Замкнутая кривая простая

Простая замкнутая кривая. Если функции ж = <р (t), определенные при значениях I, I Т, и при этих значениях однозначные и непрерывные, таковы, что фг (((,) = фг (Т), причем равенство ф = ф ( 2) ( о 1 < % < может иметь место только в случае, когда = г ,, 2 = Т, то множество точек М ( 1,. . ., ж ), где а 1 = ф1 (г).....= (Рп ) при всевозможных г, Т, называется параметризованной простой замкнутой кривой. Простой замкнутой кривой называется множество точек, которое путем выбора функций ф ((), обладающих указанными выше свойствами, может быть представлено как параметризованная простая замкнутая кривая. Простая замкнутая кривая, очевидно, гомеоморфна окружности. Параметризация простой замкнутой кривой может быть различной. На параметризованной простой замкнутой кривой может быть установлено положительное направление обхода (т. е. точки кривой С упорядочиваются либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания t). Любые две точки и М2 на простой замкнутой кривой разделяют ее на две простые дуги с общими концами. [c.523]

Гладкая простая замкнутая кривая и кусочно-гладкая простая замкнутая кривая. Простая замкнутая кривая называется гладкой, если существует параметрическое представление этой кривой ж = ф(/), у = ф (1), в котором функции ф ( ) и ч ) (/) удовлетворяют следующим условиям а) они однозначны, непрерывны при всех /, /о С С Г ( о и Т — некоторые заданные значения), таковы, что ф (%) [c.536]

При простых кратных отношениях между обеими частотами фигуры Лиссажу представляют собой замкнутые кривые, вписанные в прямоугольник со сторонами, равными удвоенным амплитудам происходяш,их колебаний. По числу касаний траектории сразу можно определить отношение частот колебаний. На рис. 409 приведен пример траектории, которая получается при некотором определенном соотношении фаз для частот, относящихся, как 1 3. Если между обеими частотами нет простого кратного отношения, то траектории двил<ения являются незамкнутыми и вместо фигур Лиссажу получаются области, сплошь заполненные траекторией движущейся точки. [c.631]

Графическое представление T S) (Т, S-диаграмма) играет столь же важную роль, что и р ) (Р, -диаграмма) площадь, ограниченная замкнутой кривой процессов, образующих цикл, равна результирующей работе, совершаемой системой или внешней средой над системой. Изображение цикла Карно имеет наиболее простой вид в Г, 5-диаграмме. [c.56]

Орбита представляет собой простую замкнутую кривую С одним перигелием и одним афелием, если = я. Если отношение есть число рациональное, т. е. [c.68]

Траектории периодических движений суть простые замкнутые кривые. Они являются замкнутыми силовыми линиями поля (P,Q), если таковые существуют. [c.385]

Рассмотрим простую замкнутую кривую Г, не проходящую через особые точки пусть точка р проходит всю эту кривую, двигаясь в положительном направлении (против хода часовой стрелки). Обозначим через 9 (р) наклон силы поля F к оси Ох в точке р. Если точка р, двигаясь по кривой в положительном направлении, против хода часовой стрелки, совершает один полный оборот, то 0 (р), изменяясь непрерывно с изменением р, получает приращение 2/гп, где п — целое положительное или отрицательное число или нуль. Число п называется индексом кривой для заданного поля. Изменение 0 при перемещении точки р по кривой Г можно представить посредством отображения кривой Г на единичную окружность. Если через и (р) обозначить единичный [c.385]

Если кривая Г фиксирована, а векторное поле F непрерывно изменяется, но так, что на кривой Г не появляется особых точек, то индекс кривой остается без изменения. Обратно, если зафиксировать поле и непрерывно деформировать кривую Г, но так, чтобы она оставалась простой замкнутой кривой, [c.385]

Если замкнутая кривая Г лежит в односвязной области поля F без особых точек, то ее индекс равен нулю. В самом деле, такую кривую можно, не изменяя индекса, путем непрерывной деформации стянуть в точку. Если Г — простая замкнутая кривая, не имеющая на себе особенностей, а имеющая лишь допустимые изолированные особые точки внутри ограничиваемой ею области, то индекс для кривой Г равен сумме индексов охватываемых ею особых точек. Число особых точек в области, ограничиваемой кривой, должно быть конечным. При этом условии сформулированное утверждение легко [c.386]

Рассмотрим, далее, значения функционала I на простых замкнутых кривых Г семейства и, расположенных внутри кольца, ограниченного кривыми Си/). Предположим, что это кольцо не содержит особых точек функции V. Мы видели, что значения I убывают при перемеш,ении кривой Г наружу от кривой С или внутрь от кривой D. Предполагая, что значения / на кривых семейства у. ограничены и что точная нижняя грань этих значений т достигается на некоторой кривой семейства, приходим к выводу, что существует по крайней мере одна кривая Го, для которой / (Го) = т. На этой кривой функционал / достигает минимального значения. Очевидно, что кривая Го не может совпадать как с кривой С, так и с кривой D ни целиком, ни какой-либо частью. Таким образом, если на кривой С W < О, а ка кри-тй D W > Q, то в кольцевой области, ограниченной этими кривыми, существует по крайней мере одна периодическая траектория. [c.551]

Эти кривые в плоскости ху (называемые фигурами Лис-сажу )) представляют собой результат сложения простых гармонических движений с различными частотами. Это — замкнутые кривые, если ki/k — рациональное число в противном случае они заполняют ) весь прямоугольник [c.109]

ГЛ наз. односвязной, если любая замкнутая кривая в этой Г. может быть непрерывной деформацией стянута в точку. Для любой ГЛ G совокупность G тех её элементов, к-рые можно соединить с единицей непрерывкой кривой, образует максимальную связную подгруппу в G, наз. связной компонентой единицы Г. G. Подгруппа Gq инвариантна в G, а фактор-группа GlG дискретна. Напр., для Г. 0(п) связной компонентой единицы является подгруппа SO n). Фактор Грунна О п)1 SO п) состоит из двух элементов. Свя.зная ГЛ G является разрешимой (соответственно нильпотентной, почти простой, полупростой), если и только если её алгебра Ли разрешима (соответственно нильпотентна, проста, полупроста). [c.544]

Понятие индекса особой точки состоит в следующем. Возьмем некоторую простую замкнутую кривую Г, которая не проходит через особые точки, а в области ограниченной этой кривой, имеется не более одной особой точки. В точках кривой Г рассмотрим [c.108]

Если частоты i, а соизмеримы, то траектория представляет собой простую замкнутую непересекающуюся линию на торе (фиг. П.2.4). Любым начальным условиям при одинаковых значениях /i, /2 соответствуют замкнутые кривые одного и того же вида, расположенные на том же торе. Если же J-y и различны, то траектории расположены на другом концентрическом торе. Если, однако, частоты несоизмеримы ( рационально независимы ), то траектория плотно заполняет поверхность тора она никогда не замыкается сама на себя. [c.361]

Предположим, что мы имеем п-связную область с п — 1 независимыми просто неприводимыми замкнутыми кривыми. В этом случае можно провести перегородку, которая одну из этих замкнутых кривых пересечет в одной только точке, а остальные п — 2 замкнутых кривых совсем не пересечет. Такая перегородка не нарушит связности области, так как пересеченная ею замкнутая кривая останется как путь от одной стороны перегородки до другой. Однако порядок связности области понижается на единицу, ибо всякая замкнутая кривая в измененной области должна быть переводима в одну или несколько из п — 2 не пересеченных нашей перегородкой замкнутых кривых. [c.69]

Пусть порядок связности области будет п + 1, так что в ней можно провести п независимых просто неприводимых замкнутых кривых а , Оа,..., Оп. Пусть циркуляции по этим замкнутым кривым будут соответственно х ,..., Знак каждого ж будет зависеть, естественно, от направления интегрирования вдоль соответствующей замкнутой кривой мы назовем направление, по которому взято х, положительным направлением замкнутой кривой. Значение циркуляции по другой произвольной замкнутой кривой можно сразу определить. В самом деле, данная замкнутая кривая должна быть переводимой в какую-либо комбинацию кривых а ,..., ап, а может при этом проходиться Рг раз, а —р раз и т. д., причем р , естественно, будет отрицательным, если соответствующая замкнутая кривая про- [c.70]

Если через каждую точку малой замкнутой кривой провести со ответствующую вихревую линию, то получим трубку, которая назы> вается вихревой трубкой. Жидкость внутри такой трубки образует вихревую нить или просто вихрь. [c.251]

Вышеуказанные свойства областей надо называть скорее топологическими, чем просто геометрическими, так как они в основном не зависят от частного вида упоминаемых границ. Например, поперечные сечения цилиндров могут быть эллипсами или какими-либо другими простыми замкнутыми кривыми. [c.97]

Интегральная теорема Коши может быть сформулирована также для многосвязных областей. Если Со, Сь..., С — простые (непересекающиеся) замкнутые кривые, расположенные целиком в области О таким образом, что Сь---, С лежат внутри кривой Со, но вне друг друга (см. рис. 46), а функция [(г) регулярна и однозначна на границах многосвязной области, содержащей кривые Со, Сь...,С , то [c.143]

Если г — внутренняя точка на простой замкнутой кривой С, лежащей полностью в области О, в которой функция f z) регулярна и однозначна, то [c.143]

Другой вывод интегральной теоремы Коши известен как теорема о вычете. Коэффициент а 1 при (г—а) в разложении аналитической функции в ряд Лорана называется вычетом функции в точке г = а. Теорема читается так если С есть простая замкнутая кривая и функция (г) однозначна и регулярна на кривой С и внутри нее, за исключением конечного числа особых точек внутри кривой, в которых вычеты составляют Яи Яп, то [c.144]

Помимо пневматики для автоматизации простого цикла, в особенности при малых перемещениях рабочего органа, можно рекомендовать приставные агрегаты с шариковыми приводами, предложенные проф. Г, А. Шаумяном, или устанавливаемый на ходовом валике цилиндрический кула- чок с замкнутой кривой. [c.165]

Теорема 4. Пусть Ъ — нижняя грань функционала действия J на множестве простых замкнутых кривых, не принадлежащих гомотопическому классу 17 [или обратному). Если с — с> 2Ь, то существуют хаотические траектории с энергией /г. [c.159]

Команда ВНАТСН (КШТРИХ) позволяет штриховать область, ограниченную замкнутой кривой, как путем простого указания внутри контура, так и путем выбора объектов. Она автоматически определяет контур и игнорирует любые целые примитивы и их составляющие, которые не являются частью контура. [c.238]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Полученный результат интересен еще с одной точки зрения. Каждая точка простой замкнутой кривой Го фазового пространства ( 15.2) является началом определенной траектории, выходящей из нее в момент t = 0. Изображающие точки, взятые на этих траекториях в момент t, составляют замкнутую кривую Г, полностью определяемую заданной кривой Гд. Значение криволинейного интеграла Prdqr, взятого по кривой Г, остается постоянным. [c.274]

При этом tji стремится к бесконечности вместе с п. Обозначим точку р itr) на отрезке S через р . Имеются две возможности. 1) Если точка р2 совпадает с pi, то траектория С является циклической и все точки jdj, р2, Рз,. . . совпадают. 2) Если точки р2 и jDi различаются, то точка рз отличается от pi и р2 и точка р2 располагается между точками pi и р . Здесь необходимо обратиться к теореме Жордана. Рассмотрим простую замкнутую кривую Г, составленную из дуги рф2 траектории С и отрезка прямой S. Если изображающая точка попадает внутрь области, ограниченной кривой Г, то она там и остается, поскольку она не может пересечь ни дугу р р2 траектории С, ни прямолинейный отрезок P2P1- Поэтому точка р2 лежит между точками pi и рз (рис. 91, а). Аналогично, если изображающая точка оказывается вне области, ограниченной кривой Г, то она там и остается, и опять-таки точка р2 лежит между точками р и рз (рис. 91, Ь). [c.390]

Остается рассмотреть исключительный случай, когда множество Л не сводится к особой точке, но таково, что каждая траектория, полностью лежащая в Л, обладает тем свойством, что ее положительное предельное множество является особой точкой и ее отрицательное предельное множество является особой точкой. В этом исключительном случае множество Л является псевдоциклической траекторией, т. е. представляет собой замкнутую кривую, составленную из траекторий, каждая из которых начинается и заканчивается в особой точке. Эти особые точки являются седловыми. Простейшим случаем псевдоциклической траектории является тот, когд одна траектория выходит из седловой точки и возвращается в нее. В другом простом случае имеются две различные седловые точки, которые соединяются двумя различными траекториями. Выше были приведены примеры обоих этих случаев сепаратриса на рис. 89 дает пример первого случая, а сепаратриса на рис. 83 — пример второго случая. [c.392]

Если существует замкнутая область R, не содержащая особых точек и такая, что в каждой точке ее границы вектор поля F направлен внутрь области, то в такой области имеется по крайней мере одна циклическая траектория. (Предполагается, что граница области состоит из кривых с непрерывно изменяющимся наклоном касательной, за исключением конечного числа угловых точек.) В самом деле, любая положительная полухарак-теристика, начинающаяся в области R, остается в этой области и при < 0 эта положительная полухарактеристика либо является циклической, либо стремится к предельному циклу. К тому же выводу мы приходим и в том случае, когда во всех точках границы вектор поля JP направлен наружу. Для доказательства достаточно рассмотреть отрицательные полухарактеристики, начинающиеся в точках области R. Из сказанного, разумеется, не следует, что в области R имеется лишь одна циклическая траектория. (Область R не может быть односвязной. Если бы, например, область R состояла из простой замкнутой кривой Г и ограничиваемой ею области, а вектор 1 в каждой точке Г был бы направлен внутрь этой области, то индекс ( 20.1) кривой Г был бы равен единице, так что в области была бы по крайней мере одна особая точка.) [c.392]

Б рмоники Ц. р. В ряде случаев в спектрах Ц. р. помимо резонансного поглощения на осн. частоте наблюдаются также максимумы поглощения на частотах (и — целое число). В слабых полях Ъа кТ) гармоники возникают при сложной (неэллипсоидальной) форме изоэнергетич, поверхностей. В этом случае носители заряда в плоскости, перпендикулярной Н, движутся по сложной замкнутой кривой. Скорость электрона v в этой плоскости не является уже простой гармонич. ф-цией времени I, её разложение в ряд Фурье содержит наряду с частотой кратные частоты па,. Соответственно поглощаемая мощность P=evE имеет на этих частотах максимумы. Гармоники Ц. р. для [c.431]

Команда ВНАТСН выводит на экран диалоговое окно, автоматически определяет контур штриховки, дает возможность предварительного просмотра штриховки, позволяет выполнить подгонку штриховки без выхода из команды. Эта команда позво.чяет штриховать область, ограниченную замкнутой кривой, как путем простого указания внутри контура, так и путем выбора объектов. По команде ВНАТСН на экран выводится диалоговое окно штриховки по контуру. [c.16]

NMT N с в точке T qy что противоречит определению k. ()б(шмй 1им через С простую замкнутую кривую, составленную Hi простых дуг q Xy (часть у), Тг> > Te-i и - 9) (Ч1СТ1 7 ). Точки 2 = Tqj, q == Т qi принадлежат ( j 6 Tv [c.187]

Вообще область называется п-связной, если в ней могут быть проведены можду двумя точками п и только п взаимно непереводимых путей или если могут быть проведены п — 1 и не больше (простых) неприводимых и взаимно непереводимых замкнутых кривых. [c.69]

Пусть задана простая замкнутая кривая (нли контур) С в плоскости г и функция / (г) (рнс. 84). Говорят, что функция /(г) является аналитичв ской внутри контура С, если она удовлетворяет следующим условиям. [c.129]

Поле скоростей v = rot я непрерывно во всем пространстве, имеет завихренность <о внутри В и является безвихревым вне этой области, причем на бесконечности v = 0. Условие ю-п = 0 на ё означает просто, что вихревые линии являются замкнутыми кривыми, лежащими в области V). Таким образом, поле v предста-вляЬт собой поле скоростей изолированной вихревой системы несжимаемой жидкости. [c.74]

В это дифференциальное уравнение (3.9) входит величина Л, которая представляет собой толщину слоя и является заданной функцией от переменных х и г. Таким образом, в дифференциальном уравнении для давления коэффициенты будут, как правило, не постоянными, а переменными, Для определённости решения этого уравнения необходимо задать граничные условия для давления по той, вообще говоря, замкнутой кривой, которая ограничивает рассматриваемый смазочный слой в плане на плоскости хОг. Простейшим граиичным условием будет условие, при котором давление считается на этой кривой известным и постоянным, т. е. [c.200]

Для определенности нусть М ориентировано и х(М) = О (случай х(М) < О проще). Тогда М - тор или цилиндр. Пусть Л — простой гомотопический класс замкнутых кривых 7 [0,1] М, 7(0) = 7(1), а С Л — подмножество замкнутых кривых, проходящих через точку [c.155]

Возьмем, как и раньгие, простой гомотопический класс Л замкнутых кривых в М и соответствующий класс 17 С Л кривых, проходящих через множество Р. Если имеет место условие (12), то J имеет минимум на 17, соответствующий периодической траектории энергии /г. [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...