Система Морса-Смейла

Перечислим вырождения коразмерности 1, связанные с нарушением требований на системы Морса—Смейла. [c.88]

Определение. Бифуркация называется не выводящей нз класса систем Морса—Смейла, если по обе стороны соответствующей бифуркационной поверхности в шаре в у М) достаточно малого радиуса с центром в точке на этой поверхности всюду плотны системы Морса—Смейла. [c.95]

Бифуркационная поверхность может отделять системы Морса—Смейла от систем с бесконечным неблуждающим множеством — при переходе через нее может, например, рождаться странный аттрактор или нетривиальное гиперболическое множество (определение см. в [198]), или сложное предельное множество, содержащее бесконечно много траекторий. [c.95]

Теорема ([8], [9], [185]). 1. Любая грубая (структурно устойчивая) система на замкнутой поверхности является системой Морса—Смейла. 2. Множество грубых (структурно устой- [c.97]

Лемма. При выполнении сформулированных условий в окрестности Vq в х ( ) всюду плотны системы Морса—Смейла. [c.123]

Тогда все некритические векторные поля семейства, достаточно близкие к критическому, в некоторой окрестности гомо-клинической траектории задают системы Морса—Смейла не более чем с двумя неблуждающими траекториями, одна из которых — особая точка поля. Векторные поля семейства, соответствующие значениям параметра по одну сторону от нуля, не имеют других неблуждающих траекторий соответствующие значениям параметра по другую сторону от нуля имеют предельный цикл. Размерность устойчивого многообразия этого цикла на единицу превышает размерность устойчивого многообразия седла или совпадает с ней, в зависимости от того, отрицательна или положительна седловая величина о. А [c.128]

В одно- и двумерных фазовых пространствах структурной устойчивостью обладают так называемые системы Морса—Смейла, у которых множества неблуждающих точек состоят лишь из конечного числа неподвижных точек и замкнутых траекторий, причем все они — гиперболические отвечающие любым таким точкам устойчивое и неустойчивое многообразия трансверсальны (т. е. либо не пересекаются, либо касательные к ним пространства в каждой точке их пересечения и в сумме образуют полное касательное пространство). [c.127]

Обратимся теперь к вопросу о перенесении понятий, введенных для двумерных систем, на трехмерные и большего числа измерений и в первую очередь — понятия грубости. И здесь ситуация осложняется. Надо иметь в виду, что рассмотрение вопроса о грубости трехмерных систем тесно связано с рассмотрением грубости отображения плоской области в себя или плоскости в плоскость. Полностью необходимые и достаточные условия грубости трехмерных систем еще не установлены. Выделены только классы грубых систем, удовлетворяющих некоторым достаточным условиям грубости. Это, в первую очередь, системы Морса — Смейла, удовлетворяющие условиям [c.469]

Системы Морса — Смейла..........189 [c.151]

Общие сведения о системах Морса — Смейла.....189 [c.151]

Системы Морса—Смейла [c.189]

Динамические системы Морса—Смейла с наибольшим основанием могут считаться системами с простым фазовым портретом и по этой причине заслуживают внимания. [c.189]

Многие С -грубые свойства гладких ДС (например, свойство быть системой Морса—Смейла) не являются С°-грубыми. Но если свойство оказывается не только С -грубым, ио и С°-гру-бым, этот факт заслуживает быть отмеченным. (Мы говорим только о С -грубых свойствах, но не о С°-грубых системах — такого понятия нет. Далее, по аналогии с п. 1.2 гл. 2, можно говорить о С°-типичных свойствах. Литературные ссылки см. в МЭ, Общее положение , Топологическая динамика . Однако не ясно, насколько это полезно для теории гладких ДС.) [c.205]

Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса — Смейла без периодических траекторий на сферах. Дифференц. уравнения, 1978, 14, № 2, 245—254 [c.238]

Таким образом, любая негрубая система является граничной для множества систем Морса—Смейла. [c.98]

Векторные поля на двумерном торе. Класс систем Морса—Смейла на двумерном торе так же, как и на любой двумерной поверхности (см. 2), совпадает с классом структурно устойчивых (и грубых) систем. Поэтому любая негрубая система лежит на границе множества систем Морса—Смейла. [c.149]

Несмотря на простую и естественную формулировку этих достаточных условий, возможная качественная структура систем Морса — Смейла может быть очень сложной. У таких систем может быть счетное множество ячеек . Существуют также примеры грубых динамических систем со счетным множеством седловых предельных циклов с неограниченно увеличивающимся периодом. Впервые такой пример был построен американским математиком Смейлом (см. список дополнительной литературы [42 ]). Примеры грубых систем со счетным множеством устойчивых или неустойчивых циклов с неограниченно увеличивающимся периодом отсутствуют. Доказательство того, что в грубых многомерных системах не может существовать счетного множества предельных циклов с ограниченными периодами, не представляет затруднений. [c.470]

Аттрактор Лоренца и его негрубость сохраняются и вообще при всех достаточно малых изменениях правых частей уравнения (1). А отсюда, очевидно, следует, что не существует сколь угодно близкой к системе (1) грубой системы и, следовательно, грубые системы не всюду плотны в пространстве трехмерных систем. Так как для двумерных систем всюду плотность грубых систем в пространстве динамических систем была чрезвычайно важным свойством, то в этом кардинальном вопросе разница между двумерными ц многомерными динамическими системами очень существенна ). Тем не менее понятие грубости динамических систем трех и большего числа измерений — в простейшем случае систем Морса — Смейла или даже в еще более упрощенной ситуации, например, в случае систем Морса — Смейла с конечным числом ячеек, все же сохраняет свое значение. Большое значение (как математическое, так и для приложений) имеет также рассмотрение бифуркаций многомерных динамических систем через негрубые системы. Мы сделаем по этому поводу некоторые краткие замечания. [c.471]

Строение фазовых многообразий систем Морса—Смейла. С системой М.—С. связаны некоторые разбиения фазового многообразия М , позволяющие связать топологию последнего со свойствами фазового портрета. [c.193]

Пилюгин С. Ю., О системах типа Морса — Смейла с одинаковыми фазовыми диаграммами. Дифференц. уравнения, 1974, 10, Ш 5, 816—821 [c.238]

Теорема. В пространстве гладких векторных полей на области евклидова пространства R" (и на любом п-мерном многообразии) для любого m[c.152]

Следствие. Рассмотрим произвольную деформацию семейства d, то есть двупараметрическое семейство v уравнений с параметрами е, ц, которое при ц = 0 совпадает с d. Тогда малому ненулевому значению параметра ц соответствует однопа-раметричесое семейство v , (с параметром е) и значения (ц) и + ц) такие, что при < (ц) все уравнения семейства задают системы Морса—Смейла при 8> +(ц) все уравнения семейства имеют инвариантный тор (ц)->-Опри (рис. 57). [c.152]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

Использование градиентных потоков для изучения топологии многообразий описано в первой главе классической книги Милнора [205]. Мы следуем Милнору в изложении трех элементарных примеров. Полезным динамическим обобщением понятия градиентного потока типичной функции является понятие системы Морса — Смейла [310]. [c.723]

Имеется обширная литература, посвященная бифуркациям, из которой мы можем привести только незначительную выборку. Работа [28] представляет собой всесторонний обзор, охватывающий локальную и нелокальную теорию. Книга Палиса и Такенса [243] — лучший источник информации об определенном классе нелокальных бифуркаций, связанных с появлением положительной энтропии в системах Морса — Смейла. Книги [25] и [283] содмжат введение в вопрос. Локальные и глобальные бифуркации также обсуждаются в [104]. Локальные нормальные формы и гомотопический прием представляют собой наиболее полезные инструменты в теории локальных бифуркаций. Алгебраическая геометрия и ее приложения в теории особенностей начинают играть важную роль, когда рассматриваются многопараметрнческие семейства. Интересный пример глобальных бифуркаций появляется в типичных семействах [c.728]

Ц1ЯМЙ понятий грубости и типичности. Грубость в данном случае совпадает с грубостью по Пейксото (М. М. Peixoto), определение которой отличается от определения из гл. 2, п. 1.2 тем, что гомеоморфизм, сопрягающий невозмущенную систему с возмущенной, не обязан быть близким к тождественному. Когда М ориентируема, а также когда она неориентируема и ее род р=1, 2, 3, то С -грубые системы с г>1 тоже являются системами Морса — Смейла (а стало быть, грубыми в обычном смысле) и -типичны. [c.236]

Статья посвящена теории гладких динамических систем, за исключением вопросов, связанных со сложным предельным поведением траекториа осаов-ные понятия, различные топологические понятия типа индексов, системы Морса — Смейла, потоки на поверхностях, примыкающие вопросы топологической дннамнки. Библ. 83 найм. [c.244]

Негиперболические особые точки. На границе множества систем Морса—Смейла встречаются системы с негиперболическими точками (циклами). Локальные бифуркации таких точек и циклов описаны в главах 1 и 2. Однако с негиперболичес- [c.88]

Морса — Смейла неравенства 197 Морса — Смейла система (поток, каскад, д иффеоморфизм) 189 Мультипликаторы замкнутой траектории 174 [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...