Свойства резольвенты

Выше фактически были установлены некоторые свойства резольвент интегральных уравнений (7.8) и (7.9), т. е. было показано, что точка Я, = 1 не является полюсом резольвенты, а точка Я, = —1 является таковым. Установим сейчас некоторые более тонкие свойства резольвент. Будем рассматривать уравнения (7.9), а аналогичные свойства уравнения (7.8) будут автоматически установлены в силу того, что оно является союзным к (7.9). [c.102]

С учетом установленных ранее свойств резольвенты при Х=1 и % = —1 приходим к утверждению, что интегральные уравнения (7.8) и (7.9) при Я=1 разрешимы методом последовательных приближений, причем решение может быть представлено в виде (2.3П) или в ином виде [17]. Решение же уравнения (7.9) при Х = — 1 непосредственно представляется рядом (2.2). При фактическом построении решения следует учесть все замечания (изложенные в 2), связанные с погрешностью численной реализации и возможностью ее уменьшения (метод понижения особенности). [c.104]

Спектральные свойства резольвенты рассматриваемых уравнений позволяют утверждать следующее (см. 2 гл. 1) в случае задач 1+ и Ц- решение интегрального уравнения может быть [c.564]

Из свойств резольвент (см. выше) следуют условия симметрии [c.129]

Свойства резольвенты. В гл. II, 2 мы показали, что интегральные уравнения первых двух основных граничных задач упругого однородного тела первой внутренней и первой внешней задачи и (Од) и второй внутренней и второй внешней задачи (Г,) и (Гд) — имеют следующий вид [c.162]

Некоторые из следующих свойств резольвенты полезны для приложений. [c.274]

Ряд (14.16) представляет собой разложение резольвенты интегрального уравнения по параметру и около точки и = О и будет сходящимся до первой особой точки этой функции. Из спектральных свойств уравнений следует, что при к = 1 (первая внутренняя и вторая внешняя задачи) ряд (14.16) будет, вообще говоря, расходящимся, так как к = — 1 является полюсом резольвенты. В этом случае решение можно представить, например, в виде следующего сходящегося ряда [73] [c.103]

В случае симметричного ядра К°(М, Р) резольвента Г°(М, Р) будет также симметричной функцией двух точек. Тогда на основании свойств симметрии (или взаимности) и замкнутости резольвенты для разрешающих коэффициентов облученности г 1°гз будут выполняться соотношения замкнутости [c.264]

Свойства обратного (по параметру х) преобразования Лапласа, связующего решение нестационарных н стационарных задач, определяются резольвентами задач дифракции. При реализации этой связи методами контурного интегрирования на комплексном многообразии [148, 150] естественно возникает вопрос об особенностях аналитического продолжения резольвенты задачи дифракции с действительной оси. Он рассматривается в рамках спектральной теории решеток, изучающей задачи дифракции при комплексных значениях частотного параметра х [25, 62, 66, 80, 151]. При этом в отличие от традиционных задач дифракции основное внимание уделяется не регулярным точкам х, где соответствующие операторы ограничено обратимы, а дополнительному к ним множеству — спектру, изучению характера особенностей и закономерностей их распределения в комплексном пространстве [152—187]. [c.10]

Вывести свойства (3.3.13) двухчастичных резольвент Ra z) в трехчастичной задаче. [c.247]

Выведем теперь некоторые свойства Т-матрицы и резольвенты, используя приведенные выше определения и формулу /12 = /12 + У2 для двухчастичного гамильтониана. [c.327]

Сингулярная резольвента. Свойства и применения [c.178]

СИНГУЛЯРНАЯ РЕЗОЛЬВЕНТА. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ [c.179]

С помощью теории резольвенты установить свойства дифференцируемости решений сингулярных интегральных уравнений и доказать теоремы вложения. [c.199]

Непосредственно из уравнения вытекают свойства симметрии резольвенты, о которых уже говорилось [c.129]

Резольвента обладает, таким образом, свойством симметрии [c.126]

Аналитические свойства оператора резольвенты [c.152]

Полезно сопоставить понятие верхнего индекса оператора и появление полюсов более высокого порядка у оператора резольвенты со свойством, на возможность существования которого иногда не обращают внимания. Допустим, что верхний индекс оператора К — а больше единицы. Тогда существует вектор Фа, который принадлежит как области значений, так и нуль-пространству оператора К — а [c.201]

Общей основой данного способа является свойство в вполне непрерывных операторов, приведенное в гл. 7, 3, п. 2. Согласно этому свойству, если К — вполне непрерывный оператор и е — любое заданное положительное число, то существует оператор К конечного ранга, такой, что К = К Л--J- М и УИ ПСе. Следовательно, с помощью резольвенты оператора К (которую можно найти в явном виде алгебраическими методами) можно построить выражение для резольвенты оператора К в виде сходящегося ряда по степеням Л1, если, так же как и в борновском приближении в методе искаженных волн , воспользоваться тождеством [c.235]

Докажем ряд теорем относительно свойств резольвент этих уравнений. Эти свойства аналогичны известным свойствам резольвент интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана в теории гармонических функций, а метод их доказательств аналогичен методу доказательств для гармонических функций, ставшему теперь классическим (см., например, [12]). [c.163]

В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г (Х) будем называть резольвентным оператором, порождаемьш оператором К. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г ( .) [c.579]

С помощью дифференц. выражений формулируют и дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования, единственности, зависимости от нач. данных для решений дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке свойств д. о. как вопросы об области определения, ядре, непрерывности обратного оператора. Нанр., теоремы существования решений доказывают с номон(ью метода сжатых отображений — классич. метода теории операторов. Существенную информацию дают исследование спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложение по ого собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о. Наиб, развита теория линейных Д. о., к-рые вооби ,е являются важнейшим примером неограниченных операторов (см. Линейный оператор). Б дифференц. геометрии и физ. приложениях особую роль играет класс Д. о., не меняющихся или меняющихся спец. образом при действии на дифференц, выражение преобразований из пек-рой группы (см., напр., Ковариаптпая производная, Лапласа оператор). Д. о. служат для описания структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщённую функцию медленного роста можно представить как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию степенного роста. [c.684]

Так как таким же свойством обладает и оператор, 55 , естественно объединить эти операторы. Далее нетрудно построить все операторы эволюции общей теории, онисываюпще поведение системы в постоянном внешнем поле. В частности, невозмущенную резольвенту теперь следует заменить на [c.212]

Эти равенства выражают свойство биортонормируемости фундаментальных решений союзных систем, соответствующих простому полюсу резольвенты. [c.195]

С помощью ядра (6.1) А. П. Бронский описывал процессы последействия в резине. Резольвенту ядра типа (6.1) найти не удалось, но А. П. Бронский показал, что приближенно в качестве резольвенты можно принимать функцию того же вида. А. Р. Ржаницын (1946) сформулировал условие ограниченности ядра и предложил новое сингулярное ядро, более простое по сравнению с (6.1) и обладающее сходными свойствами [c.150]

Эти функции были названы дробно-экспоненциальными. Если принять 5-функцию за ядро ползучести и релаксации, то, как оказывается, существенные особенности ядер (6.1) и (6.2) сохраняются. Однако операторы с ядрами, сконструированными из -функций, обладают некоторой специальной алгеброй, резольвенты их образованы из функций того же класса с параметрами, вычисляемыми по простым правилам. Свойства с -опера-торов изучались в работах М. И. Розовского, И. И. Круша, Н. Н. Долининой, Е. С. Синайского был установлен ряд теорем о произведениях этих операторов, о нахождении обратных операторов и т. д. М. И. Розовский (1959) установил связь 5-функций с функциями Миттаг-Леффлера. Асимптотика -9-функций изучалась Б. Д. Анниным (1961). Г. И. Брызгалиным [c.150]

Квантовомеханическая теория начинается с детального и наиболее строгого из имеющихся в литературе изложения формальной теории двухчастичного потенциального рассеяния во временной и стационарной трактовках (гл. 6 и 7). Ньютон вводит меллеровские операторы, 8-матрицу, а также Т- и К-матри-цы. Для более отчетливой формулировки возникающих при этом математических проблем автор приводит два специальных математических раздела, посвященных вопросам функционального анализа. Подробно рассмотрены спектр оператора Гамильтона, представления о сильной и слабой сходимости, сходимости по норме, аналитичность резольвенты, определение и свойства вполне непрерывных (компактных) операторов. [c.6]

Отсюда видно, что 1) при всех действительных корнях уравнения Д(ж)==0 корни 6j, 63, 6g все действительны и положительны, 2 при всех комплексных корнях 1-го уравнения корни е,, е , тоя е все действительны, но два из них, положим и отрицательны, а в случае 3), когда два ( ,, 5) из корней действительны, а два комплексные сопряженные, е, действительно и положительно, а е, и бз комплексны. Эти свойства корней являются,, как нетрудно-зидеть обратимыми. К ним нужно еще прибавить, что при кратности корней уравнения R x) — 0 и резольвента ср = 0 имеет также кратный корень и обратно и что при кратности действительных корней Л(ж)=0, но при сохранении комплексного характера двух других случай 3) по свойствам корней резольвенты перейдет в случай 2), т. е. корни ее будут ei>0, но 63=63 < О и все действительны. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...