Предельная точка полу траектории

Тогда все некритические векторные поля семейства, достаточно близкие к критическому, в некоторой окрестности гомо-клинической траектории задают системы Морса—Смейла не более чем с двумя неблуждающими траекториями, одна из которых — особая точка поля. Векторные поля семейства, соответствующие значениям параметра по одну сторону от нуля, не имеют других неблуждающих траекторий соответствующие значениям параметра по другую сторону от нуля имеют предельный цикл. Размерность устойчивого многообразия этого цикла на единицу превышает размерность устойчивого многообразия седла или совпадает с ней, в зависимости от того, отрицательна или положительна седловая величина о. А [c.128]

Тогда, если для любого е е Е предельное множество траекторий, начинающихся в х , есть множество уд, причем А,В] = ду ,А - предельное множество траектории поля 3,, а В - предельное множество траектории, 1 < 2, то e6(e , 2) тогда и только тогда, когда существует множество С, являющееся предельным множеством траектории поля, причем при увеличении е предельное множество монотонно смещается от А до В. (Здесь идет речь одновременно либо об а-, либо об со- предельных множествах семейства траекторий.) [c.225]

Теорема. В сколь угодно малой окрестности векторного поля V (в пространстве С -гладких векторных полей на R ) существуют векторные поля, обладающие нетривиальными (т. е. отличными от особых точек и предельных циклов) устойчивыми по Пуассону траекториями. [c.150]

Согласно широко распространенной гипотезе, предельное поведение траекторий типичной динамической системы на компактном многообразии описывается следующим образом. За конечное время каждая положительная полутраектория попадает в окрестность притягивающего множества — аттрактора. Если аттрактор достаточно массивен — отличен от конечного объединения особых точек и предельных циклов, — то поведение фазовых кривых на аттракторе и вблизи него хаотично. Аналогичная гипотеза имеется для диссипативных систем, фазовое пространство которых — компактное многообразие с краем, а поле системы направлено внутрь на краю. [c.156]

Системы сравнения и исследование топологической структуры расположения траекторий (см. также [104-106]), Метод ТСП, о котором говорилось в 6, является частным случаем метода исследования с помощью систем сравнения. Рассмотрим две системы уравнений на плоскости и характеристическую функцию определяющих их векторных полей, которая, как указывалось, отвечает за знак синуса угла между векторными полями данных систем. Зная принцип разбиения на траектории одной из них, возможен анализ устройства фазовой плоскости другой системы, В частности, ТСП позволяет, к примеру, исследовать вопрос существования предельных циклов. Таким образом, основной упор делается на вычисление угла между двумя полями рассматриваемых систем в одной и той же области фазовой поверхности. [c.94]

М. Тогда траектории всех полей 9-, 8б[8 ,8 ] стремятся к точке М (в силу выполнения СМ). Поскольку СМ строгое, для любого б>0 система с векторным полем (е+деЕ) является системой сравнения для. Легко понять, что траектория поля, выпущенная из неособого начального условия, никогда не пересечет соответствующую траекторию поля 9 , выпущенную из того же начального условия. В силу последнего, траектории полей и будут иметь разные предельные множества, причем е < А ] < кг < е . Противоречие. [c.111]

Случай 3. Пусть реализуется в полосе П(o J вышеупомянутая гомоклиническая ситуация (лемма 4.4). Тогда существуют и единственные траектории в соответствующих полосах, выходящие (входящие) из (в) отталкивающих точек (притягивающие точки) и имеющие в качестве со- (а-) предельных множеств бесконечно удаленные точки. В остальной области для поля системы траектории достраиваются образом, аналогичным случаям 1 и 2, Фазовый портрет для этого случая изображен на ил. 5 (а->-а). [c.206]

Существование замкнутых кривых из траекторий, стягиваемых по цилиндру в точку. В частности, существование неизолированных периодических траекторий или предельных циклов. Заметим, что в силу 2к-периодичности векторного поля системы по а, последняя задача сводится к отысканию замкнутых траекторий или замкнутых кривых из траекторий лишь вокруг точек покоя индекса 1. [c.220]

Предельный цикл называется полу устойчивым, если все траектории, проходящие через достаточно близкие к нему точки, лежащие вне его, стремятся к нему при t - + <х> (i — < ),а лежащие внутри — при i — оо (i -> -Ь оо) (см. рис. 65 гл. 5). [c.48]

Для больших к структуру разбиения фазового пространства на траектории можно установить, используя систему сравнения (5). Па верхнем полуцилиндре изображающая точка, двигающаяся по траектории системы (3), слева направо пересекает траектории системы (5) сверху вниз. Пусть у = ц есть точка пересечения со-сепаратрисы седла на верхнем полуцилиндре с прямой ф = фь Если выбрать к так, чтобы верхний край полосы, содержащий предельный цикл системы (3), лежал ниже прямой у = т] и, следовательно, выполнялось условие (7+1)/Л< П, то (о-сепаратриса седла на верхнем полуцилиндре попадет в область (выше полосы, содержащей предельный цикл системы (5)), заполненную траекториями, пересекающими траектории системы (5) сверху вниз. В этом случае предельный цикл системы (3) не может существовать. Такой выбор к при О < < 1 всегда возможен, так как с возрастанием к векторное поле поворачивается по часовой стрелке и, следовательно, т] растет (рис. 240, а). [c.447]

Функция обеспечивает особенно простое описание поля, содержащего много независимо возбужденных типов колебаний (мод). Поскольку в этом случае полная амплитуда поля % есть сумма большого числа независимо распределенных комплексных амплитуд, пропорциональных а , распределение амплитуды % будет соответствовать распределению конечных точек траекторий случайных блужданий в комплексной плоскости. Независимо от индивидуального распределения амплитуд в каждой моде это распределение принимает гауссову форму, когда число типов колебаний, дающих вклад, велико. С математической точки зрения, это утверждение едва ли отличается от теоремы о предельном значении, обсуждаемой в разделе 8 вышеприведенной статьи автора, т. е. равенство (14.44) становится по своей структуре подобным равенству (С8.1), когда функцию Р ( а ) можно представить в виде произведения Рд (а ). В порядке обобщения мы можем считать возбуждения [c.143]

Рассмотренный нами применительно к генератору Ван-дер-Поля режим возникновения автоколебаний, не требующий начального толчка, называется режимом мягкого возбуждения. Для генераторов с одной степенью свободы такому режиму соответствует фазовый портрет, представленный на рис. 14.2 а. Встречаются также системы с жестким возбуждением автоколебаний. Это такие системы, в которых колебания самопроизвольно нарастают с некоторой начальной амплитуды. Для перехода систем с жестким возбуждением в режим стационарной генерации необходимо начальное возбуждение с амплитудой, большей некоторого критического значения. Фазовый портрет такого генератора приведен на рис. 14.2 б. Видно, что для выхода траектории на устойчивый предельный цикл начальная точка на фазовой плоскости должна лежать вне области притяжения устойчивого состояния равновесия. Отсюда ясен и физический смысл неустойчивых предельных циклов они служат границей между областями начальных условий, из которых система стремится к различным устойчивым режимам движения (на фазовой плоскости таким движениям соответствуют притягивающие [c.298]

В диссипативных системах ситуация иная — по определению фазовый объем в таких системах в среднем сжимается, т. е. в среднем по фазовому пространству div и < О (и — векторное поле в фазовом пространстве). Хотя сжатие фазового объема — локальное свойство фазового потока (его можно проверить в любой момент времени в каждой точке), в практически встречающихся системах с трением или вязкостью оно часто влечет за собой глобальное свойство — существование в фазовом пространство аттрактора — замкнутого множества, к которому при t оо стремятся все окружающие траектории и остаются в нем. Устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл — знакомые нам примеры регулярных аттракторов. Поскольку фазовый объем в диссипативной системе сжимается, аттрактор имеет нулевой фазовый объем. Всякая траектория, не принадлежащая аттрактору, является переходной. [c.464]

Пусть М — гладкое многообразие, Т М- М — диффеоморфизм, или Р — однопараметрическая группа сдвигов вдоль траекторий некоторого гладкого векторного поля на М. Рассмотрим какую-то абсолютно непрерывную меру цо и ее сдвиги ц , ц (С) =цо(Г "С) (в случае дискретного времени), Hi( ) =цо(7 С) (в случае непрерывного времени). Может быть так, что при п- оо (соответственно, при t- oo) сдвинутые меры стремятся к пределу ц, не зависящему от выбора начальной меры Цо. Предельная мера ц будет инвариантной, и ее можно признать наиболее существенной инвариантной мерой для рассматриваемой динамической системы. [c.15]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования длиннопериодических и устойчивых по Пуассону траекторий. В заключение предлагается некоторая простая методика интегрирования некоторых классов неконсервативных систем через элементарные трансцендентные (в смысле теории функций комплексного переменного) функции. [c.174]

Для исследования устойчивости стационарного движения жидкости в пространстве между двумя вращающимися цилиндрами ( 18) в предельном случае сколь угодно больших чисел Рейнольдса можно применить простой способ, аналогичный применённому в 4 при выводе условия механической устойчивости неподвижной жидкости в поле тяжести Рэлей, 1916). Идея метода состоит в том, что рассматривается какой-нибудь произвольный малый участок жидкости и предполагается, что этот участок смещается с той траектории, по которой он движется в рассматриваемом течении. При таком смещении появляются силы, действующие на смещённый участок жидкости. Для устойчивости основного движения необходимо, чтобы эти силы стремились вернуть смещённый элемент в исходное положение. [c.134]

Бифуркационные поверхности. Рассмотрим множество всех векторных полей на М, имеющих либо негиперболическую особую точку, либо негнперболический предельный цикл, либо траекторию, принадлежащую нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразия двух гиперболических особых точек или циклов, или точки и цикла. [c.94]

Теорема Пуанкаре — Бендиксона. Результаты, полученные выше, можно представить в виде следующей теоремы. Рассмотрим ограниченную положительную полухарактеристику С, расположенную в области D, и предположим, что положительное предельное множество А этой полуха-рактеристики не сводится к особой точке. Тогда либо полу характеристика С является циклической и А = С, либо А представляет собой циклическую траекторию (е исключительном случае псевдоциклическую) и С является спиралью, приближающейся к А, когда оо. [c.392]

Если существует замкнутая область R, не содержащая особых точек и такая, что в каждой точке ее границы вектор поля F направлен внутрь области, то в такой области имеется по крайней мере одна циклическая траектория. (Предполагается, что граница области состоит из кривых с непрерывно изменяющимся наклоном касательной, за исключением конечного числа угловых точек.) В самом деле, любая положительная полухарак-теристика, начинающаяся в области R, остается в этой области и при < 0 эта положительная полухарактеристика либо является циклической, либо стремится к предельному циклу. К тому же выводу мы приходим и в том случае, когда во всех точках границы вектор поля JP направлен наружу. Для доказательства достаточно рассмотреть отрицательные полухарактеристики, начинающиеся в точках области R. Из сказанного, разумеется, не следует, что в области R имеется лишь одна циклическая траектория. (Область R не может быть односвязной. Если бы, например, область R состояла из простой замкнутой кривой Г и ограничиваемой ею области, а вектор 1 в каждой точке Г был бы направлен внутрь этой области, то индекс ( 20.1) кривой Г был бы равен единице, так что в области была бы по крайней мере одна особая точка.) [c.392]

Если фазовые траектории сматываются с предельного цикла, т. е. стремятся к нему при — оо, то цикл называется неустойчивым. Кроме того, могут осуществляться негрубые образования — полу-устойчивые циклы. В этом случае траектории извне (изнутри) цикла Приближаются к нему, а изнутри (извне) — удаляются. При изменении параметров полуустойчивые циклы могут распадаться на устойчивь(е и неустойчивые. Приведем без доказательства несколько осирвных теорем о Предельных циклах. [c.38]

Используем для этого девиаторную плоскость деформаций е еа . Представим, что после стабилизации (рис. 4.13) амплитуда rl по-лучила конечное приращение, в то время как напряжение af = = 2Grf осталось неизменным. Увеличение амплитуды приведет к уменьшению той доли напряжения ai, которая воспринимается подэлементами второй группы, вследствие смещения вправо поверхностей текучести подэлементов этой группы, а также перехода части подэлементов в первую группу. Постоянство заданного значения может быть сохранено лишь при дополнительной упругой деформации подэлементов третьей группы. Траектория циклического деформирования будет отклоняться вправо (увеличение ej) до тех пор, пока состояние снова не стабилизируется. При этом накопленная деформация 8i увеличится и часть подэлементов третьей группы перейдет во вторую. Поскольку принято, что радиус наибольшей из поверхностей текучести подэлементов конечен (касательный модуль диаграммы деформирования материала М стремится к нулю), возможна ситуация, когда в третьей группе не останется ни одного подэлемента, а состояние стабилизации так и не будет достигнуто. Постоянство в этом случае может сохраняться только при систематическом (в каждом полуцикле) отклонении траектории деформации, сопровождающемся увеличением деформации е . Интересно, что при этом в течение каждого иолуцикла в пластическое деформирование вовлекаются все подэлементы. Однако несущая способность элементарного объвхма не оказывается исчерпанной, состояние предельного равновесия не возникает. Все дело в том, что векторы напряжений в подэлементах неколлинеарны, и хотя к концу полу-цикла все напряжения находятся на поверхностях текучести (г = = г г), модуль среднего по элементу объема вектора г не достигает величины ГдГ [c.98]

Ползун 5 кривошипно-пол-зунного механизма AB скользит вдоль направляющих Ь—Ь. Точка D шатуна 2 описывает траекторию, участок у—у которой, показанный на чертеже жирной линией, близок к прямой, перпендикулярной к направляющей Ь—Ь. При вращении кривошипа I звено 2, на котором шарнирно укреплен ползун 3, воздействует на кулису 4, сообщая ей качательное движение с остановками. Периоду остановки кулисы 4 соответствует движение точки D ползуна 3 по участку у—у своей траектории. Канавка а стойки, по которой скользит ползун 3 в период прохождения механизма AB через предельное положение, предохраняет кулису 4 от самопроизвольного поворота в период остановки. [c.349]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Нулевое и бесконечное увеличение. Теперь мы можем рассмотреть предельные случаи нулевого и бесконечного увеличения. В случае пулевого увеличения удобнее использовать прямое направление. Причина в том, что обычно вычисление коэффициентов аберрации производится одновременно с расче-то.м луча, так как обе численные процедуры требуют знания одних и тех же осевых распределений поля. Таким образом, в начале вычислений обычно не известно положение фокальной точки до тех пор, пока для ее определения не рассчитана траектория какого-либо отдельного луча. Однако с другой стороны, в этом случае объект рааположен на —оо, т. е. невозможно выполнить интегрир01вание функции [ (г)], соответствуюшей движению в прямом направлении, которая имеет бесконечные значения всюду внутри линзы. Что же можно сделать в данном случае [c.269]

Во второй главе затрагиваются некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решений которых зависит исследование как (чисто) диссипативных динамических систем, так и систем с переменной диссипацией, рассматриваемых ниже и возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. Рассматриваются такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса наличия замкнутых траекторий, в том числе, таких, которые охватывают фазовый цилиндр качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования семейств дпинноперио-дических и устойчивых по Пуассону траекторий. Исследуются также возможности перенесения теории двумерных топографических систем Пуанкаре и систем сравнения на многомер-ныйслучай(см. также[168,250, 251, 266, 291, 300]). [c.69]

Первый случай был несколько курьезным. Проверяя свою установку в университете Ватерлоо, Гродский и Диксон [191] с удивлением обнаружили слабые дГвА-осцилляции при поле -100 кГс, хотя в приемной катушке вообще не было образца. Осцилляции имели частоту, характерную для траектории на пузе в Си, кроме того, наблюдались длиннопериодные биения. Авторам удалось показать, что осцилляции обязаны проводу из поликристаллической меди, из которого была намотана катушка, и, как сейчас будет показано, простой анализ, при котором поликристалл рассматривается как предельный случай мозаичности, позволяет правдоподобно объяснить их результаты. Существенным исходным пунктом анализа является то, что лишь для тех зерен, ориентация которых при заданном направлении поля близка к экстремальной, когерентность фаз оказывается достаточной для выживания осцилляций. [c.497]

Монотонное изменение диэлектрической проницаемости приводит к рефракции, т. е. к плавному искривлению траектории движения радиоволн в тропосфере. При среднем состоянии атмосферы искривление траектории незначительно и предельное рас-стоя1Ние прямой -види-мости за счёт рефракции увеличивается так. как если бы прямолинейное распростран е происходило над более плоской Землёй с радиусом, равным 4/3 истинного. Степень и характер рефра кции меняется в зависимости от метеорологических условий. Изменение рефращни приводит к медленным изменениям среднего уровня напряжённости поля в точке приёма. [c.9]

С предельными линиями тока на поверхности, представляющими векторное поле, можно связать фазовый портрет вектора вязких напряжений. Если отображение одного фазового портрета на другой сохраняет траектории, то фазовые портреты имеют одну и ту же топологическую структуру. Топологические свойства не меняются при отображениях, которые сохраняют траектории. Под топологическими свойствами понимают число и тип особенностей, траектории, соединяющие особые точки. Топологические свойства образуют структуру. Фазовый портрет является структурно устойчивым, если при изменении некоторого параметра (например, числа Рейнольдса) топологическая картина не меняется. Если небольшие возмущения при изменении параметра стремятся к нулю при /- оо, то течение асимптотически устойчиво. Асимптотическая не-З стойчивость приводит к бифуркации топологической картины, нарушению симметрии, диссипативным структурам. [c.173]

Ha плоскости x, у такое движение отображается замкнутой изолированной фазовой траекторией - пределыным циклом. Он имеет вид окружности с центром в начале координат и тем же радиусом К.. Таким образом, состояниям равновесия на плоскости переменных Ван-дер-Поля соответствуют предельные циклы на плоскости Х,у. Очевидно, что устойчивым состояниям равновесия соответствуют орбитно-устойчивые предельные циклы, а неустойчивым - неустойчивые предельные циклы (см. рис. 8.3, соответствующий фазовому портрету на рис. 8.2). Это ясно уже из того, что плоскость С, вращается с постоянной угловой скоростью относительно плоскости Х,у при этом движения изображающих точек по отрезкам прямых на плоскости С, Ь преобразуются в движения по отрезкам спиралей на плоскости Хуу. [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...