Уравнения алгебраические эллиптические

Следовательно, это уравнение представляет прямую, и оно может быть отождествлено с уравнением прямой линии в эллиптических координатах, которое будет, очевидно, алгебраическим относительно д и д . Таким путем мы воспроизвели, следуя Лагранжу, очень важный результат, данный Эйлером и выражающий, что уравнение (Е) допускает алгебраический интеграл. На этом результате основывается сложение эллиптических функций. [c.497]

Подобно уравнениям теории электропроводности и теплопроводности, они относятся к эллиптическому типу, вырождаясь в параболическую систему в случаях, когда один характерный линейный размер задачи начинает преобладать над другим, т. е. при наличии некоторого пограничного слоя. Задачи, которые требуется решить, являются краевыми. Они могут быть как линейными, так и нелинейными. Однако высказанные замечания не говорят о том, что конструктору массообменного оборудования обязательно следует знать соответствующие математические методы. В большинстве случаев используются только алгебраические соотношения, полученные из точных решений упомянутых уравнений или из экспериментов. Здесь складывается такое же положение, как и в расчетах электрического тока в цепях с сопротивлениями. [c.28]

Строго говоря, такие расчеты требуют решения эллиптического дифференциального уравнения с частными производными в пространстве со сложными границами. Практически же оказывается достаточным решить алгебраические уравнения относительно совокупности проводимостей. [c.28]

Таким образом, контактное давление под эллиптическим штампом с поверхностью основания (2.42) определяется по формуле (2.44), причем коэффициенты находятся в результате решения системы, состоящей из (п + 1)(п + 2)/2 линейных алгебраических уравнений (2.52). [c.39]

Более устойчивыми при решении краевых задач эллиптического типа оказываются (см. [283 ]) конечно-разностные методы. Однако и их применение в задачах неклассической теории оболочек встречает затруднение удовлетворительная аппроксимация производных быстропеременных решений конечными разностями требует малого шага сетки, что приводит к системам алгебраических уравнений высокой размерности. Наконец, обращаясь к методам третьей группы, приведем выразительную характеристику, данную им авторами монографии [36, с. 255] ... успешное или неудачное применение указанного выше метода. .. сильно зависит от выбора координатных функций. Скорость сходимости и практическая осуществимость соответствующих численных расчетов обусловлены главным образом этим выбором . Данную точку зрения разделяют и авторы монографии [283, с. 255] Метод разложения иногда приводит к серьезным неудачам, а иногда к блестящим успехам. В будущем он может оказаться вполне эффективным . [c.110]

Уравнения этих кривых, исключением t, обращаются в алгебраические, если отношение а к Ь — рациональное число. При Ь = Va гипоциклоида превращается в прямую, имеющую направление АО. Каждая точка, не лежащая на окружности катящегося круга, описывает тогда эллипс (планетные колеса, эллиптический циркуль). При Ь = а гипоциклоида обращается в (равнобокую) [c.139]

Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н. Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона-Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигурационном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)). [c.36]

Эти формулы, определяющие вид функций Ламе, вместе с уравнением (Eq), корнями которого являются эллиптические, координаты К, ц, v, приводят на основании теории симметрических функций корней алгебраического уравнения ) к заключению, что каждое произведение Ламе -го порядка, преобразованное к координатам х, у, г, есть многочлен п-й степени (вообще говоря, неоднородный, но который можно разбить на сумму однородных гармонических многочленов), удовлетворяющий уравнению Лапласа. [c.203]

Между решениями уравнений эллиптического и гиперболического типов существуют качественные различия, В первом случае имеем гладкие решения. Во втором же возможны разрывы на характеристиках. Условие на характеристике (вытекающее из разрешимости неоднородной алгебраической системы с вырожденной матрицей ) дает своеобразный эффективный способ решения гиперболических уравнений. Используя (3.3), запишем уравнения баланса сил (12,1) как [c.232]

Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоновой системе со скобкой (1.10) и (2.17), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует процессу редукции в алгебраической форме. Для реального понижения порядка необходимо, так же как и в случае плоскости, ввести некоторую систему координат (не обязательно канонических) на симплектических листах, которые и являются фазовым пространством приведенной системы. В дальнейшем ( 3) мы проделаем эту процедуру для частного случая при N = Ъ, при введении канонических (симплектических) координат, которые выражаются в очень частном случае через эллиптические функции. При К = 4 нам удалось построить соответствующие симплектические координаты только для случая плоскости, для случая сферы можно указать лишь общие соображения, позволяющие разобрать общий алгоритм, хотя и не являются каноническими, но также могут быть использованы для аналитических и численных исследований. [c.43]

Мы можем затем выразить координаты Солнца (относительно С), входящие в Р. по формулам эллиптического движения через в,, е, и т. д., где вр в, и т. д.—постоянные. Отметим в этой связи различие между теорией Луны и теорией планет. В последнем случае координаты возмущающего тела подставляются в возмущающую функцию в виде алгебраических функций, представляющих решение уравнений невозмущенного движения, но в,, б, и т. д. являются уже не постоянными, а фактически новыми переменными, удовлетворяющими уравнениям Лагранжа. Это будет сказываться на членах второго порядка в возмущениях рассматриваемой планеты. [c.132]

Поиск явного решения системы алгебраических уравнений (8.42) естественным образом привел Бакстера к эллиптическим функциям. Последние появляются из интеграла [c.171]

До появления ЭВМ основное внимание уделялось эллиптическим уравнениям. Первое строгое математическое доказательство сходимости и оценку погрешности итерационного метода Либмана для решения эллиптических уравнений дали Филлипс и Винер [1923]. В 1928 г. появилась классическая работа Куранта, Фридрихса и Леви. Эти авторы в основном интересовались использованием конечно-разностных методов как инструмента для исследований в чистой математике. Дискретизируя дифференциальные уравнения, доказывая сходимость дискретной системы к дифференциальной и, наконец, устанавливая существование решения дискретной системы алгебраическими методами, они доказывали теоремы существования и единственности для эллиптических, гиперболических и параболических систем дифференциальных уравнений 2). Эта работа определила направление практического получения конечно-разностных решений в последующие годы. [c.18]

Предназначен для решения тепловых задач. ТЕКОН представляет собой модульную систему программ со специализированным языком. Обеспечивает решение задач параболического и эллиптического типов. В общем случае ТЕКОН может быть одним из блоков некоторого более общего вычислительного процесса. Названные задачи решаются в произвольных пространственных областях ступенчатого типа,заданных в локально-ортогональных координатах, описываемых с помощью коэффицпентов Ламе. При переходе от исходной системы уравнений к конечно-разностной аппроксимации используется интегро-интерполяционный метод построения разностных схем [79]. Рассматривается класс неявных консервативных разностных представлений. Алгоритмы, реализующие процедуры вычислений по соответствующим схемам, содерл<ат итерационные процессы по нелинейности, сводящиеся к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге. В рассматриваемом ТЕКОНом клас- [c.178]

Ряд других типов поперечных сечений рассмотрели Грец [19] и Гринхилл [21]. Метод решения основывается на уравнениях (2.5.12) и (2.5.13). Для эллиптических поперечных сечений результат можно выразить в точной алгебраической форме. В случае [c.54]

Эту систему можно решить методом конечных разностей, который эффективен при получении численных решений эллиптических уравнений в частных производных [4]. При использовании этого метода область непрерывного материала заменяется системой дискретных точек, где должны определяться дискретные значения зависимых переменных задачи. Уравнения в частных производных выражаются в каждой точке материала в пределах выбранной области в виде алгебраических уравнений, в которых частные производные аппроксимируются конечно-разностными операторами. В работе [3] для точек материала внутри выбранной области использовались центральноразностные операторы, тогда как для точек, попадаюших на границы области, применялись восходящие и нисходящие разностные операторы. Когда уравнения в частных производных и граничные условия записаны в приближенной форме, как конечно-разностные уравнения, получается линейная неоднородная система алгебраических уравнений, число которых равно произведению числа точек материала в выбранной области и числа зависимых переменных. Записывая в память ЭВМ только те элементы матрицы коэффициентов системы, которые попадают в пределы полуширины ненулевых коэффициентов, можно использовать метод исключения Гаусса для решения системы алгебраических уравнений с максимальной экономией памяти ЭВМ. Типичные матрицы коэффициентов размером 1200 х 1200 с полушириной порядка 60—80 решались на компьютере IBM 360-65 в 1969 г. при мерно за 2 мин. [c.16]

Из фотмул (3), (4) видно, что J(x, у) является полиномом степени N. Приравнивая интеграл J(x, у), как это следует из уравнения (2.8), выражению 2-квё(х, у), где ё(х, у) имеет вид (1), получим соотношение, в левой и правой частях которого стоят полиномы по X, у степени N. Далее, приравнивая коэффициенты этого соотношения при одинаковых степенях х я у, найдем систему (N + l) N + 2)/2 линейных алгебраических уравнений, служащую ДЛЯ определения связи (N+ )(N+2)/2 постоянных a J и 6,- . Решив эту систему, получим по формуле (2) решение интегрального уравнения (2.8) для случая (1) и эллиптической области контакта С1. [c.44]

В типичной ситуации поверхности (9.2) (как вещественные поверхности в = о ) пересекаются по двум замкнутым кривым. Рассмотрим теперь комплексификацию считая Шк комплексными переменными. Оказывается, система алгебраических уравнений (9.2) определяет в эллиптическую кривую с некоторыми выколотыми точками. Чтобы это показать, выпишем общее реше- [c.110]

Хорошо известно, что между любыми двумя эллиптическими функциями /i и /2 с одинаковыми периодами существует соотношение видаФ(/1,/2) = О, где Ф — некоторый многочлен от двух переменных. Например, функция Вейерштрасса р и ее производная р (имеющая, очевидно, те же периоды) связаны алгебраическим уравнением (р У - 4р + д2р + = О, где д2,дз — инварианты р-функции. Более общо, любые m 2 эллиптических функций с одинаковыми периодами связаны m — 1 алгебраическим соотношением. Примером служат уравнения (9.2) для эллиптических функций (9.3). [c.111]

Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха, В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему Результаты теоретических исследований о, движении аэропланов сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемь было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрийский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов. [c.92]

А. И. Лурье (1939) применил метод Канторовича к задачам изгиба и кручения симметричного профиля, ограниченного параллельными прямыми и алгебраическими кривыми, выражаемыми двучленными уравнениями. Весьма подробно рассмотрела задачи о кручении треугольников, прямоугольного и равнобедренного, Н. О, Гулканян (1953). Введением специального вида неортогональных координат Н. X. Арутюняну удалось решить задачи о кручении уголка и швеллера (1942), в другой работе он получил решение задачи кручения для эллиптического кольцевого сектора, изотропного или с анизотропией частного вида (1947). [c.27]

Поверхностью второго порядка общего вида называют поверхность, которую можно выразить алгебраическим уравнением второй степени в пространственной системе координат. К поверхностям второго порядка общего вида относятся трехосный эллипсоид, однополостный и двуполостный эллиптические гиперболоиды, гиперболический параболоид. [c.78]

Это соображение является ключевым в обширной работе В. Вольтерра [280]. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а ограничимся лишь замечаниями о недостатках такого явного решения. Уравнения четвертой степени для коэффициентов матрицы определяющей преобразование (7.9), не решается явно. Вследствие этого все дальнейшие рассуждения носят лишь формальный комплексный характер, сходный с теоремами существования. Практически из самого решения нельзя сделать каких-либо полезных динамических выводов. Все результаты, полученные после Вольтерра (по устойчивости, топологический анализ и пр.) [57, 150], не используют его явных квадратур. Видимо, здесь не совсем правильной является постановка задачи о сведении, несмотря ни на какие трудности, к эллиптическим функциям, которые являются мало приспособленными для такого сорта задач. Аналогичные проблемы имеются с решениями Кёттера [234, 236] для случаев Клебша и Стеклова. Хотя на них и приходится ссылаться при написании работ, они совсем бесполезны для динамики и практически не используются. Вообще, излишняя тяга к комплексным методам способна из очень естественных механических задач сделать сверхсложные и нерешаемые проблемы алгебраической геометрии [134]. [c.157]

В, И. Моссаковский [176] рассмотрел задачу о штампе, близком к круговому, с помощью метода, близкого к методу Леонова. Эту задачу он свел к решению Оесконечной системы алгебраических уравнений и показал, что предложенная им схема позволяет получить точный результат для эллиптических штампов с полиномиальным основанием. [c.199]

В эллиптических переменных кривая Хилла имеет более простой вид, чем в прямоугольных координатах (5.2.07). Уравнение (5.2.54) разрешимо в явном виде относительно h и или os и, так как оно представляет собой алгебраическое уравнение четвертой степени относительно этих переменных. [c.545]

Хилл выбирает прямоугольные координаты, а не полярные, так как дифференциальные уравнения в этом случае выражаются в чисто алгебраическом виде. Если используются полярные координаты, то почти немедленно появляются тригонометрические функции. Хилл также замечает, что в эллиптическом движении прямоугольные координаты выражаются через среднюю аномалию гораздо более простыми рядами, чем полярные координаты. Затем он продолжает Если это верно в эллиптической теории, то насколько более вероятной является справеливость аналогичного факта в том случае, когда сложность проблемы увеличивается вследствие рассмотрения возмущающих сил [c.291]

В последние годы появились работы [2.66—2.69] и [3.14, 3.16, 3.36], свидетельствующие об интенсивных разработках, проводимых А. С. Космодамианским и его сотрудниками в области многосвязных и периодических задач растяжения и изгиба пластин в различных аспектах. В частности, здесь рассмотрена периодическая плоская задача для внешности подкрепленных [2.67] и не подкрепленных [3.14] эллиптических отверстий, упругое равновесие плоскости с периодической системой упругих ) включений [3.15] и т. д. В статье [3.36] рассмотрена периодическая задача о растяжении изотропной пластинки с квадратными вы-peзa пl, подкрепленными жесткими кольцами. В работе [2.66] доказывается квазирегулярность систем алгебраических уравнений, получаемых при рассмотрении напряженного состояния [c.266]

Д. И. Шерман [2.165, 2.166] определяет напряжения в весомой полуплоскости с одним круговым и одним эллиптическим отверстиями в предположении, что отверстия достаточно удалены от границы полуплоскости, и сводит задачу к интегральному уравнению. В работе [2.166] это интегралыюе уравнение приводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений доказывается ее квазирегулярность при любых относительных размерах области. [c.288]

Напряжения в весомой полуплоскости, ослабленной эллиптическим и круговым отверстиями для случаев, когда круговое отверстие расположено произвольным образом по отношению к эллиптическому отверстию, отыскиваются Л. Н. Кислер [2.56]. Предполагается, как обычно, что отверстия свободны от сил и достаточно удалены от края полуплоскости. Задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. [c.289]

Хотя в этой главе рассматриваются лишь системы линейных уравнений вида (10,1), получающиеся в случае эллиптических дифференциальных уравнений, аналогичные процедуры существуют и для других типов задач. Например, конечиоэлементная формулировка линейной задачи иа собственные значения приводит к алгебраической задаче на собственные значения, которая может быть решена либо прямым, либо итерационным методом. Рекомендации относительно выбора метода аналогичны рекомендациям для стационарной задачи. Линейные динамические задачи, однако, приводят к уравнениям, зависящим от времени, для которых более подходящими являются итерационные методы. Для решения нелинейных систем уравнений не существует прямых методов, поэтому приходится использовать итерационные процедуры, В следующих разделах дан краткий обзор прямых и итерационных методов,, а также некоторых соответствующих приемов уменьшения времени и стоимости решения, [c.223]

В зтом параграфе дается общее описание алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений метода Бубнова - Галёркина, полученных с помощью лагранжевых конечных злементов для эллиптических уравнений второго порядка. Алгоритм основан на рекуррентном использовании приближенных решений систем, построенных на последовательности вложенных сеток. [c.137]

В зтом параграфе рассматривается двумерная задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова - Гаиёркина с кусочно-линейными базисными фушсциям на треугольниках, как и в 3.5. Для приближенного, решения получающейся системь линейных алгебраических уравнений используются алгоритмы, построенные в 4.2,4.3. Они дают приближенное решение исходной дифференциальной задачи с точностью 0(А ) в норме 2 (О) и О (А) в энергетической норме 3 0(N) арифметических операций, где А -характерный линейный размер сетки, nN— число ее узлов. [c.197]

В этом параграфе рассматривается трехмерная задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова — Галёркина с кусочно-линейными базисными функциями на тетраэдрах. Для приближенного решения получающейся системы линейных алгебраических уравнений использованы алгоритмы, построенные в 4.2. Они дают приближенное решение исходной дифференциальной задачи с точностью 0(/г ) в норме L2 (12) с затратой 0(N) арифметических операций, где h - характерный линейный размер пространственной триангуляции, гМ - число ее узлов. [c.222]

В этом параграфе рассматривается спектральная задача для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова — Галёркина с кусочно-линей-ными базисными функциями на треугольниках, как ив 5.1. Для приближенного решения получающейся алгебраической спектральной задачи используются алгоритмы, построенные в 4.5, 4.6. Они дают простые и кратные собстветые числа с точностью 0(Н ) и соответствующие собственные функции исходной дифференциальной задачи с такой же точностью в норме 2 (12) Число арифметических операций для достижения этой точности является величиной порядка 0(]с М), где к — кратность собственного числа дифференциальной задачи, N - число узлов разностной сетки. [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...