Преобразование Лапласа конечное

Это уравнение решается в общем виде по типу решения уравнения Фурье, но его решение с учетом зависимости коэффициента диффузии от температуры может быть реализовано или методом конечных разностей (сеток), или с помощью интегрального преобразования Лапласа и в обоих случаях требует машинного счета на ЭВМ. Проще всего оно решается для установившегося режима диффузии, т. е. при наличии постоянного градиента концентраций и постоянства температуры. В этом случае решение принимает вид [c.306]

Перейдем к исследованию преобразования Лапласа. Пусть функция f x) интегрируема на любом конечном интервале и удовлетворяет соотношениям [c.71]

Приближенное выражение для g(t) получается в этом случае после применения обратного преобразования Лапласа к конечному отрезку ряда для функции W p), а приближенное выражение для h t) после применения обратного преобразования Лапласа к конечному отрезку ряда для функции W p)/p. Очевидно, необходимо выбирать функции п(р) в разложении для W (р) такими, чтобы затем к ним было удобно применять обратное преобразование Лапласа. [c.108]

Отмеченное свойство интегрального уравнения (3.3.1) (неустойчивость решения задачи обращения преобразования Лапласа) заставляет с большой осторожностью использовать методы приближенного решения, связанные с заменой точного значения передаточной функции W p) приближенным. Даже если это приближенное значение Wi p) на всей полуоси [О, оо) мало отличается от точного значения W(p), приближенное значение весовой функции gi t), полученное из W p), может на конечных интервалах сильно отличаться от точного значения g t). Однако, несмотря на это, существует множество достаточно корректных методов приближенного обращения преобразования Лапласа, применимых к функциям W(p), которые при этом должны удовлетворять определенным условиям. Такими условиями, в частности, являются монотонность и ограниченность функции W р). Как будет видно в дальнейшем (см. гл. 4 и 5), характер протекания большинства химико-технологических процессов соответствует монотонным и ограниченным передаточным функциям, для которых существуют достаточно строгие методы приближенного определения весовой функции g i). Подробное изложение теории приближенного обращения преобразования Лапласа дано в работах [5, 6]. [c.109]

Этот тип уравнений сравнительно легко поддается рассмотрению, так как так называемое преобразование Лапласа, в общем случае не меняющее порядка уравнения, сводит в данном случае уравнение (7") к уравнению первого порядка, которое в свою очередь разрешимо в квадратурах. Это позволяет выразить решение уравнения (7") в виде интеграла на комплексной плоскости Я привожу здесь конечный результат ). Выражение [c.671]

Для систем, съем данных в которых происходит в течение конечного интервала времени, удалось, используя аппарат разностных уравнений и дискретного преобразования Лапласа, разработать методы исследования их устойчивости и построения процессов в этих системах. В дальнейшем, благодаря применению некоторых теорем дискретного преобразования Лапласа, оказалось возможным свести изучение этого класса систем к изучению обычных импульсных систем с мгновенным съемом данных. Если на первых порах теория импульсных систем заимствовала методы и приемы у теории непрерывных систем, то в настоящее время она успешно решила ряд задач по синтезу оптимальных линейных импульсных систем при учете неизменной части системы, которые в теории непрерывных линейных систем до сих пор остаются нерешенными. Наличие неизбежно присутствующих или преднамеренно вводимых нелинейностей ограничивает возможности применения линейной теории импульсных систем. Особенно это относится к системам с широтно- и частотно-импульсной модуляциями, а также к системам, содержащим в качестве элемента цифровые вычислительные устройства при учете ограничений памяти и небольшом числе разрядов. [c.270]

Одним из частных случаев ДАС являются последовательные машины, характеризующиеся тем, что они обладают конечным числом дискретных состояний, изменяющихся в дискретные моменты времени. Эти последовательные машины можно представить в виде обычных импульсных систем со специального вида нелинейностью, осуществляющей операцию сравнения по модулю. К нелинейным импульсным системам относится также широкий класс импульсных экстремальных систем. На основе дискретного преобразования Лапласа получены общие уравнения таких систем, которые положены в основу исследования переходных и установившихся режимов импульсных экстремальных систем с независимым поиском. [c.271]

Выражение для средней частоты отказов системы hf. t) в конечном виде, справедливое для любого закона надежности, получить не представляется возможным. Для каждого из указанных выше законов распределения времени возникновения отказов fto(0 будем находить, решая уравнение Вольтерра второго рода с разностным ядром [28] с помощью преобразования Лапласа. [c.117]

Рещение нестационарной задачи гидродинамики с обогревом <7н было проведено ранее в 4-1 методом преобразования Лапласа. Добавок теплового потока на конечном участке трубы (/—/п) при преобразовании по [c.139]

Для преодоления упомянутых выше трудностей разработаны различные методы приближенных интегральных преобразований, в которых прямое преобразование. и обратный переход осуществлялись по приближенным формулам. Вместе с тем возникла идея разработки метода так называемых конечных интегральных преобразований Лапласа, или правильнее — конечных интегральных преобразований Грина. Остановимся на последнем вопросе несколько подробнее. [c.83]

Решение этой задачи можно получить различными методами, в частности используя конечные интегральные преобразования Лапласа [Л. 15], путем совместного применения интегральных преобразований Фурье и Ханкеля [Л. 16, 17] и др. [c.381]

О КОНЕЧНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА [c.19]

В ряде работ А. В. Иванова [1, 2] предложен метод конечного интегрального преобразования, названный им конечным преобразованием Лапласа. [c.19]

Соотношение (8) дает двоякое представление для функции Ф(р) а) интегральное, в этом смысле Ф(р) является конечным изображением функции f ty, б) в виде ряда по функциям, являющимся преобразованиями Лапласа функций ф (Х , t) (отсюда, в частности, следует, что Ф(р) является мероморфной функцией с полюсами /Х ). [c.20]

Применяя к этому уравнению конечное преобразование Лапласа и используя формулу (14), получим [c.23]

В более общем случае стационарной задачи, когда ду М) 0 при MeV, в правую часть матричного уравнения (4.3,60) войдет дополнительно слагаемое в виде вектора тепловых нагрузок, компоненты которого выражаются через интегралы по объему тела. Для нелинейной стационарной задачи МГЭ может быть ис-по.тп.зован в сочетании с процедурой последовательных приближений [12, 28]. В случае применения МГЭ к решению нестационарной задачи теплопроводности требуется либо использование интегрального преобразования Лапласа, либо введение функций источника, либо предварительный переход к конечным разностям по времени [12, 28]. [c.210]

Квазистатические уравнения Стокса и предыдущая форма уравнений медленного течения значительно отличаются тем, что член с локальным ускорением d dt не обязательно должен быть малым. Конечно, если / о)р/ л также мало, предыдущая форма уравнений будет идентичной квазистатическим уравнениям. В любом случае уравнения (2.10.6) линейны и могут быть решены относительно прямыми методами. Методы преобразования Лапласа, устраняющие временную переменную, широко применяются для решения нестационарной формы уравнений Стокса. [c.73]

Задачи теплопроводности в составных твердых телах ) обычно лучше всего решаются методом преобразования Лапласа. Как изображения, так и решения могут оказаться достаточно сложными, однако при этом не появляется никаких новых правил. В 15 гл. II изучалось несколько задач, в которых рассматривается составное твердое тело. Их можно также решать данным методом. Здесь будут рассмотрены полуограниченные и конечные составные области. [c.314]

Задачу обращения преобразования Лапласа для соотношения (V.50) можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям Лежандра. Таким образом, задача сводится к проблеме моментов на конечном промежутке [221]. [c.121]

Получив и ы на S, обычным способом можем вычислить трансформанты Лапласа напряжений и смещений ы внутри области. Необходимые для этого интегралы должны вычисляться, конечно, в пространстве трансформант (т. е. функции ядра выражаются через X и ц ). Соответствующие этим трансформантам выражения (т. е. и i, ti, a j и т. д.) как функции времени могут в принципе быть получены в результате численного обращения преобразования Лапласа. [c.279]

Можно преобразовать дифференциальные уравнения (10.34) к форме, подобной (10.57), где вместо со стоит is, а вместо объемной силы — выражение ф (л , s) + У ) + su x). Тем самым задача сводится к решению статической задачи для каждого значения параметра преобразования Лапласа s. Основная трудность, конечно, состоит в том, чтобы эффективно выполнить обратное преобразование к пространству (х, t) некоторым численным способом [64]. Важный вклад в эту область внесли работы [25, 26, 53, 54]. [c.295]

Исследование уравнений теплопроводности (параболического и эллиптического типа) содержится в курсах математической физики [43, 46, 49]. Здесь рассматриваются задачи теплопроводности, имеюшие наибольшее практическое значение и иллюстрирующие применение основных методов теории теплопроводности. К ним относятся задача о нестационарном теплообмене пластины произвольного профиля, решение которой основано на аппроксимации температуры по толщине пластины по степенному закону ( 3.2) задачи о стационарном и нестационарном осесимметричном плоском температурном поле диска ( 3.3 и 3.6) задача о нестационарном осесимметричном теплообмене полого цилиндра конечной длины с окружающей средой, исследованная с помощью интегрального преобразования Лапласа и метода разделения переменных ( 3.7), и др. [c.57]

Преобразования Лапласа. Как и прежде, вводятся преобразования Лапласа от резольвенты и резольвентной функции, но теперь по конечному промежутку [c.130]

Преобразование Лапласа по конечному промежутку, примененное к равенству (62), дает двойное преобразование [c.131]

В данной главе мы не рассматриваем задач с граничными условиями четвертого рода. Решение задач на систему соприкасающихся тел, находящихся в тепловом контакте, можно решать методом конечных интегральных преобразований [Л. 2-21] или совместно методами преобразования Лапласа и Фурье—Ханкеля [Л. 2-18]. Что же касается задач конвективного теплообмена, которые решаются при граничных условиях четвертого рода, то они будут рассмотрены в гл. 4. [c.190]

Преобразование Лапласа определено лишь для функций и т), которые имеют конечное число точек разрыва первого рода и равны нулю при значениях аргумента г < О, а также, если зьпюлняется условие ограниченности роста функции м(т), заключающееся в следующем существуют такие числа Л и а (показатель роста), при кс торых для всех т е [ О, справедливо неравенство [c.71]

Вычисление интегралов, необходимых для построения трансформант и оригиналов, можно проводить обычным численным интегрированием, исходя из тех или иных квадратурных формул. Неограниченность контура интегрирования не является серьезным затруднением, поскольку из существования интегралов следует, что можно брать достаточно большой, но конечный участок. Однако такой подход может быть весьма трудно реализуемым, в частности, из-за того, что ядра ряда интегральных преобразований (например, преобразований Лапласа и Фурье) являются осциллирующими функциями. Поэтому разработаны специальные квадратурные формулы, учитывающие структуру ядер [132]. [c.74]

При теоретическом исследовании динамики объекта необходимо, чтобы разложения весовой и переходной функций имели достаточно простой аналитический вид. В этом случае обычно используют методы получения приближенных выражений для g(f) и h(t) с помощью приближенного выражения для самой передаточной функции W(p). Приближенное выражение для W(p) обычно представляет собой конечный отрезок бесконечного ряда, являющегося разложением W(p) по какой-то системе функций. Задача получения обратного преобразования Лапласа от W(p) становится в этом случае очень простой для его решения достаточно осуществить почленный переход к опигиналам в разложении функции W p). Обычно функции, по которым производится разложение W p), выбираются такими, что переход к оригиналам не вызывает никаких затруднений. Фактически, основная сложность в рассматриваемом методе аппроксимации g t) связана с отысканием удобного разложения W p) в ряд и исследованием корректности замены W(p) приближенным выражением в виде конечного отрезка ряда. Выясним, какими свойствами должно обладать это [c.109]

Необходимое ограничение применения принципа Вольтерра, равно как и метода, основанного на преобразовании Лапласа, состоит в следующем. В каждой точке поверхности тела должно быть задано либо усилие, либо перемещение, либо какая-нибудь комбинация этих величин, но тип граничных условий не должен меняться. Так, например, принцип Вольтерра неприменим к задаче о движущемся штампе. Пусть штамп длиной L движется со скоростью V по границе полуплоскости. Если штамп гладкий, то касательное усилие Ti равно нулю всюду на поверхности, следовательно, Г, = 0. Но со вторым граничным условием дело обстоит сложнее. Перемещение U2 t) в фиксированной точке границы М известно только в течение конечного промежутка времени t [Q, 6 + L/y], если 0 —тот момент, когда конец штампа приходит в точку М. Для других значений времени U2(t) неизвестно, поэтому вычислить изображение по Лапласу Uiip) не представляется возможным. Такое же положение возникает и при прямом применении принципа Вольтерра. Действительно, при окончательной расшифровке полученных операторных соотношений неизбежным образом придется вычислять интеграл [c.599]

Хаккет исследовал напряженное состояние в вязкоупругой матрице, содержащей жесткие включения или полости, пользуясь моделью Фойхта [37], а также действительными кривыми релаксации эпоксидной смолы [38]. В последнем случае к решению ассоциированной упругой задачи, полученному методом конечных элементов, был применен метод коллокаций обращения преобразования Лапласа. [c.162]

Проблемы, связанные с вращением деталей машин, с которы-ии ранее сталкивались на практике лишь отдельные лица, стали задачами ежедневной действительности. Много задач было решено, однако много еще остается решить. Практически невозможно написать книгу о динамике машин, которая дала бы читателю представление обо всем том, что содержится в данной области. Поэтому я решился изложить динамику машин в нескольких статьях, имея в виду познакомить читателя в первую очередь с новейшими методами расчета, которые, конечно, молено применить и для решения специальных задач, не приведенных в книге. Я стремился приблизить описываемые методы к уровню знания инженеров. Поэтому я остановился на тех методах, включая собственные методы, которые могут найти применение у широкого круга инженеров, занятых в области динамики машин методы при этом не являются слишком слолсными и затруднительными в математическом отношении. Я рассчитывал только лишь на знание основной теории дифференциальных уравнений, преобразования Лапласа, основ алгебры,—другими словами, тех методов математического анализа, которые в настоящее время в работах этого вида обычно применяются. Многочисленные ссыл- [c.5]

Указанные положения будут применены далее при решении уравнений динамики радиационных и конвективных теилообменников. Решение выполняется методом преобразования Лапласа. Передаточные функции, получаемые уже на первом этапе решения, часто являются конечной целью анализа. Исследование передаточных функций позволяет иногда без нахождения epeiMenHbix зависимостей проследить за влиянием ряда режимных и конструктивных параметров на инерционные свойства теплообменника. Однако передаточные функции не наглядны, и лишь для простейших динамических звеньев по образу можно представить изменение параметра во времени. [c.128]

В работах [ 103, 106] были рассмотрены задачи о поведении конечных трещин при ударном нагружении. В первой из них использован метод Винера—Хопфа, а во второй — задача сводилась к численному решению интегральных уравнений Фредгольма для переменных, трансформированных при помощи преобразования Лапласа, причем обращение преобразования выполнялось только для главной части локальных напряжений в вершине трещины. Характерным здесь является то, что решения для конечной трещины остаются ограниченными при то, что после достижения пикового значения (в момент прихода в вершину трещины волны, излученной от противоположной вершины) коэффициент интенсивности колеблется около статического значения с убьшающей амплитудой. Подчеркнем еще раз, что до зтого момента времени решение для конечной трещины совпадает с решением для полубесконечной. [c.40]

Очевидно, что поле перемещений и коэффициент интенсивности напряжений ссылочной задачи могут быть определены методом конечных элементов или другим численным методом. Однако дальнейшее использование соотношения (3.61) затруднено в силу следующих обстоятельств. Прежде всего необходимо установить зависимости поля перемещений и коэффициента интенсивности от длины трещины, т. е. произвести целый ряд расчетов. Кроме того, необходимо выполнить преобразование Лапласа этих функций, а затем перейти к физическим переменным, что сопряжено с накоплением погрешности. В работе [ 91 ] на примере двухконсольной балки с трещиной (ДКБюбразец) предложен ряд упрощений метода весовых функций приняты единые зависимости коэффициента интенсивности и раскрытия трещины от времени и задано априори пространственное распределение этого раскрытия, что позволило значительно ограничить объем входной информации, берущейся из ссылочной задачи. [c.63]

Заметим сначала, что функция F (z), будучи преобразованием Лапласа от регулярной функции в конечной области (О, do), является целой функцией от Z, т. е. не имеет сингулярностей в любой конечной области плоскости. С другой стороны, функция G (z), представляющая преобразование Лапласа от регулярной функции в полубесконечной области (do, оо), является функцией от Z, регулярной в верхней полуплоскости S+ (т. е. в полухшоскости 1т Z > 0), но может иметь сингулярности в нвжней полуплоскости или на действительной оси. Наша функция G (z), определяемая соотношением (8.4.16), действительно имеет полюс второго порядка в точке z = 0. [c.296]

При численном счете, чтобы выполнить обратное преобразование, бесконечный ряд по т обрывают, оставляя конечное число членов М. Хотя в принципе точность сгбращения должна увеличиваться с ростом М, на практике число М будет ограничено неточностью значений / (s), а также неустойчивостью, внутренне присущей обращению преобразования Лапласа. [c.38]

В работе [19] рассмотрена осесимметричная задача о круглой непроницаемой плите конечной жесткости, лежащей без трения на пороупругом полупространстве, насыщенном несжимаемой жидкостью (случай проницаемой плиты был рассмотрен в более ранней работе этих авторов [18]. После применения интегральных преобразований Ханкеля по координате и Лапласа по времени строится приближенное решение задачи путем разложения по системе кусочно-постоянных функций с выделением статической особенности под краем штампа. Обращение преобразования Лапласа выполняется численно. Приведены некоторые результаты численных расчетов для равномерно распределенной нагрузки на плиту, исследовано влияние проницаемости и жесткости плиты и коэффициента Пуассона грунта на степень консолидации. [c.568]

Рассматриваются задачи о продольных нестационарных колебаниях вязкоупругого стержня конечной длины, удар вязко-упругого стержня о жесткую преграду и распространение волн напряжений в полубесконечном вязкоупругом стержне. В качестве модели, описывающей вязкоупругие свойства материала стержня, используется обобщенная модель стандартного линейного тела, содержащая дробные производные различных порядков. Задачи решаются методом преобразования Лапласа, при этом в отличие от традиционных численных подходов характеристическое уравнение не рационализируется, а решается непосредственно с дробными степенями. Проведено численное исследование указанных задач. Временные зависимости напряжения и контактного напряжения в стержне, соответствующие первой и второй задачам, проанализированы для различных значений реологических параметров порядков дробных производных и времени релаксации. Исследования показали, что стержень не прилипает к стенке ни при каких значениях реологических параметров. В задаче о распространении волн напряжений получены асимптотические решения вблизи волнового фронта и при малых значениях времени. Показано, что данная модель может описывать как диффузионные, так и волновые явления, протекающие в вязкоупругих материалах. Все зависит от соотношения порядков производных, стоящих слева и справа в реологическом уравнении. [c.281]

В плоскости Т—х зона разрушения представляет собой полубес-конечную полосу шириной 8, где 6 — максимальная глубина зоны разрушения, которая может бьггь бесконечной. Переходя в системе уравнений (3.17) к переменным Т, х п применяя преобразование Лапласа по Г, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения образов Лапласа напряжения и скорости [c.123]

Различные специальные вопросы. Недавно С. М. Белоносову И—3] удалось получить интегральные уравнения плоской задачи, пригодные, вообще говоря, и в случае угловых точек ). Рассматриваемая область (конечная или бесконечная), ограниченная кусочно-гладким контуром L, отображается на правую полуплоскость Re С >0 плоскости вспомогательного переменного + iii]. Затем для искомых комплексных потенциалов ф и -ф, регулярных в правой полуплоскости, получаются функциональные уравнения, аналогичные уравнениям, данным в 78. Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредголь-мовым. В общем случае при наличии угловых точек оно уже не будет фредгольмовым, но будет принадлежать к типу ядер Карлемана. Для частных случаев клина и бесконечной полосы интегральное уравнение допускает обращение по формуле Римана — Меллина и решение задачи находится в замкнутом виде (в квадратурах). Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе [c.598]

Однако эта функция не приводится к суперпозиции экспонент, и поэтому теория, изложенная в главе 3, приложима к рассматриваемому случаю не полностью. Выполняются равенство Гоо (т", ri) = Фоо( г Ti ) и соотношения Соболева, выражающие резольвенты уравнений для полубесконечной и конечной сред через резольвентные функции. Можно ввести преобразования Лапласа от резольвенты и резольвентной функции, в частности Н-функцию. Остаются справедливыми выражения для двустороннего преобразования Лапласа от Фс ) и соотношение Винера—Хопфа, а также уравнения, содержащие производные по толщине слоя го- Однако преобразование Лапласа от ядерной функции не является интегралом типа Коши. Явное выражение для ii-функции можно записать в том же виде, что и для неподвижной среды, но обратить преобразования Лапласа от резольвентных функций и представить их в виде, удобном для вычисления и исследования, в общем случае не удается. Поэтому асимптотическую теорию для рассеяния в дви-жухщосся средах нельзя построить так, как это было сделано для сред без учета их движения. [c.246]

Можно точное значение Р (а следовательно, и Ямакс) найти в замкнутой форме с конечным, относительно малым числом слагаемых, если применить преобразование Лапласа для нахождения уста- [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...