канонические перестановочные соотношения). [c.52]

Нам осталось еще сформулировать условие КМШ в форме, адекватной рассматриваемому случаю. Наивная форма этого условия, приведенная выше для частного случая (пример, рассмотренный в начале пункта), в общем случае, когда гамильтониан Я становится неограниченным оператором, утрачивает смысл. Действительно, в последнем случае а/+гр отображает ограниченный оператор Я, действующий на Ж, в неограниченный оператор. Если Я ограничен снизу и такой, что опера [c.249]

Неограниченный оператор 21 Неопределенности принцип 15, 102 [c.417]

Оператор называется самосопряженным, если Д = Л (в частности, D(A ) = ЩА)). Ясно, что для ограниченных операторов понятия симметричности и самосопряженности совпадают но это не верно в случае неограниченных операторов самосопряженные операторы -это более узкий класс симметричных операторов. Симметричный оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда любой элемент у е 0(Д ) принадлежит также D(A). Имеет место следующий критерий самосопряженности симметричных операторов. [c.24]

Для точного описания оператора как неограниченного оператора на, зададим его область определения равенством [c.267]

Для семейств неограниченных операторов это не очевидно. В случав когда Х= У и существует 2и,принадлежащий резольвентному множеству Л(ц) V ц е Д, классическое аналитическое продолжение имеет место и для Л(ц). [c.282]

Более сложные случаи возникают, когда диссипативное слагаемое в (4.2) есть неограниченный оператор. Мы рассмотрим пример такого случая в следующем параграфе. [c.286]

В случае линейных автономных уравнений можно дать другое обоснование метода (которое верно также для некоторых классов уравнений с неограниченными операторами в гильбертовом пространстве). Рассмотрим (4.1),(4.6) с В = О (автономный случай), т.е. [c.352]

С помощью дифференц. выражений формулируют и дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования, единственности, зависимости от нач. данных для решений дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке свойств д. о. как вопросы об области определения, ядре, непрерывности обратного оператора. Нанр., теоремы существования решений доказывают с номон(ью метода сжатых отображений — классич. метода теории операторов. Существенную информацию дают исследование спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложение по ого собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о. Наиб, развита теория линейных Д. о., к-рые вооби ,е являются важнейшим примером неограниченных операторов (см. Линейный оператор). Б дифференц. геометрии и физ. приложениях особую роль играет класс Д. о., не меняющихся или меняющихся спец. образом при действии на дифференц, выражение преобразований из пек-рой группы (см., напр., Ковариаптпая производная, Лапласа оператор). Д. о. служат для описания структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщённую функцию медленного роста можно представить как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию степенного роста. [c.684]

Диссипатнвность неограниченного оператора Ь определяется условием 1т(Ц, [) 0 прн feФ(L). Если такой оператор имеет ограниченный обратный = то — А диссипативен. [c.306]

Снектральпый анализ, развитый первоначально д.чя интегральных операторов с ядром К (х, у), определенным и непрерывным в нек-рой ограниченной области, затем был распространен на линейные операторы других типов, напр, интегральные операторы с ядром, имеющим особенность или заданным в пеограпичепио области, дифференциальные операторы и т. д. (Сказалось, однако, что переход к таким операторам приводит к существенным осложнениям, т. к. д.ш них собственные значения и собственные функции, понимаемые в обычпом смысле, могут вообще не сухцество-вать. Поэтому для них спектр должен быть определен пе как совокупность собственных значений, а как совокупность тех значений X, для к-рых оператор А — XEУ не существует или является неограниченным оператором. Все собственные значения оператора принадлежат спектру, их совокупность образует дискретный спектр, остальную часть спектра низ. [c.5]

В квантовой механике часто встречаются неограниченные операторы примером таких операторов могут служить операторы, определяемые соотношениями (2.16)—(2.18). Такие операторы, а также некоторые другие, которые нам, вероятно, встретятся, обладают тем свойством, что значения их матричных элементов Тпт мажорируются выражением типа Мп т для некоторых фиксированных положительных значений М, / и й. В этом случае двойной ряд (5.4) сходится в конечных областях плоскостей а и Р и представляет собой целую функцию обеих переменных. [c.83]

Когда пришло время подумать, то оказалось, что в самих основах теории есть множество совершенно неясных моментов. Потребовались новые математические методы физикам пришлось усвоить правила обраш ения с обобш енными функциями, отдать себе отчет в том, что они работают с неограниченными операторами, открыть, что физические требования приводят к важным свойствам голоморфности некоторых привычных функций и что из этого в свою очередь можно извлечь некоторую несомненную физическую информацию. [c.8]

Теперь несколько замечаний о линейных операторах в гильбертовом пространстше. Дальше в зтой книге будет игаого разговоров по поводу областей существования неограниченных операторов. Большинство физиков считает в глубине души, что ничто, существенно зависящее от таких вещей, не может иметь отношения к физике. Нам хотелось бы привести кое-какие аргументы в пользу обратного. [c.123]

Но плохо то, что нам придется иметь дело с множествами неограниченных операторов и нам понадобится вычислять полиномы от них. Требуются специальные предположения, чтобы быть уверенным, что такие операции имеют смысл хотя бы на плотных ашожествах векторов. Естественно, приходим к предположению об общей плотной области определения D для всех рассматриваемых неограниченных операторов, от которых берутся полиномы. Как только [c.127]

В ходе анализа измерений поля, проделанного для электромагнитного поля в квантовой электродинамике, давно уже установлено, что компоненты полей как функции точки пространства-времени, вообще говоря, более сингулярны, чем обычные функции. Это приводит к тому, что только размазанным (smeared) полям можно сопоставить хорошо определенные операторы. Напрпмер, в случае электрического поля Е (х, /) не есть хорошо определенный оператор, но dxdt f(x)E(x, t) = E f) — хорошо определенный. Здесь / — любая бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем, определенная в пространстве-времени. Существует еще один момент, который слелует отметить. Размазанное по.ле., такое как Е(/), в соответствующим образом подобранном состоянпп может достигать произвольно больших средних значений. Поэтому следует ожидать, что нам придется рассматривать неограниченные операторы. Известно, что неограниченный оператор вообще не может быть определен на каждом векторе сколько-нибудь естественным образом. Поэтому мы будем вынуждены сделать некоторые предположения об области в пространстве векторов состояния, на которой эти размазанные поля могут быть определены. Типичные состояния, на которых поля определить нельзя, — это состояния, в которых средние значения полей обращаются в бесконечность. Это — знакомая по элементарной квантовой механике ситуация, где оператор положения также нельзя определить на тех состояниях Ч (х), которые сами по себе [c.135]

Лемма 8.2. Группа Ни допускает представление в Ж сильно-непрерывной локальной группой симметричных (неограниченных) операторов Ра а <ао ОПрвДбЛеННЫХ на Жа,, . [c.180]

Что пока не ясно —это имеем ли мы на самом деле пред ставление. Легко видеть, что наши генераторы образуют са мосопряженное представление алгебры Ли группы Пуанкаре Однако хорошо известно, что для того, чтобы экспоненты об разовывали представление группы, необходимы некоторые до полнительные условия (см. [61,62]). Проверить эти условия трудно. Поэтому мы пойдем другим путем. Мы уже знаем, что имеется смешанное локальное представление группы Ед в Ж, т. е. некоторая окрестность элемента 11 допускает представление, вообще говоря, неограниченными операторами в гильбертовом пространстве имеющими область определения T a,. 0. Наиг план состоит в том, чтобы с помощью аналитического продолл<ения закона группового умножения получить унитарное представление группы Это требует известной аккуратности, так как мы не можем произвольно продолжать по всем групповым параметрам. [c.182]

Указанййя трудность может возникнуть только для векторов, не вме-щающихся в гильбертово пространство и неограниченных операторов, например для векторов и операторов, представляемых бесконечно-рядными матрицами (с неубывающими по мере роста номера элементами ) — тогда есть и естественное определение произведения по правилу матричного умножения. Ср. замечание в книге Бремермана, Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье , Мир , 1968, дополнение. [c.338]

Неограниченные линейные операторы не определены на всем пространстве X, Они во многих отношениях сильно отличаются от ограниченных линейных операторов. Однако существует класс неограниченных операторов - замкнутые линейные операторы, для которых все же сохраняются многие свойства ог раниченных операторов. Оператор А Х-> У называется замкнутым, если [c.23]

Звмечание 5.3. Обычно Аи обозначают через А как праю1ло, это не вызывает неясности Л — это ограниченный оператор из F в F и одновременно неограниченный оператор из Я в Я. [c.34]

Важным в теории полугрупп является понятие производящего опертора или генератора. Это (в общем случае неограниченный) оператор А В В, [c.47]

Для неограниченных операторов существует более сложное понятие голоморфности, соответствующее сходимости по раствору. [c.281]

Снова обращаем внимание на специальную роль положительной определенности она делает устойчивость автоматической. Вот почему метод Ритца так надежен. В случае неограниченности оператора L предположим, что подпространство 8 образовано первыми N координатными направлениями PH задается первыми N компонентами вектора о. Тогда Р ЬР представляет собой Л/ -й главный минор матрицы I (подматрица в ее верхнем левом углу), а устойчивость означает, что эти (Л X Л )-подматрицы равномерно обратимы. Похоже, что их обратимость следует из обратимости всей матрицы Ь, но это неверно. Хорошим примером служит обратимая матрица [c.150]

Определение 2 естественно распространяется на довольно широкий класс неограниченных операторов. Более того, можно рассмотреть и интегральные представления полуторалинейных форм, не порождаемых операторами в Н. Для точного описания такого класса форм воспользуемся терминологией теории двойственных пространств (см., например, [2]). [c.50]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...