Резольвенты

В теории интегральных уравнений Вольтерра второго рода функция T(i) называется ядром уравнения (5.12), а функция /С(/) —его резольвентой. Если для ядра Т(0 найдена резольвента K t), то уравнение (5.11) называется решением уравнения (5.12), и, наоборот, уравнение (5.12) будет решением уравнения (5.11), если для ядра К (t) уравнения (5.11) найдена резольвента T(t). Уравнение (5.12) можно записать в краткой форме [c.220]

В дальнейшем для удобства будем называть функцию скорости релаксации Т(0 ядром, а соответствующую ему функцию скорости ползучести /С(О — резольвентой. [c.233]

Приведем пример определения резольвенты по данному ядру. Возьмем простейшее и в то же время достаточно общее ядро в виде [c.233]

Внося (5.89) в (5.88), получим изображение резольвенты [c.234]

Чтобы найти резольвенту К t), воспользуемся теоремой о смещении, на основании которой оригинал функции (5.90) будет [c.234]

Следовательно, уравнение связи ядра и резольвенты удовлетворяется и в шкале времени [c.238]

Для применения методики определения параметров сингулярных ядра и резольвенты, а также модуля упругости, коэффициента Пуассона необходимо иметь достаточное количество кривых [c.239]

Отметим, что резольвента Гр (t) может быть представлена в виде ряда [c.244]

Введем для него обозначение Г х,у,Х) и будем называть его резольвентой. Искомое решение теперь окажется представимым в виде [c.36]

Исключая промежуточные этапы, приходим к так называемому функциональному уравнению для резольвенты [c.36]

Можно показать, что резольвента удовлетворяет также еще и уравнению [c.37]

При условии (2.4) резольвента является аналитической функцией X в круге — а). Соотношения же (2.8) и (2.9) [c.37]

Установлено [73], что резольвента Г(д , у, Я,) может быть представлена в виде отношения двух целых (по параметру X) функций [c.37]

Выше отмечалось, что резольвента существует при достаточно малых Я и что она является мероморфной функцией во всей плоскости (в предположении ее существования). Следовательно, она существует во всей плоскости, за исключением нулей функции D(X). А раз так, то вне нулей всегда существует решение уравнения при произвольной правой части. Заметим, что разложение (2.2) сходится вплоть до наименьшего по модулю полюса резольвенты. Представляют интерес те значения Яо, которые являются нулями D %). Поскольку 0(Я) — целая функция, то в конечной части плоскости может быть расположено лишь конечное число нулей. Пусть точка Яо является нулем кратности г. Тогда имеем следующее разложение для резольвенты в окрестности точки Яо [c.38]

Это уравнение называется союзным или транспонированным к уравнению (2.1). Очевидно, что резольвента союзного уравнения получается из резольвенты исходного уравнения перестановкой аргументов х к у, поэтому они имеют одинаковый определитель Фредгольма, а значит, и совпадающие полюсы. [c.39]

Покажем теперь, что, начиная с определенного значения Я (которое будет установлено), ряд (2.11) в случае симметричных уравнений (с интегрируемым квадратом ядра) будет расходиться, что приводит к расходимости ряда для резольвенты. На основании неравенства Шварца для произвольного п получаем [c.43]

Из структуры выражений для резольвенты (см., например, формулы (2.11) и (2.12)) следует, что ее фактическое построение представляется малоэффективным. Поэтому построение решения целесообразно осуществлять непосредственно, исходя из ряда (2.2) (т. е. методом последовательных приближений). В том случае, когда Х < Я.о Хо — наименьшее по модулю собственное значение), ряд (2.2) является сходящимся. Представляет интерес рассмотреть задачи, когда конкретное значение X располагается на круге сходимости резольвенты (т. е. (Я, = Яо ). Тогда ряд (2.2) может оказаться расходящимся. Существуют различные способы построения сходящихся представлений для [c.44]

Если же полюс резольвенты, наоборот, расположен в точке Х = —1, а решение строится при А,= 1, то сходящимся оказывается представление [c.45]

Выше фактически были установлены некоторые свойства резольвент интегральных уравнений (7.8) и (7.9), т. е. было показано, что точка Я, = 1 не является полюсом резольвенты, а точка Я, = —1 является таковым. Установим сейчас некоторые более тонкие свойства резольвент. Будем рассматривать уравнения (7.9), а аналогичные свойства уравнения (7.8) будут автоматически установлены в силу того, что оно является союзным к (7.9). [c.102]

Докажем еще, что все собственные значения — простые, т. е. что резольвента будет иметь лишь полюсы первого порядка (так называемые простые полюсы). Пусть —полюс порядка, большего единицы. Тогда в соответствии с формулами (2.16) и (2.16 ) на поверхности 5 существуют две функции фа и фь, удов- [c.103]

Из соотношений же (7.12) следует, что левая и правая части равенства (7.17) имеют различный знак, причем левая часть отлична от нуля. Полученное противоречие доказывает, что все полюсы резольвенты — простые. [c.104]

С учетом установленных ранее свойств резольвенты при Х=1 и % = —1 приходим к утверждению, что интегральные уравнения (7.8) и (7.9) при Я=1 разрешимы методом последовательных приближений, причем решение может быть представлено в виде (2.3П) или в ином виде [17]. Решение же уравнения (7.9) при Х = — 1 непосредственно представляется рядом (2.2). При фактическом построении решения следует учесть все замечания (изложенные в 2), связанные с погрешностью численной реализации и возможностью ее уменьшения (метод понижения особенности). [c.104]

Аппарат интегральных уравнений позволяет сравнительно просто дать ответ на вопрос о корректности решения в зависимости от краевых условий, поскольку представление решения интегральных уравнений через резольвенту (фиксированную функцию, так как поверхность считается неизменной) сводит задачу к задаче об изменении интеграла в связи с изменением подынтегральной функции. Не составляет труда показать, что в этом случае имеет место корректность решения. Тогда и сами потенциалы, определяемые решением интегрального уравнения, будут меняться незначительно. [c.254]

Наличие в точке Я. = —1 полюса резольвенты все же привносит определенные трудности в связи с погрешностью, обусловленной численной реализацией. Подробно об этом говорится в 3, [c.561]

Таким образом, правая часть в (2.16) есть положительная величина, а левая — отрицательная. Поэтому отношение (1—Яо)/(1+Хо) есть число отрицательное. Следовательно, А.о 1. С другой стороны, точка Х=1 соответствует задачам 1+ и П , решения которых единственны. Если же допустить, что эта точка есть полюс резольвенты, то пришли бы к неединственности краевой задачи. Другое дело точка Х = —1, соответствующая задачам 1 и И+. Если бы эта точка не была полюсом резольвенты, то интегральное уравнение задачи 11+ было бы разрешимо при произвольной правой части, а тогда и краевая задача была бы всегда разрешима, но это противоречит теореме существования. Следовательно, точка X = —1 обязательно является полюсом резольвенты. Поскольку же уравнение задачи И является союзным (а альтернативы Фредгольма выполняются), то и здесь интегральное уравнение будет разрешимо лишь при определенных краевых условиях, хотя для исходной краевой задачи они не являются необходимыми ). [c.564]

Спектральные свойства резольвенты рассматриваемых уравнений позволяют утверждать следующее (см. 2 гл. 1) в случае задач 1+ и Ц- решение интегрального уравнения может быть [c.564]

Дело в том, что, хотя точка к = —1 и является полюсом резольвенты, условие (2.9) приводит к его фактическому уничтожению. Правда, погрешность, возникающая при численной реализации, может привести к нарушению условий ортогональности, что и приведет к расходимости ряда. Подробно указанный вопрос изучается в 3. [c.565]

Остановимся вкратце на случае, когда среда несжимаема (о = 0,5). Будем рассматривать этот вопрос только с позиций интегральных уравнений. Дело здесь усложняется тем, что значение а = 0,5 является вырожденным для дифференциальных уравнений. Интегральные уравнения теории упругости для несжимаемой среды совпадают (с точностью до физического смысла) с уравнениями линеаризованного течения вязкой жидкости [230]. Эти уравнения являются регулярными, и в дополнение к полюсу резольвенты в точке к = —1 возникает еще полюс в точке Я. = 1. Это обстоятельство очевидно, поскольку для несжимаемой среды постановка задачи 1+ возможна лишь при условии [c.565]

В уравнение не введен параметр А, поскольку в этом параграфе не строится теория резольвенты. [c.590]

ДАожно показать, что для больших значений t резольвента имеет асимптотическую формулу [c.234]

Ряд (14.16) представляет собой разлон ение резольвенты интегрального уравнеппя но параметру х около точки х = 0 а будет сходящимся до первой особой точки этой функции. Из спектральных свойств уравнений следует, что при у, = 1 (первая внутренняя п вторая внешняя задачи) ряд (14.16) будет, вообще говоря, расходящимся, так как х = —1 является полюсо.лг резольвенты. В этом случае решение можно представить, например, в виде следующего сходящегося ряда [731 [c.97]

Возвратимся к представлению для резольвенты (2.6) и осу ществим некоторые преобразования [c.36]

Интегральное уравнение (2.24) при Я=1 соответствует второй основной задаче для совокупности областейDI,. ..,От когда решение разыскивается в виде единого потенциала простого слоя, распределенного по всем поверхностям. Собственные функции союзного уравнения соответствуют решению первой основной задачи для области О. Используя обобщенную теорему Гаусса (1.19), не составляет труда показать, что смещение как жесткого целого каждой из поверхностей 5/ (/ = = 0) есть собственная функция. Поэтому в отличие от случая, когда область ограничена одной поверхностью, точка X = 1 является полюсом резольвенты. [c.567]

К каждой из поверхностей, будет самоуравновешена (что приводит к фактическому аннулированию полюса резольвенты в точке Х= 1), в противном же случае (разумеется, при уравновешенности системы сил в целом, когда поверхность 5о присутствует) необходимо пользоваться представлением (2.20). [c.568]

Отметим еще одно обстоятельство. Расчеты показали (и это обстоятельство находится в соответствии с выводами, следующими из теории резольвенты), что, начиная с некоторого значения п, функции (fniq) ведут себя во всех точках как члены геометрической прогрессии с единым знаменателем (определяемым расположением второго полюса резольвенты). Поэтому при невысокой степени сходимости можно, установив достоверную величину знаменателя, аналитически просуммировать прогрессию и получить тогда точное значение плотности. [c.575]

Перейдем к рассмотрению вопроса о влиянии погрешности кубатурных формул на сходимость алгоритма. Очевидно, что в случае задач 1+ и Ц- эта погрешность (если она достаточно мала) не повляет на сходимость (разумеется, если воспользоваться формулами (2.31 )), а приведет к некоторой погрешности решения (аналогично удержанию в рядах конечной суммы). Количественную оценку допустимой погрешности расчетной схемы (гарантирующей сходимость) можно выразить посредством эквивалентного изменения значения параметра X (полагая при этом, что иных погрешностей нет) значение X по модулю не должно превышать второго по величине полюса резольвенты. [c.576]

Это операторное тождество вполне эквивалентно известному ряду Неймана для резольвенты. В теории интегральных уравнений доказывается сходимость ряда Неймана для любых ограниченных ядер К. Здесь мы заметим, не приводя доказательства, что ряд Неймана сходится, если итерированные ядра становятся ограни-ченпыми, начиная с некоторого номера. В частности, если ядро имеет особенность вида (i —т) , 0<а<1, то ряд Неймана сходится. [c.578]

В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г (Х) будем называть резольвентным оператором, порождаемьш оператором К. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г ( .) [c.579]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...