Энергий деформаций перемещений

Рис. 1.7. Зависимости перемещения конца стержня и при продольном колебании (а), кинетической энергии Гэ и энергии деформации стержня

Модели для анализа напряжений и деформаций часто оказываются более удобными, если представлены в интегральной форме, вытекающей из вариационных принципов механики. Вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии) гласит, что потенциальная энергия системы получает стационарное значение на тех кинематически возможных перемещениях, отвечающих заданным граничным условиям, которые удовлетворяют условиям равновесия. Поэтому модель представляют в виде выражения потенциальной энергии П системы как разности энергии деформации Э и работы массовых и приложенных поверхностных сил А [c.158]

Часто, рассчитывая амортизационные пружины (пружины для смягчения резких толчков), за основу берут величину энергии Т, которую должна поглощать пружина (рессора) во время эксплуатации. При этом исходят из того, что между перемещением к пружины и силой Р, действующей на нее, в пределах упругости существует прямолинейная зависимость. Поэтому потенциальную энергию деформации пружины можно выразить формулой [c.233]

Перемещение точки приложения обобщенной силы по направлению ее действия равно частной производной от потенциальной энергии деформации по этой силе (теорема Кастильяно). [c.390]

Выразив потенциальную энергию деформации в функции независимых перемещений Дь Да,. .., Д , можно показать, что частная производная от потенциальной энергии по любому перемещению равна силе, действующей по направлению перемещения, т. е. [c.391]

Перейдем к определению потенциальной энергии деформации в общем случае напряженного состояния. Очевидно, потенциальная энергия, накопленная в элементарном объеме, определяется суммой работ сил, распределенных по поверхности этого объема. Нормальная сила (рис. 294) совершает работу на перемещении Эта [c.256]

Если внешние силы qi или перемещения Д,- на поверхности тела отсутствуют, то работа внешних сил равна нулю. Следовательно, будет равна нулю потенциальная энергия деформации, накопленная в упругом теле. Но тогда из формул (6.14), (6.20), (6.21) следует, что а,/ = 0, е,/ = 0. [c.120]

Как видим, при малых по сравнению с толщиной пластины перемещениях энергия деформации состоит из суммы энергий от растяжения и изгиба. Иначе говоря, растяжение и изгиб не влияют друг на друга и могут рассматриваться отдельно. [c.199]

Подставив сюда напряжения (2.17) и перемещения (2.18), получим плотность энергии деформации [c.71]

Здесь, как и в 8, С — контур, охватывающий вершину трещины W — плотность энергии деформации Пт — косинус угла между нормалью к С и радиусом из вершины трещины г Оу, Uj — компоненты напряжения на С по i-м направлениям Ui г — частные производные компонентов перемещения по п на С. [c.194]

Рассмотрим, как формулируется принцип возможных перемещений для произвольно нагруженного стержня (рис. 4.9), который до приложения внешней нагрузки был прямолинейным. При приложении нагрузки (Р, Т и q) стержень изгибается, в связи с чем силы совершают работу, которая переходит в энергию деформации стержня. Пренебрегая потерями энергии, вызванными внутренним трением в стержне, имеем и = А, где (7—-энергия деформации стержня А— работа внешних сил. Применительно к деформируемым системам принцип возможных перемещений формулируется [c.167]

Внешние силы, приложенные к телу, деформируя его, совершают на вызванных ими перемещениях работу, при этом в теле накапливается энергия деформации — потенциальная энергия, которая после снятия внешней нагрузки возвращает тело к первоначальным размерам. [c.221]

Вычислим энергию упругой деформации при чистом изгибе. Как и раньше допустим, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации. Энергия, накопленная в элементе бруса, равна работе изгибающего момента Мх на взаимном угловом перемещении do двух сечений [c.255]

Энергия деформации системы U как работа обобщенных сил S на перемещениях а будет [c.259]

При таком задании перемещений энергия деформации рассматриваемого элемента будет полностью определяться его узловыми перемещениями Zi,. . ., Zg. Поэтому, аналогично (8.57), для него можем [c.260]

Рассмотрим теперь случай загружения, показанный на рис. 12.9,6. В этом случае продвижение трещины на dl вызывает не только изменение энергии деформации пластины dU, но также и изменение энергии положения нагрузки Р (потенциала внешних сил П), вызванного перемещением di p. Поэтому вместо (12.13) надо написать [c.380]

Найдем значение потенциальной энергии деформации, которая численно равна работе внешней силы Р на перемещении А1 [c.10]

Встречается также вывод [8], основанный на принципе возможных перемещений ясно, что он неприемлем, так как в техникумах этот принцип в курсе теоретической механики не изучается. Таким образом, все же рекомендуем вывод из учебника [12], хотя он и требует большей затраты времени, чем упомянутые. Конечно, до вывода интеграла перемещений необходим вывод формулы для определения энергии деформации при изгибе. [c.212]

Ограничиваясь рассмотрением плоских систем — балок и плоских рам и учитывая только энергию деформации, связанную с изгибающими моментами (т. е. пренебрегая для балок энергией, связанной с наличием поперечных сил, а для рам — поперечных и продольных сил), получают следующую формулу для определения перемещений, называемую интегралом Мора, [c.137]

При определении перемещений в плоских системах может возникнуть необходимость в учете потенциальной энергии деформации, связанной не только с изгибающими моментами, но и обусловленной наличием поперечных и продольных сил. В этих случаях формула перемещений (интеграл Мора) принимает вид [c.139]

При нагружении в стержне будет накапливаться потенциальная энергия деформации и, численно равная работе силы на перемещение А5. Эта работа определится площадью треугольника ОАВ. Следовательно, потенциальная энергия при сдвиге может быть определена как [c.106]

Как видно из формулы, потенциальная энергия деформации является квадратичной функцией обобщенных сил или обобщенных перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными силами. Следовательно, потенциальная энергия деформации всегда положительна. Ее величина не зависит от порядка нагружения и целиком определяется окончательными значениями усилий и перемещений. Отметим также, что потенциальная энергия как квадратичная функция обобщенных нагрузок не подчиняется принципу независимости действия сил. Это значит, что потенциальная энергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных действием каждой нагрузки в отдельности. Закон независимости действия сил при вычислении потенциальной энергии применим лишь в тех случаях, когда перемещение по направлению одной обобщенной силы, вызванное действием другой силы, равно нулю. [c.410]

Теорема Клапейрона, тесно примыкающая к использованным здесь понятиям энергии деформации и работы внешних сил, состоит в следующем. Для линейно-упругого тела при линейной зависимости деформаций от перемещений и их производных можно утверждать, что пропорциональному росту внешних нагрузок с коэффициентом пропорциональности X (Q = Р = соответствует пропорциональный рост перемещений, напряжений и деформаций [c.198]

Здесь Wo — работа внешних сил Qq, Р на соответствующих им в равновесном состоянии перемещениях Uq Vq — энергия деформации в равновесном состоянии. [c.198]

Если нагружение производится медленно, скорость перемещения масс тела будет весьма малой. Такой процесс нагружения называется статическим. Тело в любой момент времени находится в состоянии равновесия. В этом случае А = U,vi работа внешних сил целиком преобразуется в потенциальную энергию деформации. [c.49]

Пример 2.1 (к 2.1...2.3, 2.5 и 2.6). Для стального бруса (рис. 2.31, а) построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса и перемещений этих сечений, а также определить потенциальную энергию деформации. Задачу решить без учета собственного веса бруса. Принять Е=2 х X 10 МПа. [c.73]

Пример 2.2 (к 2.1...2.3, 2.5...2.8). Стальной стержень площадью поперечного сечения Е= 2 см закреплен верхним концом и находится под действием собственного веса (рис. 2.32, а). Найти наибольшую, допустимую по условию прочности длину стержня /, потенциальную энергию деформации этого стержня, а также перемещение его нижнего конца и сечения / — /. [c.75]

Таким образом, перемещение от динамического (ударного) действия нагрузки можно рассматривать как статическое перемещение от силы 8 = Рк , действующей по направлению силы Р. Тогда потенциальная энергия деформации системы [c.514]

Вычислим потенциальную энергию при сдвиге. Для простоты предположим, что грань КО элемента неподвижна (рис. 111.3). Тогда при смещении верхней грани сила тббх (где б — толщина элемента) совершит работу на перемещении уАу. Следовательно, потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе, А1 =туААх <1у/2. [c.85]

Для иллюстрации сказанного рассмотрим защемленный на одном конце однородный брус, растягиваемый силой Р, приложенной к другому его концу. Перемещение конца бруса в состоянии равновесия и = PL/iEF). В отклоненном состоянии перемещение и + Ьи = PL/iEF) + Ьи, и это состояние не есть состояние равновесия, так как этому новому перемещению не соответствует по закону Гука сохранившаяся прежней сила Р. Работа силы Р на вариации перемещения равна 6А = Рби. Потенциальная энергия деформации равна 6W = [ ffj Se dF, где [c.47]

Для решения более сложных задач широкое применение находят вариационные методы, сущность которых заключается в том, что система уравнений равновесия, условий шастичности и граничных условий заменяется эквивалентным ей принципом возможных перемещений. Использование данного метода возможно лишь при наличии данных (экспериментальных, численных и т.п ) о скоростях деформаций в различных точках исследуемой конструкции, необходимых для нахождения функции распределения скоростей деформации по сечению, отвечающему минимальному значению энергии деформации. Изложенный метод, с связи с этим, по с ти своей является приближенным, гюскольк минимизирующие функции подбираются эмпирически. [c.99]

Величина 5к, равная сумме дополнительной энергии деформации тела и потенциала реактивных сил на поверхности 5,, испытывающей принудительные перемещения, называется функционалом Кастилъяно или дополнительной энергией деформируемого тела. [c.63]

Подчеркнем, что понятие обобщенной силы имеет энергетическую природу и в общем случае величина 5, не обязательно представляет собой реальную силу, как это имело место в рассмотренной балке. Из формулы Si = dUldai следует, что dU = S dai = 5 ба,. Это равенство говорит лишь о том, что произведение 6 , на малое приращение б г должно быть равно изменению энергии деформации системы, численно равной работе всех сил упругости на деформациях системы, отвечающих перемещению ба,. Следовательно, в общем случае Si может рассматриваться как некоторый условный силовой фактор, связанный с обобщенным перемещением указанным соотношением. В зависимости от вида обобщенного перемещения а величина S может быть истолкована как сила, момент и т. д. [c.259]

Рчбота всех внешних сил на малых возможных перемещениях равна изменению потенциальной энергии деформации тела, т. е. [c.98]

Заметим, что в уравнении (9.471) первое слагаемое представляет собой вариацию потенциальной энергии деформации, а второе — ва-жацию работы внешних сил при варьировании узловых перемещений. 1оскольку при этом внешние силы и напряжения не варьируются, уравнение (9.471) можно записать так [c.335]

Этот пример наглядно иллюстрирует неприменимость принципа независимости действия сил как при определении потенциальной энергии деформации, так и работы внешних сил. Применяя этот принцип (ошибочно), теряем последнее слагаемое в выражении энергии деформации и слагаемое /7 в выражении для работы внешних сил. Иными словами, теряем работу, совершенную перЕюй силой на перемещении, вызванном второй силой. Это теряемое при применении принципа независимости действия сил слагаемое не содержит в знаменателе множителя 2. Надо разъяснить физический смысл исчезнове- [c.213]

Растяжение или сжатие стержня связано с работой внешних сил на перемещениях их точек приложения. Если нет рассеяния энергии,то вся эта работа переходит в энергию деформации стержня. Выделим из стержня малый элемент поперечными сечениями в точках 2 и 2 + d2. Пусть в результате приложения к этому стержню внешних сил в нем возникли напряжения и деформации Увеличение внешней силы приведет к увеличению напряжения и деформации соответственно на и бвг. Здесь использован знак приращения б функций и е , чтобы можно было отличить это приращение от знака приращения d, так как происхождение этих приращений различно — одно идет от приращения внешних сил, а второе связано с приращением координаты. При этом грани выделенного элемента дополнительно сместятся друг относительно друга на 6ejdz, так как относительная деформация, умноженная на длину деформируемого элемента, дает удлинение этого элемента (сравним 8 = AUI). Таким образом, если левая грань элемента сместилась на А, то правая сместилась на А + 6e d2. Напряжения Ог на этих смещениях произвели работу —Ла А на левой грани, Авг (А + 6e d2) на правой грани. [c.58]

Здесь первые два члена правой части уравнения определяют энергию деформаций, а последний член — работу внешней силы F при перемещении точки ее приложения из дфэрмированного состояния в недеформированное, т. е. на нулевой уровень. С учетом того, что 8i = А/1//1, % = Д4/4, А4 = os потенциальной энергии примет вид [c.199]

При приближении дислокации к свободной поверхности энергия деформации кристалла уменьшается, так как свободная поверхность не вызывает напряжений, которые препятствовали бы перемещению дислокации. Чем меньше расстояние от свободной поверхности до дислокации, тем меньше энергия дислокации и больше ее притяжение к свободной поверхности. Поэтому дислокация будет притягиваться к поверхности до тех пор, пока она не выйдет на поверхность, при этом образуется ступенька в одно межатомное расстояние. Сила притяжения дислокации к свободной поверхности кристалла аналогична силе, с которой в бесконечном кристалле на нее действует воображаемая дислокация противоположного знака, соответствующим образом ориентированная по отношению к поверхности. В случае винтовой дислокации, приближащейся к плоской поверхности, воображаемая дислокация есть зеркальное отражение исходной дислокации от поверхности кристалла. В этом случае силу, притягивающую дислокацию к поверхности, называют силой изображения. В частности, если винтовая дислокация параллельна свободной поверхности и лежит на расстоянии г от нее, то сила изображения на единицу длины дислокации [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...