Методы Уравнения совместности деформаций

По аналогии со сказанным, и в методе напряжений в качестве основных разрешающих уравнений принимаются геометрические уравнения в форме уравнений Сен-Венана II — уравнений совместности деформаций. Шесть указанных уравнений надо выразить через [c.45]

Для преодоления первой трудности предложено во-первых, представлять элементы редуктора такими моделями, которые описываются однотипными обыкновенными диф ренциальными уравнениями, т. е. осуществить физическую или математическую дискретизацию системы, во-вторых, осуществить разделение редуктора на такие подсистемы, в каждую из которых должны входить элементы с четко выраженными сосредоточенными нли распределенными параметрами. В этом случае колебания каждой подсистемы описываются соответствующими уравнениями или системой уравнений, а о колебаниях всего редуктора следует судить, решив систему уравнений совместности деформаций для связей, по которым редуктор разбивается на подсистемы 114, с. 57]. На таком подходе построен метод динамических податливостей, позволяющий исследовать сложные динамические системы, составленные из подсистем, динамическое состояние которых описывается дифференциальными уравнениями различного типа. [c.96]

В общем случае (1.11) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. С учетом граничных условий для функции и (г) на контурах г = Ь и г а оно легко может быть решено численным методом при использовании ЭВМ. Для диска постоянной толщины при постоянных параметрах упругости и в некоторых других случаях это уравнение имеет замкнутое решение. Дифференциальные уравнения растяжения диска в напряжениях представляют собой систему двух уравнений относительно и — уравнения совместности деформаций (1.10) и уравнения равновесия (1.3). [c.10]

Уравнения (1.24) и (1.25) совместно с уравнениями равновесия, граничными условиями и уравнениями совместности деформаций позволяют получить решение задачи для однократного и повторного нагружения соответственно. В общем случае задачу решают методом последовательных приближений, причем параметры упругости в каждом приближении вычисляют по напряженно-деформированному состоянию предыдущего приближения. [c.18]

Уравнения равновесия, граничные условия и уравнения, характеризующие связь между напряжениями и деформациями, обычно удовлетворяют полностью, а уравнения совместности деформаций — приближенно путем введения соответствующих кинематических гипотез. Такие методы широко используют в сопротивлении материалов для решения обширного класса задач. Аналогичные методы можно использовать и при упруго-пластическом деформировании, причем удается получить решения для того же класса задач, что и при упругом деформировании. [c.18]

Для сложных ферменных систем указанный в 2.2 геометрический подход к составлению уравнений совместности деформаций становится практически нереализуемым. В то же время общим для обоих вариантов стержневых систем и лишенным недостатков геометрического подхода является приведенный ниже способ раскрытия статической неопределимости — метод сил. [c.247]

Региение по методу, развитому в работе [208], точно удовлетворяет граничным условиям и приближенно — уравнению совместности деформаций. [c.245]

Несмотря на простой вид уравнений Ламе с граничными условиями (1.25), решение этой краевой задачи представляет собой сложную математическую проблему. Тем не менее, она широко используется во многих методах решения задач теории упругости, так как при этом не нужны уравнения совместности деформаций, которые в данном случае удовлетворяются тождественно. [c.36]

Задача определения перемещений точек колец возникает при расчете колец на колебания, при расчете колец используемых в качестве гибких элементов конструкций (например, в волновых зубчатых передачах), а также при составлении уравнений совместности деформаций колец с сопряженными с ними элементами. Для определения перемещений могут быть использованы общие методы, излагаемые в курсе Сопротивление материалов . Однако при сложном нагружении кольца, а также в тех случаях, когда требуется знать перемещение в нескольких точках по окружности кольца, целесообразно использовать более эффективные методы расчета, основанные на применении дифференциального уравнения упругой линии. [c.135]

Более просто расчет может быть выполнен по приближенному методу В. Л. Бидермана 7]. Этот метод основан на замене уравнений совместности деформаций условиями минимума потенциальной энергии системы. Метод В. Л. Бидермана обеспечивает достаточную для практики степень точности, однако вычисления остаются довольно сложными. [c.53]

Для замыкания уравнений системы (3.5) необходимо найти другой частный случай уравнений совместности деформаций, учитывающий наличие у среды свойства текучести. Такая система уравнений должна содержать щесть уравнений, как и для твердого тела, которыми можно будет дополнить систему уравнений движения жидкости. Таким образом, схема замыкания уравнений движения в жидкости должна быть такой же, как и в другом разделе механики сплощной среды - твердом теле. Аналогично методу рещения задачи теории упругости должны существовать и уравнения пересчета результатов расчета поля давлений в поле (перемещений) или скоростей потока жидкости и обратно. [c.91]

Если соотношения между перемещениями и деформациями (или уравнения совместности деформаций) продифференцировать по времени, то станет ясно, что задача представляет собой задачу нелинейной теории упругости, в которой обычные деформации и перемещения заменены на скорости деформаций и скорости. Решение для этих величин не зависит от времени и его можно получить любым из описанных ранее методов, не прибегая к методам приращений. При этом напряженное состояние конструкции постоянно, а деформации возрастают пропорционально времени. [c.428]

Функции ф, удовлетворяющие уравнению (7.18), носят название бигармонических функций. Пользуясь бигармоническими функциями с однозначными вторыми производными, можно строить многочисленные решения плоских задач теории упругости, которые автоматически удовлетворяют уравнениям равновесия и условиям совместности деформаций. Эти решения следует лишь удовлетворить заданным граничным условиям. Такой метод решения задач, когда решение задается, а граничные условия определяют характер внешнего воздействия, носит название обратного. [c.134]

Полученное уравнение хорошо известно в методе сил и выражает условие равенства нулю прогиба у шарнирной опоры. Оно является условием совместности деформаций данной простейшей статически неопределимой системы. [c.65]

При расчете статически неопределимой системы на основании геометрического метода определения перемещений (см. 1.3) надо составить для нее р уравнений статики. Далее следует, рассмотрев совместную деформацию элементов системы (картину деформации или картину перемещений), составить зависимости между абсолютными удлинениями стержней, которые называются уравнениями совместности перемещений (уравнениями совместности или уравнениями перемещений) в геометрической форме. Число уравнений совместности должно равняться к системы. Затем надо выразить входящие в эти уравнения AI-, пользуясь (11.10) или (11.19), через (V, и АТ , где / — номер стержня или участка, в результате чего получим к уравнений совместности в физической форме. Уравнения статики в совокупности с уравнениями совместности в физической форме образуют систе- [c.57]

Аналогично показанному в настоящем разделе выводу может быть сделан вывод дифференциальных уравнений равновесия и совместности деформаций в теории упругости, в теории пластин и оболочек и т. д. Одновременно с уравнениями могут быть получены все естественные граничные условия ). Можно показать, что уравнения Эйлера инвариантны при преобразовании подынтегральной функции в функцию от новых независимых переменных. Методы вариационного исчисления удовлетворяют тому требованию, что минимум скалярной величины (функционала) не зависит от выбора координат. Это наиболее естественным образом соот- [c.448]

Глобальный вариационный метод. В этом методе применяется общее (глобальное) вариационное уравнение для системы диска н лопаток. Единый функционал записывается для диска, лопаток и бандажных связей с выбором соответствующих функций для описания де< рмаций элементов системы. Функции должны удовлетворять условиям сопряжения, учитывающим совместность деформаций диска, лопаток и связей. [c.277]

Теперь мы кратко рассмотрим основные положения методов граничных элементов, применяемых в линейной теории упругости, которые основаны на интегральных уравнениях. Рассмотрим глобальную пробную функцию Uk (т. е. функцию, заданную для всего твердого тела) и глобальную весовую функцию о. Пусть уравнения совместности, а также зависимости между напряжениями и деформациями будут удовлетворяться априори, т. е. [c.203]

Три типа реакций связи касательные усилия, нормальные усилия и изгибающие моменты. Эти реакции пропорциональны соответствующим (вводимым в виде пружин) жесткостям. Линейная зависимость для касательных усилий справедлива до момента проскальзывания трубок, затем усилия ие меняются. Зависимость для моментов дается ломаной линией с двумя линейными участками. После определения смещений и угла поворота каждой трубки от неизвестных реакций пакет разрезается нормальными к осям трубок плоскостями на слои. Для слоев записываются условия совместности деформаций по каждой трубке. Получается система алгебраических уравнений, решаемая итерационным методом. [c.391]

Учитывая такое представление для перемещения A t, условия совместности деформаций можно записать в виде системы канонических уравнений метода сил [c.217]

Это каноническая форма условий совместности деформаций. Их обычно называют системой канонических уравнений метода сил. Запишем для п раз статически неопределимой системы систему канонических уравнений [c.217]

Определение напряжений общепринятым методом непосредственного решения, при применении которого решается система уравнений трех категорий — равновесия, совместности деформаций и реологического, в общем случае учета действительных свойств материалов сопряжено с практическими трудностями. Так, при реологическом уравнении, учитывающем нелинейную ползучесть и допущение о простом последействии, задача сводится к сложным не-классифицируемым интегральным уравнениям. Только в случае введения различных упрощающих предпосылок, часто не соответствующих действительности, можно тем или иным доступным способом решить соответствующее уравнение [2, 3]. В частности, в случае допущения о простом последействии задача решается в квадратурах только при принятии экспоненциальной формы, записи и линейности простой ползучести [4]- [c.140]

Решая совместно (1-15), (4-287) при условии = с учетом (1-3) — (1-5), получаем уравнение СП, в котором" используется косвенный метод измерения упругих деформаций [c.331]

Ясно, что эти деформации, удовлетворяя условию несжимаемости, не удовлетворяют уравнению совместности, что объясняется методом склеивания решений после скачка. Условие совместности также удовлетворится, если материал таков, что т = [c.245]

Авторы работ [146, 236, 240, 254, 265] предлагают решение контактной задачи без использования каких-либо аналогий и стыковочных элементов. В отличие от предыдущего подхода, где контактные элементы объединяют взаимодействующие тела в одну систему, для работ данного направления характерно раздельное рассмотрение контактирующих тел. При этом общая система пополняется определенным количеством уравнений совместности, кратным числу контактирующих узлов. Для решения задачи обычно применяется пошаговый процесс нагружения [240, 244] с уточнением граничных условий на каждом шаге итерационным методом. Приращения нагрузки выбираются достаточно малыми [146] для сохранения линейной связи между перемещениями и деформациями в пределах каждого шага по нагрузке. Такой подход требует многократного решения краевой задачи, а также построения сложных итерационных алгоритмов корректировки граничных условий. [c.12]

Традиционные и тензорные обозначения. Следует отметить, "ffo в книге наряду с традиционными обозначения-мй различных величин таких, как напряжения, деформации и т. п., а также при записи уравнений (равновесия, совместности деформаций и др.) будут использоваться тензорные обозначения. Методы тензорного исчисления широко применяются в -современной механике, физике и других дисциплинах. В табл. 2 дается перевод обычных обозначений, используемых ниже, в тензорные. [c.14]

Первый из них является развитием использованного в [1, 2] метода трех блоков и состоит в разбиении фланцевого соединения на некоторое количество базисных элементов (колец, оболочек, балок). Деформации каждого элемента выражаются через неизвестные поперечные силы и моменты в местах их соединений, которые должны быть определены из уравнений равновесия и совместности деформаций. Предполагается, что все элементы деформируются осесимметрично это предположение основывается на двух упрощениях [1] [c.21]

Моделирование на сжимаемом материале ( х 0,5). Основу рассматриваемой методики моделирования составляет метод устранения деформаций [3], этапы которого представлены в табл.1 (левая колонка). По этому методу упругое тело (деталь, конструкция), подвергнутое неравномерному нагреву с известным температурным полем Г, мысленно разделяется на малые элементы объемом dv, в каждом из которых температура считается постоянной. Свободные температурные деформации этих элементов б с = е = г = не удовлетворяющие уравнениям совместности, устраняются приложением к каждому из них равномерного [c.62]

Рассмотрим особенности применения метода конечных разностей в плоской задаче на примере использования функции напряжений (см. 4.4). В этом случае задача сводится к решению уравнения совместности деформаций в виде бигармо1гического уравнения [c.235]

Для расчета статически неопределимых систем, работающих на изгиб, широко используется метод сил. В нем за основные неизвестные принимают обобщенные реактивные силы в отброшенных связях системы. Простые один раз статически неопределимые балки, работающие на изгиб, можно решать, используя способ сравнения линейных и угловьк перемещений, или записывая замкнутую систему уравнений из уравнений статики и уравнений совместности деформаций. [c.8]

При рассмотрении частных задач в большинстве случаев применяется метод прямого определения Ешпряжений с нспользоиа-пием уравнений совместности деформаций в напряжениях. Этот метод более привычен для инженеров, которые обычно интересуются величиной напряжени . При введении соответствующим образом подобранной функции напряжений этот метод, кроме того, является часто более простым, чем использование уравнений равновесия в перемещениях. [c.17]

В случае изгиба гибких пластин их поведение описывается двз мя уравнениями — совместности деформаций и равновесия (6.19). При этом возможно применение метода Бубнова — Галеркина либо по способу П. Ф. Паиковича, либо по способу В. 3. Власова. [c.201]

В. О. Цейтлиным в 1951 г. применен дискретный метод анализа распределения усилий между зубцами, аналогичный методу Г. Н. Перевозчикова. Здесь учтен температурный распор и проанализировано влияние погрешности шага зубцов на распределение усилий между зубцами. Однако нагрузка на зубцы считается сосредоточенной, что в действительности не имеет места и, кроме того, при анализе напряженного состояния в зубцах применены элементарные методы сопротивления материалов без соблюдения уравнений равновесия, контурных условий и уравнений совместности деформаций. [c.5]

При нсследозэнии свободных и вынужденных колебаний планетарных редукторов, в соответствии с методов динамических податливостей, в местах рассечения системы на простые подсистемы к каждой из подсистем прикладывают единичные возмущающие силы, изменяющиеся с определенной частотой, и выполняют расчег вынужденных колебаний каждой из подсистем отдельно под действием этих возмущающих сил. После этого составляют уравнения совместности деформаций для каждой упругой связи, по которым рассекали систему на простые подсистемы. [c.96]

Определить степень статической неопределимости системы и составить уравнение совместности деформаций. Используя зависимость IVиз пункта 6.1, подсчитаем степень статической неопределимости системы. D=l, Ш=0, С=4-> Ж=31-2-0-4 = -1, следовательно система один раз статически неопределима. Основную систему получим путем отбрасывания опоры в точке А и замены ее действия неизвестным усилием Х (рис. 6.12). Каноническое уравнение метода сил в данном случае запишется в следующем виде [c.143]

Для определения функций д (и) и Мх (и) практически пригодны два способа способ замены ступицы сложной конфигурации ступенчатой ступицей, примерно равновеликой ей по площади осевого сечения (штриховой контур на рис. 4.4), и способ использования электронной аналогии уравнения (4.3а). Первый способ для ступицы, имеющей 1 ступеней, сводится к решению системы из / линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффидиеятамч (уравнения совместности деформаций для каждого участка) при совместных граничных условиях. Эти условия выражают равенство на концах участков крутящих моментов и их первых производных, пропорциональных интенсивности нагрузки в соединении. Рекомендовать данный способ при ручном методе расчета можно лишь при небольшом количестве участков (два-три). Большее количество требует применения ЭВМ. Второй, более простой способ — определение продольной концентрации нагрузки для соединения со ступицей произвольной конфигурации с помощью использования электронных вычислительных машин непрерывного действия (ЭВМНД) [7]. С этой целью уравнение (4.3а) для машинного решения преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка [c.144]

Связь между параметрами С и А, О и В получим из уравнений совместности деформаций после интегрирования их по методу Бубнова—Г алеркина [c.339]

Сравнение расчетов с экспериментами. В работе [31] для определения деформаций и напряжений во фланцевом соединении сосудов без нажимных колец использовались также два расчетных метода. Приближенный метод осуществлялся путем разбиения фланцевого соединения на базисные элементы - кольца, оболочки, балки. Поперечные силы и моменты в местах их соединений определялись из уравнений равновесия и совместности деформаций. Второй подход использует метод конечных элементов, для чего применялась программа MAR для ЭВМ /5Л/-370. Наличие в программе специальных люфтовых элементов позволяет моделировать нелинейную контактную задачу, связанную с локальным смыканием и (или) раскрытием зазора между поверхностями фланцев и проклад- [c.153]

Теория поперечного удара Тимошенко. Эта теория объединяет существенные положения теории Сен-Венана и Герца. Она учитывает местные деформации ударяющего по балке тела. Пусть тело в момент соприкосновения с балкой имеет скорость t o- Если прогиб балки в точке удара л = обозначить через у, смещение тела —через5, а местное сжатие через а, то s = а -f- у. Это соотношение служит уравнением совместности при использовании метода расчленения, состоящего в раздельном рассмотрении движения тела и балки под действием сил контактного давления Р (/) Исходными являются уравнения движения тела и балки [c.266]

Для раскрытия статической неопределимости конструкций требуется для каждой единицы неопределимости составлять дополнительное уравнение. Это уравнение получается из условия совместности деформаций в месте разреза излишнего элемента, делающего конструкцию статически неопределимой. В этом разрезе прикладывается единичная сила в направлении действия усилия в разрезанном стержне. Перемещение в месте разреза определяется по методу сил и приравнивается нулю или заданному начальными условиями перемещению. Продольные усилия в элементах реальной статически неопределимой рамы определяются по формуле S = 5о + Xf i = b R + biX, где R — внешняя нагрузка. Условие отсутствия перемещений в месте разреза записывается в виде [c.190]

В данной главе описаны различные методы расчетов распределения напряжений вокруг острых концентраторов напряжений или трещин. Все аналитические решения включают использование в той или иной форме комплексных переменных. Функции напряжений Вестергаарда обычно позволяют получить основные параметры полей напряжений у вершины трещины, но в более сложных случаях, относящихся к реальным образцам, необходимо использовать функцию напряжений в виде полинома или конформные отображения. Для моделирования трещин могут быть использованы и ряды дислокаций. Метод конечных элементов применяется все шире, вытесняя постепенно метод уравнений в конечных разностях, тем самым широко привлекая вычислительную технику для решения большого числа совместных линейных уравнений, представленных матрицей жесткости. Для моделирования упруго-пластической деформации по типу I при плоском [c.88]

Ввиду сложности уравнений, описывающих деформацию нетонких оболочек переменной толщины, затрудняющих их аналитическое исследование, поставленные задачи следует решать применяя численные методы, в частности метод конечных разностей. Целесообразно использовать совместно метод конечных разностей и аппарат тензорного анализа, позволяющие описывать в общем виде геометрию деформируемой поверхности. Это позволяет произвольно выбирать очертание разностной сетки, ее густоту, учитывать ее изменение в процессе деформации. [c.172]

Решение можно получить, идя различными путями. Во-первых, мы можем взять общие уравнения (14) или (16) и решать их с тем, чтобы прямо найти и, v, w. Во-вторых, мы можем комбинировать уравнения равновесия в напряжениях, данные в 285 главы VIII, с уравнениями совместности для деформаций , данными в 308 главы IX. А затем использовать получившиеся уравнения для того, чтобы вывести выражения для компонентов напряжения, не вводя явно компоненты смещения. Каждый из методов имеет свою область применения. [c.410]

Метод устранения деформаций применим и к более общей йадаче о начальных деформациях [3] или дисторсиях [4], которые в общем случае не удовлетворяют уравнениям совместности и вызывают появление в упругом теле собственных напряженйй [4]. [c.64]

Метод сил, которому соответствуют уравнения (11.69), аналогичен методу перемещений, которому соответствуют уравнения (11,52). В методе сил дополнительная энергия выражается как функция лишних статических неизвестных, а затем применяется теорема Кротти — Энгессера, в результате чего получаются уравнения совместности, из которых находятся лишние неизвестные, В методе перемещений энергия деформации выражается как функция неизвестных перемещений в узлах, а затем применяется первая теорема Кастилиано для получения уравнений равновесия, из которых можно определить перемещения. Оба метода могут применяться для расчета конструкций с нелинейным поведением. [c.526]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...