Величины граничные Уравнения равновесия

Величину A называют дополнительной работой внешних сил, а П — дополнительной энергией. Уравнение (6.48) выражает принцип дополнительной энергии по сравнению с различными системами напряжений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия внутри тела и на той части граничной поверхности, где заданы внешние силы, истинное напряженное состояние, удовлетворяющее уравнениям совместности, отличается тем, что для него дополнительная энергия П имеет стационарное значение. В условиях устойчивого равновесия величина П минимальна. [c.125]

Задача об упругом равновесии призматического тела при указанных условиях сводится к нахождению величин Ghr, удовлетворяющих в области, занятой телом, дифференциальным уравнениям равновесия (2.25) при отсутствии массовых сил и формулам закона Гука (4.35), а также граничным условиям на боковой поверхности и основаниях призматического тела. [c.173]

Величина интеграла представляет собою статический момент площади той части сечения, которая отстоит от оси х на расстоянии, большем чем Хг. Обозначим этот статический момент Появившаяся сила уравновешивается касательными напряжениями т, равномерно распределенными по нижней граничной плош адке b x2)dx3. Уравнение равновесия [c.319]

Другая процедура, которая обладает тем преимуществом, что приводит к более простым граничным условиям, состоит в следующем. Ввиду обращения в нуль величин а , а , (уравнения (г) уравнения равновесия (123) приводятся к виду [c.302]

Метод устранения деформации. Тот же вывод можно получить и с помощью метода устранения деформации. Представим себе, что тело подвергается неравномерному нагреву и разделено на бесконечно малые элементы. Пусть свободным температурным деформациям этих элементов = гу = г = аТ противодействует приложенное к каждому элементу равномерное давление р, величина которого определяется формулой (е). Тогда свободная температурная деформация будет полностью устранена. Все элементы окажутся пригнанными друг к другу и образуют непрерывное тело первоначальной формы и размеров. Распределение давления (е) можно реализовать с помощью приложения к названному телу, составленному из элементов, некоторых объемных сил и поверхностных давлений. Эти силы должны удовлетворять уравнениям равновесия (123) и граничным условиям (124). Подставляя в эти уравнения значения [c.460]

Отметим, что соотношения (3.32), (3.33) вытекают из общих уравнений теории наращивания (3.25) — (3.28) дифференцированием обеих частей этих уравнений по I. Граничное уравнение (3.34) следует из условия равновесия элемента тела, прилегающего к поверхности 5(). Действительно, рассмотрим два положения поверхности наращивания, моменты зарождения которых отстоят друг от друга на величину (см. рис. 1.3.2). Элементарный объем ДГ равен ДГ = АЗо 1. Кроме того, Д = V т (х) А1, где [c.36]

Аналогично показанному в настоящем разделе выводу может быть сделан вывод дифференциальных уравнений равновесия и совместности деформаций в теории упругости, в теории пластин и оболочек и т. д. Одновременно с уравнениями могут быть получены все естественные граничные условия ). Можно показать, что уравнения Эйлера инвариантны при преобразовании подынтегральной функции в функцию от новых независимых переменных. Методы вариационного исчисления удовлетворяют тому требованию, что минимум скалярной величины (функционала) не зависит от выбора координат. Это наиболее естественным образом соот- [c.448]

Решения второй краевой задачи можно представить в перемещениях, которые удовлетворяют трем уравнениям равновесия и граничным условиям, выраженным в перемещениях. В эти уравнения входит коэффициент Пуассона v. Поэтому решение, вообще говоря, зависит от величины v. [c.230]

При деформировании стержневой системы узлы получают определенные линейные и угловые перемещения, и кинематические граничные параметры будут связаны в этих узлах уравнениями совместности перемещений. Как следует из уравнения (1.39), нагрузка на стержень выделяется в отдельную матрицу и не связывается с граничными статическими параметрами. Поэтому уравнения равновесия узлов не должны содержать внешнюю нагрузку. Соответственно, уравнения равновесия, содержащие реакции внешних связей, могут рассматриваться только в случае, когда известны направление и величина внешних реакций. Для кинематических параметров уравнения совместности перемещений узлов не должны включать линейные и угловые перемещения стержней как абсолютно твердых тел. В такой постановке уравнения равновесия и совместности перемещений узлов стержневой системы выступают только как уравнения связи между граничными параметрами соседних стержней. Это позволяет изображать статические граничные параметры в узле либо в положительном, либо в отрицательном направлениях (необходимо выбрать что-то одно), а перемещения узлов изображать визуально на деформированной схеме линейной системы лишь качественно. В этой связи для конкретной конструкции узла необходимо составить уравнения статики и совместности перемещений лишь один раз. В любой стержневой системе, содержащей такой узел, эти уравнения сохранят свой вид, что весьма существенно облегчает построение соотношений между граничными параметрами. [c.26]

Пусть внешняя нагрузка такова, что уравнениям равновесия и граничным условиям наряду с функциями (3.49) удовлетворяют другие функции, отличающиеся от них на малую величину, [c.62]

Приравнивая нулю коэффициенты при вариациях всех входящих в (У.5) величин, из (У.6) получаем соотношения между компонентами де рмаций срединной поверхности и обобщенными перемещениями (1.23) соотношения упругости (111.16) уравнения равновесия (11.9) статические граничные условия на части контура [c.80]

Подставляя (1.34) в уравнение равновесия (1.23), граничные условия (1.31) и приравнивая величины при одинаковых степенях а, получим рекуррентную последовательность задач [c.96]

Подставляя разложения (5.14) и (5.15) в уравнения равновесия и граничные условия и приравнивая величины при одинаковых степенях А, получим последовательность однородных задач линейной термовязкоупругости. [c.327]

Рассмотрим статически определимую задачу пусть часть из семи обобщенных усилий задана на одном торце, остальные—на другом. В этом случае усилия Q , Qj , Qy, My определяются уравнениями равновесия (3.13) и соответствующими граничными условиями. Этот же факт вытекает и из формул (3.15) в статически определимой задаче = р, у. = 8. 0. Как следует и. -последнего равенства (3.15), бимомент не являегся статически определимой величиной. Однако если стержень достаточно тонкий для того, чтобы пренебречь величинами порядка Л (жесткостью свободного кручения С и функцией as), то Вш= В т. е. в этом случае и бимомент можно считать статически определимой величиной. Отметим, что распределение напряжений и скоростей в статически определимой задаче будет иным, чем в соответствующей упругой задаче. [c.41]

Уравнения равновесия, граничные условия и соотношения Коши для величин e j, и даются зависимостями (2.19), (2.30) [c.101]

В силу линейности связи деформаций с перемещениями, уравнений равновесия и граничных условий подобные соотношения будут справедливы и для величин со звездочками (2.61) [c.113]

В силу линейности связи деформаций с перемещениями в слоях пластины (6.7), уравнений равновесия (6.59) и граничных условий (6.9) подобные соотношения будут справедливы и для всех величин, отмеченных звездочками (б.61). В этом случае краевая задача (6.61) (6.63) совпадает с краевой задачей для некоторой фиктивной трехслойной упругопластической пластины, которая испытывает изотермическое нагружение из естествен- [c.339]

Величины Х, в (3.73) должны удовлетворять уравнениям равновесия (1.12), Оц, кроме этого — граничным условиям (1.13) и условию пластичности (1.14) (поле Оц должно соответствовать точке внутри или на поверхности текучести / (Уц) = 0). Произвольное поле о, , удовлетворяющее таким условиям, обычно называется в литературе статически допустимым и обозначается верхним индексом ° (случаи, когда значения нагрузок на 8р при этом отличны от р,-, будут оговариваться). [c.102]

Тогда может быть поставлена задача, сформулированная по аналогии с идеально пластическим телом [3]. Рассмотрим статически возможное напряженное состояние сг -, т. е. удовлетворяющее уравнениям равновесия, граничным условиям и обеспечивающее ту же величину средней мощности рассеяния, как и для [c.315]

В отличие от идеально пластических сред, в прикладных задачах ползучести не менее интересна другая постановка задачи. Пусть внешние нагрузки и температура неизменны — стационарный процесс. Рассмотрим статически возможное поле напряжений, т. е. удовлетворяюш ее уравнениям равновесия и граничным условиям. Тогда, в соответствии с (2), чтобы обеспечить постоянство средней могцности рассеяния ТФо, требуется меньшая внешняя нагрузка в сравнении с истинной, а при сохранении величины внешней нагрузки получим среднюю могцность рассеяния больше истинной. Для кинематически возможных полей скоростей деформаций — наоборот. Отсюда вытекает другое неравенство, даюш,ее в приближенных решениях верхнюю и нижнюю оценки средней могцности рассеяния при сохранении внешних нагрузок величины при статически возможных [c.316]

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. СТАТИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [c.635]

В уравнениях для перемещений содержится шесть неизвестных величин Е , А, В, С, В. Для их определения имеем пять граничных условий плюс два уравнения равновесия (плоская система параллельных сил). [c.535]

Здесь 5 — площадь поперечного сечения, 1 , — его главные моменты инерции (относительно осей х и у). Интегралы от напряжений по площади поперечного сечения и от напряжений, умноженных на х или у, можно выразить через заданные величины — поверхностные и объемные силы. Для того чтобы выполнить это преобразование, подведем под знаки интегралов выражения, равные пулю — левые части уравнений равновесия сплошной среды (18.2) или левые части уравнений, умноженные на степени или произведения хи у. Затем двойные интегралы преобразуем в интегралы по контуру поперечного сечения 7, учитывая граничные условия (19.4). В данных случаях мы не будем вводить в рассмотрение потенциал объемных сил, так как удобнее обозначать объемные силы просто через X, У, Не приводя всех преобразований, укажем лишь окончательные результаты ) [c.106]

Пусть нагрузка ри Рг, Я такова, что уравнениям равновесия н граничным условиям наряду с функциями (2. 93) удовлетворяют другие, отличающиеся на произвольно малую величину, функции [c.65]

Из второго уравнения системы (11.4) следует, что Ы1=0, а из первого — бЛ = 0, т. е. работа реактивных усилий в выражении (11. 2) сводится к некоторой постоянной величине А, которая в дальнейшем несущественна и может быть принята равной нулю. Тогда выражение для полной энергии в форме (11.2) совпадает с выражением (11.1). Этим самым доказано, что в (11.1) представлена полная потенциальная энергия для изолированной ямки или выпучины, и поэтому из этого выражения методами вариационного исчисления можно получить как дифференциальные уравнения равновесия, так и граничные условия по контуру ямок и выпучин. [c.259]

Сначала рассмотрим двухслойную модель, т.е. уравнения (3.7) и (3.9), причем для уравнения (3.9) граничные условия примем при у = Л (у = 1). Распределение скоростей в вязком подслое описывается уравнением (2.21). Однако, поскольку толщина вязкого подслоя существенно меньше радиуса потока, то, согласно современным представлениям /135, 144, 222, 261/, в пределах вязкого подслоя распределение скоростей линеаризуется, т.е. касательное напряжение считается постоянным и равным касательному напряжению на стенке трубы. Это условие при приближенных расчетах, которые присущи полуэмпирическим теориям пристенной турбулентности, особого влияния на конечные резулыаты не оказывает, тем более что и в основном турбулентном потоке касательное напряжение нередко принимается постоянным. В действительности, как следует из уравнения равновесия сил, действующих на выделенный объем потока, касательное напряжение является величиной переменной и подчиняется линейному закону. Ф. Г. Галимзянов /33 - 56/ использовал линейный закон распределения скоростей в пределах вязкого подслоя. [c.64]

Искомое электроунругое состояние пьезоэлектрической среды с трещиной представим в виде суммы однородного решения (48.1) и величин lift (к = 1, 2, 3), ф, которые обеспечивают соответствующие граничные условия в плоскости трещины. Предполагая, что компоненты щ (к = 1, 2, 3) и электрический потенциал ф не зависят от координаты Хз, запишем уравнения равновесия и электростатики (см. (10.3)) [c.384]

Итак, мы получили все определяющие соотношения для задачи линейной теории упругости уравнения равновесия (1.4), соотношения деформации—перемещения (1.5), соотношения напряжения—деформации (1.6) внутри тела V и граничные условия в напряжениях и перемещениях (1.12), (1.14) на границе тела S. Эти соотношения показывают, что мы имеем 15 неизвестных, а именно 6 компонент напряжений, 6 компонент дефотмаций, 3 компоненты перемещения в 15 уравнениях (1.4) и (1. , (1.6). Нашей задачей является решить эти 15 уравнений при граничных условиях (1.12) и (1.14). Поскольку все уравнения линейны, то для построения решений может быть использовано правило суперпозиции. Следовательно, мы получили линейные соотношения между заданными величинами, скажем нагрузками на Si, и неизвестными, какими являются напряжения и перемещения внутри тела. [c.26]

Рассмотрим равновесие бесконечно малого параллелепипеда после деформации подобно тому, как это делалось в 3.2, и обозначим внутренние силы, действующие на поверхность со сторонами Eg dx и Ej dx , через —(а + а ) Е dj dx . Силы, действующие на другие поверхности, определяются аналогично. Величины определенные таким образом, будут называться добаючными напряжениями. Тогда найдем, что уравнения равновесия и граничные условия для задачи с начальными напряжениям можно получить из уравнений (3.27) и ( .42), заменяя р . и fx на 0(0) р(0) X р>, и р(0) >. р соответственно. [c.128]

При решении инженерных задан поляризационно-оптическим методом, например, таких, как определение усилий в сечениях элементов машин и конструкций, оценка усталостной прочности и т. ц., имеется необходимость в определении величин напряжений не только на новерхности элемента, но и по его сечениям. Фундаментальным методом разделения напряжений в точках объема модели элемента является метод В. М. Краснова. Этим методом нормальные напряжения в точке находят по их разностям, полученным из поляризационно-оптических исследований модели, и одному из нормальных, напряжений, которое определяют интегрированием соответствующего уравнения равновесия при известных из измерений на модели величинах касательных напряжений. Метод В. ]У1. Краснова является унидерсальным, но требует выполнения большого объема экспериментальных исследований. Поэтому в частных случаях, когда на основании предварительного рассмотрения напряженного состояния элемента известны качественные (и некоторые количественные) зависимости напряжений от граничных условий задачи, применение этого метода не всегда целесообразно. В таких случаях разделение напряжений в точках объема модели выполняется или способами, в которых используются определяемые экспериментальным путем величины (поперечные деформации, сум ма нормальных напряжений), или способами, основанными на других зависимостях теории упругости [c.53]

В силу линейности связи деформаций с перемегцепиями в слоях пластины (6.49), уравнений равновесия (8.40) и граничных условий (6.56), подобные соотногпения будут справедливы и для величин со звездочками (8.41). В этом случае краевая задача для величии со звездочками (8.41) (8.43) совпадает с краевой задачей для некоторой фиктивной трехслойной упругопластической пластины, которая испытывает изотермическое нагружение из [c.208]

Преобразуя левую часть уравнения (18) и требуя, чтобы величины ба/,- и 6 /г удовлетворяли уравнениям равновесия и однородным граничным условиям на Л [c.838]

На основании экспериментальных исследований представляется возможным разбить очаг деформации на четыре участка, как это представлено на фиг. 81, а, и рассматривать условия равновесия бесконечно малого элемента дес рмируемого объема в каждом из них. Решая дифференциальные уравнения равновесия совместно с уравнениями пластичности, соответствующими данному виду напряженно-деформированного состояния и используя граничные условия на каждом из сопряженных участков, можно решить задачу в замкнутом виде с установлением характера и величины напряжений в любой точке очага деформации. Знание закона распределения главны. напряжений по сечению деформируемого объема обеспечивает возможность решения ряда практических вопросов, к числу которых в первую очередь относится определение усилий, потребных для выполнения данной операции, а также определение напряжений в опасных местах рабочего инструмента. Наряду с этим, оказывается возможным проанализировать влияние основных технологических факторов на величины напряжений, возникающих в конечный момент деформирования и тем самым принять меры для создания оптимального силового режима при выполнении данной операции. [c.145]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

В течение многих лет после открытия этих уравнений прогресс в теории оболочек был крайне незначительным, и лишь более частная теория пластинок привлекала большое внимание. Пуассон и Коши оба занимались этой теорией, исходя из общих уравнений теории упругости и предполагая, что все величины, с которыми приходится иметь дело, могут быть разложены в ряды по степеням расстояния, ртсчитываемого от средней плоскости пластинки. Были получены уравнения равновесия и свободных колебаний для случая, когда Смещения перпендикулярны к пластинке. Большой спор возник по поводу граничных условий Пуассона. Эги условия состояли в том, что > силы и пары, приложенные по краю, должны быть равны силам и парам, происходящим от деформации. В своем знаменитом мемуаре ) Кирхгоф показал, что этих условий слишком много и что они, вообще, ие могут быть удовлетворены. Его метод основан на двух допущениях 1) что линей- t ные элементы, которые до деформации перпендикулярны к средней плоскости, остаются прямолинейными и нормальными к искривленной средней поверхности после деформации, 2) что элементы средней плоскости не подвергаются растяжению. Эти допущения дали ему возможность выразить потенциальную [c.39]

Из результатов, полученных Кирхгофом в механике твердых деформируемых тел, отметим слёдующие обоснование теории пластин двумя гипотезами (ныне носящими имя автора), вывод формулы для потенциальной энергии деформации пластины, энергетический вывод уравнения изгиба пластины, приведение в соответствие числа граничных условий и порядка дифференциального уравнения в теории пластин, исследование колебаний пластин и стержней переменного сечения, построение геоме рически нелинейной теории изгиба пластин, вывод нелинейных уравненнй равновесия для пространственного гибкого стержня, формулирование динамической аналогии (сопоставление уравнения равновесия стержня и уравнения движения твердого тела относительно неподвижной точки), экспериментальное определение величины коэффициента Пуассона с целью выявления правильной точки зрения в дискуссии о числе независимых упругих постоянных в изотропном теле. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...