Гамильтонова система с симметрией

Оригинальное доказательство теоремы 4, данное самим Пуанкаре, основано на другой идее. Пусть f p) — Р—рЕ —характеристический многочлен матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы с п степенями свободы. Положим f p) = = (р — 1)д р). Согласно известной теореме Пуанкаре—Ляпунова, многочлен д возвратный р дО /р) = д р). Следовательно, если уравнение д р) = О имеет корень р = 1, то его кратность четна и не ниже двух. Таким образом, если уравнения Гамильтона допускают независимый интеграл F, то пара мультипликаторов становится равной единице, причем один из этих мультипликаторов равен единице из-за наличия нетривиального гамильтонова поля симметрий Vf. [c.225]

Применим теорему 3 к гамильтоновой системе с п степенями свободы, обладающей нерезонансным А, -мерным инвариантным тором. Предположим, что эта система допускает г независимых интегралов в инволюции. Утверждается, что спектр соответствующей матрицы Q содержит не менее 2г - к чисел вида г Х, и>), X е Z При к = 1 получаем теорему 4 из 8. Доказательство основано на том факте, что гамильтоновы поля v// ,..., vh являются полями симметрий, причем для них справедливы соотношения (9.9). Для получения нужной оценки остается воспользоваться заключением теоремы 3. [c.235]

Для этого зафиксируем значения I] = I2, и заменим /з, rj соответственно на fil , цг (О < /i 1). В силу динамической симметрии координату Г2 центра масс тела можно считать равной нулю. Устремляя /i к нулю, получим в пределе ограниченную задачу о вращении твердого тела (см. п. 5 4 гл. I). Зафиксируем значение интеграла площадей с = (/0 ,7) и сведем уравнения движения к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. [c.271]

В дифференциальных уравнениях, описывающих реальные физические явления, чаще всего встречаются особые точки и предельные циклы общего положения, то есть гиперболические. Однако встречаются и специальные классы дифференциальных уравнений, где дело обстоит иначе. Таковы, например, системы, обладающие симметриями, связанными с природой описываемого явления, а также гамильтоновы уравнения, обратимые системы, уравнения, сохраняющие фазовый объем. Так, например, рассмотрим однопараметрическое семейство динамических систем на прямой с симметрией второго порядка [c.12]

Возьмем консервативную механическую систему, имеющую п степеней свободы и находящуюся в постоянном консервативном поле сил. Ее движение может быть выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с п степенями свободы определяется п координатами которые фиксируют конфигурацию системы и п соответствующих импульсов Pi. [c.821]

Возьмем консервативную механическую систему, имеющую п степеней свободы и наход щуюся в постоянном и консервативном поле сил. Ее движение может быть выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с п степенями свободы определяется п координатами qi, которые фиксируют конфигурацию системы и п соответствующих импульсов Pi. Координаты q могут быть выбраны различными способами, в частном случае это могут быть декартовы координаты х, у, г, цилиндрические или сферические координаты. Во всех случаях всякое изменение qi вызывает изменение Pi. [c.895]

Более интересный пример доставляет гамильтонова система из п. 3 1, имеющая в целом интегралы лишь конечной гладкости. Однако, нетривиальная группа преобразований у у + а, х х, t t является ее группой симметрий. Она порождается векторным полем с компонентами 1,0,0 в координатах y,x,t. [c.80]

Как уже говорилось, интегралы уравнений Гамильтона порождают поля симметрий (которые называются гамильтоновыми). С другой стороны, пример (8.1) показывает, что не каждое поле симметрий гамильтоновой системы является гамильтоновым (или даже локально гамильтоновым). [c.172]

Канонические координаты х mod 2тг и у являются переменными действие — угол невозмущенной системы с гамильтонианом Яо. Следуя Пуанкаре, мы рассмотрим задачи о существовании для этой системы дополнительных интегралов и нетривиальных полей симметрий в виде рядов по степеням малого параметра е. Здесь существенное значение имеет классическая схема теории возмущений, изложенная в 10 гл. II. Оказывается, интегрируемости гамильтоновой системы препятствует разрушение большого числа резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи при малых значениях s 0. [c.177]

Теоретически интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах не обязательно может быть связана с наличием необходимого количества первых интегралов. Она может быть обусловлена полями симметрий, различными инвариантными формами и другими тензорными законами сохранения [31, 83]. Содержательные примеры, однако, относятся лишь к частным сочетаниям таких тензорных инвариантов. Сейчас мы рассмотрим еще одну типичную ситуацию. [c.75]

Мы вновь возвращаемся к исследованию гамильтоновой системы (Ai, (О, Н) с группой симметрий G, действие которой иа пространстве состояний М является пуассоновским. Пусть (Ai , (О, Н) — приведенная гамильтонова система в смысле п. 2.2. [c.115]

Предложение 7. Фазовая кривая x(t) гамильтоновой системы (Ai, О), Я) с группой симметрий G является относительным равновесием в том и только том случае, когда x(i) = где — однопараметрическая подгруппа группы G. [c.115]

Настоящая статья организована следующим образом. В разделе II изложено общее определение стационарного движения динамической системы с группой симметрии. Далеко идущие обобщения и развитие теории устойчивости для стационарных движений консервативных (гамильтоновых и лагранжевых) систем читатель найдет в работах [4, 35, 43, 45]. [c.244]

Свойство компактности вихревых многообразий позволяет осуществить в целом факторизацию группы С по вихревым многообразиям. После факторизации система уравнений х = у х,с) становится гамильтоновой на фактор-пространстве четной размерности п — к. Обсуждение различных аспектов понижения порядка систем с симметриями можно найти в книге [10]. [c.181]

Обсуждение связи между группами симметрий и интегралами гамильтоновых систем начнем с рассмотрения более общей задачи. Пусть —компактное трехмерное многообразие, V — касательное векторное поле на Е без особых точек. Пусть также динамическая система [c.172]

Итак, изучение исходной гамильтоновой системы с симметриями сводится к исследованию отображения ЯхЯ и структуры фазовых потоков на приведенных интегральных многооб-> разиях 7 , с. [c.117]

В гамильтоновой механике особую роль играют группы симметрий, порождаемые гамильтоновыми системами если функции Я и F находятся в инволюции, то фазовый поток гамильтоновой системы с гамильтонианом F переводит решения уравнений Г амильтона с гамильтонианом Н в решения тех же уравнений. Таким образом, задача о группах симметрий уравнений Гамильтона содержит как частный случай задачу о первых интегралах. Нётеровы симметрии порождаются линейными интегралами F = р - v q). [c.14]

Рассмотрим некоторые аспекты теории понижения порядка гамильтоновых систем с симметрией. Пусть система уравнений Гамильтона q, = dH/dpi, pi = -dH/dqi (l г n) имеет линейный интеграл F = Ylfi Q)Pi- Ему естественным образом соответствует однопараметрическая группа симметрий пространства положений N—фазовый поток системы уравнений [c.36]

Эти наблюдения можно обобщить. Пусть / — замкнутая 1-форма в фазовом пространстве системы с гамильтонианом Я. Локально / = dF, поэтому форме / можно поставить в соответствие локально-гамильтоново поле vp с функцией гамильтона F. Екли Н, F = О, то поле vp является полем симметрий системы (3.22). Форму / (или многозначную функцию F) можно назвать многозначным интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом Я. Если форма / точна, то F — глобальный однозначный интеграл. [c.82]

Отсутствие аналитических интегралов в предположении о несовпадении пересекающихся асимптотических поверхностей фактически доказано Р. Кашменом [189] (он, правда, рассматривал неавтономные гамильтоновы системы с одной степенью свободы). Несуществование нетривиальных групп симметрий установлено в [101]. Ясно, что в гамильтоновом случае из результата об отсутствии групп симметрий вытекает результат об отсутствии новых интегралов. [c.262]

Пусть (Л , <, >, V) — натуральная механическая система и пусть G — компактная коммутативная группа симметрий (изоморфная Р), свободно действующая на пространстве положений N. Мы можем рассматривать эту систему как гамильтонову систему с симметриями на M = T N и применить известную нам схему понижения порядка. Группа G осуществляет пуассоновское действие на T N поскольку это действие свободное, то любое значение момента является некритическим. Стало быть, определено гладкое интегральное многообразие уровня Мс (коразмерности k = a mG в М) и приведенное пространство состояний Мс (размерность которого на 2k меньше размерности AI). С другой стороны, можно определить гладкое приведенное пространство - положений N, профакторизовав N по орбитам действия G. Более того, при том же самом значении с6 мы имеем полунатуральную приведенную лагранжеву систему (Л , <, >, К, Qe) (см. п. 1.1, теорема 18). Приведенным лагранжианом L TN- R естественно назвать функцию, определенную равенством L(x)=< x, x l2+V (x). [c.108]

Интегральные многообразия, области возможности движения и бифуркационные множества. Пусть (М, Я, С) — гамильтонова система с пуассоиовской группой симметрий О. Поскольку гамильтониан Н являетч я первым интегралом, то эту функцию естественно присоединить к интегралам момента Р и рассмотреть гладкое отображение энергии-момен- [c.116]

Основные связующие темы сохранились и для дополнительного материала, включённого во второе издание. Кинетическая энергия, кинетический потенциал и действие применяются при исследовании динамики общих и специальных систем. В их числе реономные системы (п. 5.5) динамические системы (п. 12.5) и системы Четаева (п. 17.3), (заметка 29) системы с неевклидовым действием (п. 18.3) системы с распределёнными параметрами — стержень в задаче об устойчивости его формы (п. 25.5) и развёртываемая центробежными силами в космосе поверхность (заметка 27) система с диссипацией энергии за счёт гистерезиса в опоре (заметка 28) система переменного состава (заметка 30) гамильтоновы системы (заметки 32-35) системы, включающие бесконечно удалённые гравитирующие массы со сферической симметрией и инерционные объекты, нарушающие общую симметрию (заметки 36, 37) система, состоящая из релятивистской частицы и её собственного поля (заметка 38). [c.14]

Этот результат усиливает теоремы 1 и 2 1, так как любой интеграл, независимый с интегралом энергии, порождает нетривиальное поле симметрий, В частности, из теоремы 1 вытекает отсутствие многозначных аналитических интегралов. Основная трудность в доказательстве теоремы 1 состоит в том, чтобы установить линейную зависимость векторов и, v во всех точках Eh. Так как г О, то и = Xv. Известно (см. 3 гл, П), что Л — интеграл гамильтоновой системы на Eh. Поскольку Л — аналитическая функция и род М больше единицы, то Л = onst по теореме 2 из 1, [c.153]

Ввиду квазиоднородности гамильтониана (3.10) точно такая же картина трансверсальных сепаратрис имеется на всех энергетических поверхностях с положительным значением полной энергии. В качестве следствия получаем, что уравнения (3.11) не имеют дополнительного аналитического интеграла. Этот результат был получен ранее в работе С. Л. Зиглина [64] с использованием анализа ветвления решений системы (3.11) в плоскости комплексного времени. На самом деле из трансверсальности пересечения сепаратрис вытекает существенно более сильное утверждение об отсутствии нетривиального аналитического поля симметрий гамильтоновой системы (3.11). [c.275]

Пользуясь предложением 1, укажем метрики на двумерной сфере, для которых уравнения геодезических допускают неприводимые интегралы 3-й и 4-й степени. С этой целью рассмотрим задачу о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Эта система с тремя степенями свободы инвариантна относительно группы вращений вокруг вертикали. Фиксируя нулевую постоянную соответствующего интеграла Нётер (интеграл площадей) и проводя факторизгщию по орбитам действия группы симметрий, сведем эту задачу к системе с двумя степенями свободы на фазовом пространстве 7 S . Гамильтониан имеет вид (6.1), где Г — гамильтониан приведенной задачи Эйлера, а V К — потенциальная энергия силы тяжести. Если выполнены условия Горячева — Чаплыгина или Ковалевской (см. 5 гл. П), то уравнения с гамильтонианом T+V допускают дополнительный интеграл соответственно третьей и четвертой степени по скоростям. Предложение 1 дает метрики на двумерной сфере с интегралами степени 3 и 4. При V = О эти интегралы приводимы. А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко дали доказательство неприводимости интегралов Горячева — Чаплыгина и Ковалевской, основанное на глубоких идеях теории топологической эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. [c.404]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Перейдем в барицентрическую систему координат и сначала используем трехмерную коммутативную группу трансляций. С ее помощью размерность гамильтоновых уравнений движения понижается с 18 до 12. При этом приведенная система, как и исходная, будет обладать группой симметрий 0 = 80(3). Фиксируя значение кинетического момента, мы придем к уравнениям движения на девятимерном интегральном многообразии. Факторизуя его по стационарной подгруппе поворотов вокруг вектора постоянного момента, получаем искомую гамильтонову систему с восьмимерным фазовым пространством. Весь вопрос теперь заключается в том, как такое приведение осуществить в явном виде [c.113]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Прошло пятьдесят лет с тех пор, как в математике утвердились понятия группы и алгебры Ли. Термин алгебра Ли введен Г. Вейлем в 1934 г. [ 1, с. 467]. На языке групп Ли [ 2] и их инвариантов формулируется одна из основных задач аналитической механики, связанная с интегрированием уравнений движения. Понятие алгебраических инвариантов введено Дж. Сильвестром в 1851 г. и использовано Ф. Клейном для классификации различных геометрий. В работе [ 3], известной под названием Эрлангенской программы , Ф. Клейн предлагает любое многообразие задавать системой инвариантов относительно группы преобразований. В 1872—1876 гг. опубликована серия работ С. Ли [4], в которой устанавливается глубокая внутренняя связь симметрия — законы сохранения , свойственная задачам аналитической механики [5. 6]. С. Ли показал, что первые интегралы движения гамильтоновых систем являются следствием существования группы контактных преобразований фазовых переменных. [c.70]

Физически факт отсутствия в общем случае у системы (3.1) достаточно хорошего (алгебраического, полиномиального) дополнительного интеграла связан с потерей симметрий, обусловленных гамильтоновостью (пуассонова структура является тензорным инвариантом). Тем не менее поведение траектории (3.1), (3.2) всегда является регулярным, показатели Ляпунова равны нулю и вещественно-аналитический интеграл формально существует. [c.200]

Уравнения магнитных линий в таких системах можно записать в гамильтоновой форме (см., например, 1137, 307, 349] )). В случае азимутальной симметрии д д = О (токамак и левитрон) получаются уравнения нелинейного осциллятора с одной степенью свободы, а интегралом движения является магнитный поток, ограниченный магнитной поверхностью (см. ниже). Нарушение азиму- [c.387]

Система вихрей с > 4 допускает интегрируемость в случаях, когда она обладает дополнительными симметриями [132, 63, 55, 40, 116]. Например, если N1 = N2 = п, и хетоны в начальный момент расположены в вершинах правильного п-угольника, уравнения относительного движения могут быть редуцированы к уравнениям, описывающим эволюцию одного эквивалентного хетона. Методика такой редукции гамильтоновых систем описана в [55, 40] в рамках модели двумерных вихрей. [c.573]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...