Тензорный инвариант

Результаты, приведенные на рис. 15 и 16, получены для углов наклона волокон О, 15, 30, 45, 60, 75 и 90°. Компоненты тензоров поверхности прочности второго и четвертого рангов, вычисленные для этих ориентаций, показаны на рис. 19 и 20. При выполнении вычислений в соответствии с описанной выше методикой осреднения использовалось шесть инвариантов (два для Fi и четыре для р ц). Значения компонент и р ц, восстановленные (при помощи формул (124) и (125)) по значениям этих осредненных инвариантов, и представлены на рисунках. Полученное согласование является не только проверкой свойств преобразования тензоров поверхности прочности, но и позволяет утверждать, что для выборок большого объема использованная методика осреднения экспериментальных данных, основанная на примеиении тензорных инвариантов, вполне приемлема. Преимущество этой методики заключается в том, что она дает возможность свести большое количество различных экспериментальных данных всего к шести константам (инвариантам), что удобно с точки зрения паспортизации прочностных свойств зная эти шесть констант, можно, используя формулы перехода (124) и (126), перейти к конкретным техническим приложениям. [c.482]

Кроме идеи компьютерной динамики в книге мы старались отразить самые современные методы пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли, лишь намеченные в нашей предыдущей книге Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике , которая, как нам кажется, имела определенный успех. В развитии этих методов динамика твердого тела играет особую роль. В некотором смысле она представляет собой полигон для испытания новых средств математики и в настоящее время трудно оценить ее значение, особенно для развития многих разделов топологии и нелинейных пуассоновых структур, неголономной геометрии, теории симметрий и тензорных инвариантов. [c.12]

Теоретически интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах не обязательно может быть связана с наличием необходимого количества первых интегралов. Она может быть обусловлена полями симметрий, различными инвариантными формами и другими тензорными законами сохранения [31, 83]. Содержательные примеры, однако, относятся лишь к частным сочетаниям таких тензорных инвариантов. Сейчас мы рассмотрим еще одну типичную ситуацию. [c.75]

Для общих систем (7.1), например диссипативных, мера, как правило, заведомо отсутствует и установление их интегрируемости является отдельной проблемой ( 1 гл. 5). Общего метода здесь, видимо, не существует, и в зависимости от конкретных наборов законов сохранения (тензорных инвариантов), вообще говоря, не являющихся автономными, возможно различное поведение системы. [c.77]

Тензорный инвариант 38, 75 Теорема Бернулли 60 [c.377]

Имеются две категории скалярных функций тензорного аргумента те, для которых указанное соотношение зависит от выбора некоторой другой величины, и те, для которых это соотношение определяется единственным образом. Последние называются инвариантами, или изотропными функциями. Например, соотношение, которое ставит в соответствие любому заданному тензору одну из его компонент, является скалярной функцией, которая зависит от выбора векторного базиса. Так, соотношение [c.27]

Любая изотропная скалярная функция (т. е. инвариант) симметричного тензорного аргумента может быть представлена как функция трех главных инвариантов этого аргумента [c.29]

Рассмотрим общий вопрос о построении интегральных инвариантов и возможности привлечения к этому построению основ тензорного исчисления. [c.386]

Возможность применения тензорного исчисления к построению интегральных инвариантов нуждается в предварительном анализе. [c.386]

Возвратимся вновь к вопросу о построении интегральных инвариантов методами тензорного исчисления. [c.388]

В связи с применениями тензорной алгебры в механике сплошных сред, необходимо познакомиться со свойством инвариантности, т. е. независимости от выбора системы координат, некоторых скалярных совокупностей компонент тензоров второго ранга, именуемых инвариантами тензора. [c.124]

Очевидно, что относительное изменение объема материала не должно зависеть от выбора направления координатных осей. Действительно, в теории деформированного состояния показывается, что эта величина является так называемым инвариантом тензорного преобразования, т. е. такой скалярной величиной, которая не изменяется при повороте координатных осей. Соответственно и среднее нормальное напряжение является инвариантом тензорного преобразования компонентов напряженного состояния. Ранее мы уже получили для случая плоского напряженного состояния [c.128]

С другой стороны, систему инвариантов тензора напряжений можно построить по общему правилу, путем последовательного свертывания тензорных произведений [c.222]

В абсолютном исчислении (тензорном), которое систематически развивает коварианты и инварианты римановой геометрии, величины образуют тензор . Величина ds имеет абсолютное значение, потому что расстояние между двумя точками не зависит от системы координат. Она является абсолютной , инвариантной величиной, не зависящей от системы отсчета. Тензор определяется компонентами инвариантной дифференциальной формы. Например, инвариантная дифференциальная форма первого порядка [c.41]

В области пересечения координатных систем Л преобразуется как инвариант в смысле тензорного исчисления. Если X и Хг — две системы координат, а Л и Л — два лагранжиана, то [c.211]

I) Координатная система для точки В не должна быть той же самой, что и для точки В. Может существовать область, где они частично перекрываются (ср. 63). Даже если это не имеет места, мы можем для общности преобразовать координаты для точки В, а возможно, и для В, но произвести эти преобразования независимо друг от друга. Тогда существует различие между обозначениями S(B ,B) и S x, x), ибо первое указывает только на то, что S — функция двух точек (число, определяемое этими двумя точками, не зависит от используемой при этом системы координат), в то время как второе предполагает определенную форму функциональной зависимости. Эта форма изменяется при преобразовании координат. Функция S есть инвариант (в смысле тензорного исчисления) относительно независимых преобразований двух координатных систем. [c.236]

Понятно, что при каноническом преобразовании (которое мы ради краткости будем обозначать КП) специальный параметр w должен оставаться неизменным, а функция энергии Q должна рассматриваться как инвариант в смысле тензорного исчисления [Q х, у) = й х, у )]. Мы рассматриваем только несингулярные (обратимые) преобразования. [c.290]

Ясно, что 5 , Тд, Ut будут инвариантами по отношению к преобразованиям первого рода и будут иметь тензорный характер по отношению к преобразованиям второго рода. В частности, с помощью фундаментального тензора Uj. мы определяем величины [c.34]

Ряд особенностей симметричных тензоров второго ранга рассматривается на примере тензора напряжений в гл. V тензорный эллипсоид, главные оси, главные значения, инварианты тензора). [c.774]

Упругим однородным будем называть тело, в котором инварианты тензора упругих модулей не зависят от координат рассматриваемой точки. Соответственно упругим неоднородным будет тело с тензорным полем модулей, инварианты которого являются функциями координат рассматриваемой точки. [c.11]

Стремление устранить подобные случайные влияния систем отсчета привело к дальнейшим математическим обобщениям и созданию тензорного анализа. При его использовании путем построения тензоров можно отобразить определенные инвариантные геометрические или физические свойства изучаемого объекта алгебраическими инвариантами независимо от выбора систем координат. Применение простейших и часто однообразных операций элементарной и высшей алгебры при преобразованиях систем координат в процессе решения задач дает возможность [c.62]

Рассматривая тензорно линейные определяющие соотношения, приходим к выводу, что в случае изотермических процессов и склерономной изотропной среды функции ка д зависят только от двух инвариантов тензора деформаций, а г и г — от двух инвариантов тензора напряжений. При этом если тензоры <г и е являются потенциальными, т.е. существуют скалярные функции W viw такие, что [c.107]

Соотношения между напряжениями и деформациями (6.18) и (6.24), предложенные для описания неупругого поведения трансверсально изотропных материалов, содержат материальные функции, зависящие в общем случае от четырех независимых инвариантов, что определяется тензорной линейностью соотношений и типом анизотропии среды [203]. В качестве аргументов материальных функций могут быть использованы инварианты тензоров деформаций и напряжений, заданные уравнениями (6.20) и (6.21) [c.108]

Таким образом, уравнения Пуанкаре и Пуанкаре - Четаева — это лишь удобный аппарат для записи в произвольной системе переменных, в том числе избыточной, уравнений движения системы в лагранжевой и гамильтоновой форме. При этом возможность такого представления связана с существованием у системы тензорного инварианта — пуассоновой структуры, координатная запись которой зависит от выбора переменных, причем для избыточных переменных пуассонова структура будет заведомо вырождена. Следует сказать, что лагранжева система, функция Лагранжа которой невырождена по скоростям, заведомо обладает этим тензорным инвариантом. [c.38]

Такая регулярность достигается при наличии у системы достаточного количества законов сохранения — первьк интегралов, полей симметрий или других тензорных инвариантов. [c.73]

Физически факт отсутствия в общем случае у системы (3.1) достаточно хорошего (алгебраического, полиномиального) дополнительного интеграла связан с потерей симметрий, обусловленных гамильтоновостью (пуассонова структура является тензорным инвариантом). Тем не менее поведение траектории (3.1), (3.2) всегда является регулярным, показатели Ляпунова равны нулю и вещественно-аналитический интеграл формально существует. [c.200]

Центральное место в книге принадлежит аналитической механике, включающей различные формы уравнений движения, механику неголономных систем, теорию колебаний и устойчивости, классические методы интегрирования канонических уравнений динамики, включающие теорию интегральных инвариантов. В иеголономной механике получили дальнейшее развитие основные представления тензорного исчп-сления. Эти представления перенесены далее в механику сплошной среды. [c.2]

Интегральные инварианты не принадлежат к объектам тензорного исчисления, так как они не подчиняются законам преобразования тензорных величин. Но дифференциальные формы, являющиеся основой интегральных инвариантов, удовлетворяют условиям инвариантности относительно некоторых точечных преобразований, о которых идет речь ниже, и, в ином с.мысле, относительно некоторой системы дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет применить тензорное исчисление к вопросам теории интегральных инвариантов. [c.386]

Комбинация операций умножения и свертывания называется скалярным (внутренним) умножением. Операция скалярного умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу одного тензора и нижнему индексу другого. Пусть нам даны два тензора А "" и Bft, свертывая четырьмя способами их тензорное произведение, получим скалярное произведение, а именно А " A " BU, а "Bn, А" BU- Скалярное произведение контравариантно-го вектора и ковариантного вектора дает инвариант Л 5п, который можно, очевидно, назвать скалярным произведением векторов Л и Вп- В случае аффинных ортогональных векторов и Ьт, получим скалярное произведение этих векторов а-Ь = апЬп. [c.11]

Производится также свертывание тензора с тензором, Эта операция, называемая внутренним произведением тензоров, состоит в предварительном тензорном (внешнем) умножении тензоров, а затем полученный мультипликативный тензор свертывается по индексам, принадлежащим тензорам-сомножителям. Например, перемножая тен-зорно два вектора (а ) и (6 ), а затем свертывая полученную диаду ( i/) = (ад (bj), приходим к инварианту [c.394]

Если с.чободная энергия упругого тела, кроме Т и зависит также и от причем среди есть компоненты векторов или тензоров, то тело анизотропно. В анизотропном теле свободная энергия зависит от не только через инварианты (2.20), но и через совместные инварианты тензора деформаций и других тензорных аргументов функции Р. Так, если свойства среды зависят от некоторого вектора Ь (среда типа текстуры), то среди аргументов Р появляются инварианты вида ЪцЬ -ЬК [c.318]

Критерий Мизеса — Хилла (41) по виду представляет собой обобщение критерия, зависящего только от второго инварианта девиатора, но в действительности модифицированные коэффициенты F, G, Н,. . . являются функциями ориентации осей координат. Поэтому левая часть уравнения (41) не является инвариантом и ее нельзя интерпретировать как энергию формоизменения. Уравнение (41) первоначально было написано для системы координат, оси которой совпадают с главными осями симметрии ортотропного материала. Форму критерия, удобную для математических операций с ним, можно получить, используя тензорно-полиномиальную формулировку с коэффициентами [c.434]

Здесь Т— неприводимый тензорный оператор ранга У, имеющий 2У- 1 компонент (M = J, J — 1,. . ., —J) и преобразующийся нри вращениях так же, как волновая ф-ция состояния с моментом J, т. е. по неприводимому представлению группы 50(3) О Ц Г Ц/) приведённый (редуцированный) матричный элемент, к-рый уже не зависит от проекций Шх, и М и является инвариантом относительно вращений. Замечат. особенностью теоремы Вигнера — Эккарта является явное отделение теоретико-групповых аспектов оператора Гуд [связанных с К. —Г. к. ф-лой (7)] от его спец. свойств, зависящих от конкретной физ. задачи (приведённые матричные элементы, к-рые не могут быть вычислены в общем виде). [c.375]

Динамика многомерных Т. с. Топологич. анализ дефектов даёт лишь качественные ответы и необходимые критерии существования стабильных Т. с. типа наличия изоморфизмов = Z для пространств вырождения параметров порядка. При этом в роли параметров порядка могут фигурировать скалярные, комплексные, векторные и в общем случае тензорные поля. Количественное описание Т. с, основывается на построении, как правило, нелинейных дикамич, моделей, обладающих след, свойствами (а) ур-ния Эйлера — Лагранжа модели допускают регулярные локализованные решения с конечными динамич. характеристиками (энергией, импульсом, моментом импульса и т. д.) (б) состояния наделены нетривиальными топологич. характеристиками Q (зарядами, индексами и т. д.) (в) функционал энергии модели оценивается снизу через топологич. инвариант Q < > /(Q), = onst, что обеспечивает динамич. устойчивость Т. с. [c.138]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Р. С. Ривлиным [34] были предложены общие уравнения реологического состояния для упруго-вязкой жидкости при наличии зависимости напряжений от скоростей и ускорений деформаций. Из общих теорем тензорного анализа известно, что при наличии такого рода зависимостей тензор напряжений будет квадратичной функцией как от тензора скоростей деформаций, так и от тензора ускорений деформаций со скалярными коэффициентами, зависящими от инвариантов указанных кинематических тензоров. Совершенно очевидно, что наличие квадратичных чле7юв в тензорных уравнениях реологического состояния всегда приводит к появлению нормальных напряжений для случая течения жидкости в условиях простого сдвига. Однако наличие большого числа [c.31]

Тензорно-линейные определяющие уравнения содержат тензор по врежденности четвертого ранга, зависящий для склерономных сред от линейных и квадратичных инвариантов тензора деформаций, а критерии разрушения представляют собой условия достижения мерами тензора поврежденности своих предельных значений. Построенные определяющие соотношения и модели разрушения по совокупности критериев позволяют ставить и решать краевые задачи для многостадийных и многоуровневых процессов накопления повреждений с учетом перераспределения напряжений. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...