Мера абсолютно непрерывная

Матрица монодромии периодического решения 219 Мера абсолютно непрерывная 31 [c.428]

Предложение 5.1.2. Если (л — эргодическая Т-инвариантная вероятностная мера, то Т не имеет никаких других инвариантных вероятностных мер, абсолютно непрерывных относительно Ц. [c.194]

Доказательство. Предположим, что инвариантная мера абсолютно непрерывна и имеет плотность р. Тогда по (12.4.1) мы имеем [c.416]

Перемешивание (см. гл. 1, 3). С точки зрения статической механики, перемешивание означает необратимость динамики любая начальная мера, абсолютно непрерывная относительно инвариантной меры, сходится к последней (слабо) под действием динамики. [c.117]

Отметим, что в отличие от конечномерной ситуации, где есть выделенный класс мер (меры, абсолютно непрерывные по мере Лебега), в бесконечно частичной ситуации естественные классы мер (например, гиббсовские меры с различными парными потенциалами, зависящими от расстояния между частицами) взаимно сингулярны. Поэтому построение траекторий для почти всех относительно отдельно взятой вероятностной меры начальных условий не дает полного решения интересующей нас задачи. [c.252]

Для борелевского множества У обозначим через ту Х) = т(Х П У) сужение т на У. Абсолютная непрерывность т на У по определению означает, что мера ту абсолютно непрерывна. Аналогичное соглашение применяется и по отношению к другим свойствам меры т. Отметим, что мера абсолютно непрерывна, если абсолютно непрерывны ее сужения на любые конечные интервалы. [c.24]

Для размешивающихся систем предельное, при t—>oo, распределение вероятностей любых, заранее фиксированных областей, очевидно, не зависит от вида начального распределения, лишь бы последнее было непрерывным (см. предыдущий параграф). Поэтому, естественно, может возникнуть мысль о возможности обоснования статистики и, в частности, возможности получения всех свойств релаксации, исходя из одного лишь предположения, что начальный закон распределения вероятностей является абсолютно непрерывным (но при этом условии, т. е. условии, что определяемая им вероятность любой области стремится к нулю вместе с мерой этой области, он совершенно произволен). Укажем прежде всего, почему такое предположение не может привести к цели. [c.112]

Следствие. Предположим, что / М- М —транзитивный У диффеоморфизм класса . Если некоторая вероятностная мера Ji, абсолютно непрерывная относительно ш, инвариантна относительно f, то = [c.87]

Инвариантная мера оказывается абсолютно непрерывной относительно меры Лебега также для растягивающих кусочно-гладких отображений отрезка в себя (см. [И], [45]). [c.236]

Существует класс инвариантных мер, которые естественны для гладких систем. Это абсолютно непрерывные меры, т. е. меры, задаваемые плотностями в локальных координатах. В 1 этой главы устанавливаются общие критерии существования таких мер для трех классов динамических систем в случаях дискретного обратимого и необратимого времени и в случае непрерывного времени. Мы показываем, как эти критерии могут использоваться при установлении существования и единственности инвариантных гладких мер для растягивающих отображений. В оставшейся части этой главы описываются несколько классов динамических систем, возникающих в классической механике и дифференциальной геометрии. Благодаря наличию дополнительной структуры все эти системы сохраняют естественно определенную инвариантную гладкую меру. По ходу дела мы обогащаем нашу коллекцию стандартных примеров несколькими новыми экземплярами. [c.192]

Определение 5.1.1. Мера п на дифференцируемом многообразии называется абсолютно непрерывной, если в любой гладкой локальной карте она получается интегрированием плотности. Такая мера называется положительной, если плотность почти всюду положительна в любой карте. Она называется гладкой положительной, если плотность — гладкая положительная функция. [c.193]

Имеется простая связь между единственностью инвариантной меры определенного класса и эргодичностью. А именно, пусть Т (М, fi) — (М, fi) — сохраняющее меру преобразование и i/ — другая мера, которая абсолютно непрерывна относительно fi и имеет плотность р. Если мера i> является Г-инвариантной и отображение / измеримо, то [c.193]

Для гладкой динамической системы на гладком многообразии естественно задать следующий вопрос имеет ли данная система абсолютно непрерывную или гладкую положительную инвариантную меру [c.194]

Предложение 5.1.5. Пусть М — гладкое многообразие, С1 — форма объема, отображение / ММ дифференцируемо и р М— -К — плотность абсолютно непрерывной /-инвариантной меры. Тогда р х)= [c.195]

Предложение 5.1.6. Пусть М—гладкое многообразие, С1—форма объема и / М М — диффеоморфизм с абсолютно непрерывной /-инвариантной мерой с плотностью р М —которая всюду определена и положительна. Тогда J/"(x) = 1 для каждого х е Р1х(/"). [c.195]

Предложение 5.1.12. Пусть М — гладкое многообразие, П — форма объема и f М М — диффеоморфизм. Если существует абсолютно непрерывная f-инвариантная мера с положительной непрерывной плотностью, то множество Jf" x) neZ,xe М ограничено. [c.197]

Таким образом, если функция р конечна всюду (или почти всюду), то она является неподвижной точкой оператора Перрона — Фробениуса (см. определение 5.1.7) и потому задает плотность абсолютно непрерывной /-инвариантной меры. Чтобы гарантировать, что р — функция из класса L и, следовательно, рП—конечная мера, достаточно показать, что р равномерно ограничена. Кроме того, если р также ограничена снизу некоторым положительным числом, то мера рП эквивалентна П. Таким образом, мы доказали следующий аналог теоремы 5.1.13 для необратимых отображений. [c.199]

Так как е произвольно, А(5 А) = 0, и, так как инвариантная мера д абсолютно непрерывна относительно А, д(5 А) = 0 и мера п эргодическая. [c.202]

Если р — неподвижная точка отображения, сохраняющего положительную абсолютно непрерывную меру, то определитель дифференциала Df равен 1 (см. предложение 5.1.6, в котором рассматриваются только сохраняющие ориентацию отображения). Таким образом, если Л,,...,Л — собственные значения дифференциала D/p, взятые с учетом кратностей, то [c.287]

Поскольку имеются четыре точки а, Ь, с, d, в которых кривизна разрывна, производная отображения возвращения на В разрывна на четырех отрезках. Это обстоятельство оказывается очень важным для анализа поведения орбит, типичных в смысле абсолютно непрерывной меры sin 9 d9. Однако, когда мы рассматриваем любой конечный набор периодических орбит, не содержащих никакую из четырех точек а, Ъ, с, d, отсутствие гладкости нам не мешает, поскольку граница стадиона легко может быть заменена выпуклой кривой класса С , совпадающей с В в некоторой окрестности точек столкновения нашей периодической орбиты с грани-цёй. [c.353]

Предложение 12.4.1. Инвариантная мера р, всякого С -диффеоморфизма окружности либо абсолютно непрерывна, либо сингулярна. [c.415]

Теорема. Пусть А —аттрактор класса С=, W%—его область притяжения, v — вероятностная мера, абсолютно непрерывная по отношению к мере т, с носителем в множестве Wx- Если ограничение потока F на множество Л является то/ Ологическим перемешиванием, то [c.163]

Гд,г—нормированная мера, абсолютно непрерывная отиоси-тельио меры ц, с равномерно ограниченной по Г плотностью. Действительно, согласно следствию 4.6, [c.164]

По-видимому, для типичного отображения окружности (или отрезка) в себя инвариантная мера, абсолютно непрерывная относительно лебеговской, может существовать только для нигде не плотного множества значений параметра. Представляет интерес вопрос о мере этого множества. В [58] показано, что оно имеет мощность континуума. [c.237]

Все положительные меры эквивалентны, т. е. они имеют одну и ту же совокупность множеств меры нуль. Любая абсолютно непрерывная мера абсолютно непрерывна относительно любой положительной меры. Класс положительных мер инвариантен относительно диффеоморфизмов, а также относительно сюръективных дифференцируемых невырожденных отображений, т. е. отображений, якобиан которых (определитель матрицы частных производных в локальных координатах) обращается в нуль только на множестве меры нуль. [c.193]

Согласно одной теореме Гуртина и Вильямса ), такая функция, если она к тому же абсолютно непрерывна по отношению к объему, является сужением на % ) некоторой борелевской меры, абсолютно непрерывной по отношению к объему. Мы можем для этой меры использовать то же обозначение в. Из теоремы Радона — Никодима следует, что Гв имеет почти всюду ограниченную плотность btot [c.131]

Естеств. кандидат на роль инвариантной меры гиперболич. системы—это риманов объём (соответствующим образом нормированный). Однако он инвариантен лишь в нек-рых, весьма спец. ситуациях (напр., для автоморфизмов тора). Если же риманов объём р не инвариантен, а ДС представляет собой каскад Аносова, то она диссипативна относительно р существует множество, образы к-рого под действием Т при разных t попарно не пересекаются и по крывают всё фазовое пространство. Тем не менее из р можно получить инвариантную меру. Для этого нужно, качав с любой абсолютно непрерывной вероятностной меры ц (т.е. меры задаваемой плотностью относительно р), ввести последовательность мер где [c.632]

Абсолютно непрерывная инвариантная мера существует для весьма широкого класса кусочно-растягиваюших отображений, хотя в общем случае невозможно указать явный вид её плотности. К упомянутому классу принадлежат, в частности, растягивающие отображения окружности. Отождествив окружность единичной длины с полуинтервалом [О, 1), можно задать такое отображение уже встречавшейся ф-лой 73с = Рг(/(л )), 0<л<1, Где /—достаточно гладкая ф-ция, определённая на отрезке [О, 1 ] и удовлетворяющая условиям /(0)=0, /(1)—целое число ч/ (х) Х>1 (первый из приведённых выше примеров именно таков). При этих условиях существует абсолютно непрерывная Г-инвариантная мера ц с положительной [c.634]

Пусть / IR" = .г —> IR — неотрицательная суммируемая функция. Мера dfi = f z)d z называется абсолютно непрерывной, если для каждой измеримой области D С IR" с положительной лебеговой мерой значение интеграла mes(D) = f f d z положительно. Пусть Z = v(z) — динамическая система ид — ее фазовый поток. Мера d i называется инвариантной мерой этой динамической системы, если mes g D)) = mes(D) для любой измеримой области D и для всех значений времени t. Если / — положительная функция класса то инвариантная мера называется интегральным инвариантом. [c.31]

Нетрудно показать, что если вектор а является собственным вектором оператора /, то фа.эовый поток уравнений (7.5) сохраняет стандартную меру в IR = о ,7 . Как отмечено в [90], если 1а ф Ха, то при 6=0 система (7.5) не имеет даже абсолютно непрерывной (по отношению к мере Лебега в IR = о , 7 ) инвариантной меры. Поэтому будем предполагать, что и в общем случае вектор а направлен вдоль одной из осей инерции тела без ограничения общности можно считать, что а имеет компоненты О, 0,1. [c.54]

Замечание. В случае У-потока (Л — М), обладающего инвариантной (вероятностной) мерой jx , абсолютно непрерывной по отношенню к мере Лебега m, из этой теоремы вытекает известный факт-. A = M ф(u). [c.163]

Еслн ft /-+7 —однопараметрнческое ссмсйство отображений, то абсолютно непрерывная мера может существовать для отдельных значений параметра. Так, например, в семействе отображений fi х Ьх 1 —х), популярном в биологии (см. [48]), прн Ь = 4 точка максимума х = /г является прообразом отталкивающей неподвижной точки 0. Замена = ф(л ) = ar sin переводит отображение f в кусочно- [c.237]

Докажите, что единственная мера, инвариантная относительно диффеоморфизма, построенного в этом параграфе, является абсолютно непрерывной, если мера Лебега множества Данжуа S U / положительна, и сингулярной в противном случае. [c.409]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...