Функции симметрические

Очевидно, что Длг есть рациональная функция, симметрическая относительно набора к и набора к по отдельности. Эту сумму можно представить как отношение двух детерминантов. Справедливо тождество [c.85]

Заметим, что инварианты (5.40 ) являются простейшими симметрическими функциями аргументов и,, и ад (симметрическими потому, что вид их не изменяется при замене одного аргумента на другой простейшими потому, что каждый аргумент (из числа а , аг, Оз) входит в них лишь в первой степени). [c.414]

Существует, по крайней мере, одна действительная симметрическая неубывающая матрица-функция [c.477]

Главные значения симметричного тензора второго ранга являются его инвариантами. Это следует из замечания в п. 1.9, что корни полинома / з(А) не зависят от выбора системы координат, в которой задавалась матрица компонент тензора. Очевидно, что любая функция главных значений тензора Ф(), ь Лг, з) является его инвариантом. Наиболее удобны для применения инварианты, являющиеся симметрическими функциями главных значений — корней полинома Рз( ), так как они рационально выражаются через коэффициенты этого полинома, то есть компоненты тензора. Они называются главными инвариантами. Конечно, инварианты тензора не зав сят от ориентации триэдра его главных осей — тензоры Q и Q имеют одни и те же инварианты. [c.821]

Р= 0,5, = 0,—симметрическая единичная функция, 1 [c.10]

Более подробно остановимся на частном случае, когда положительная функция ч ) четная ( С— ) = и, следовательно, исходную задачу можно разбить на две задачи симметрическую и кососимметрическую. Положим [c.150]

Если функция О зависит от компонент симметрического тензо-р [c.286]

Известна следующая теорема Якоби пусть / — произвольная мероморфная функция на X тогда любая рациональная симметрическая функция от /( 1),..., /( т) является абелевой функцией от 1,..., Ст, (т. е. мероморфной функцией на якобиане J X)). [c.115]

Обозначим через в2, три корня уравнения (8) и упорядочим их таким способом, чтобы > 2 > е . В тензорной алгебре доказывается, что для симметричного тензора второго ранга корни векового уравнения (Ю) являются действительными. Эти корни не зависят от изменения системы координат Хг. Коэффициенты являются инвариантами, поскольку они как коэффициенты уравнения (Ю) являются элементарными симметрическими функциями корней е, (главных значений тензора деформаций) и однозначно выражаются через эти корни [c.25]

Обозначим через 0i ( = 1,2, 3) три корня уравнения (8) и упорядочим их так, чтобы 01 > 02 > аз. Эти корни являются действительными и не зависят от системы координат. Точно так же величины / являются инвариантами, ибо, будучи элементарными симметрическими функциями корней как коэффициенты уравнения (8), они однозначно выражаются через эти корни. Поочередно подставляя 01, 02, 03 в уравнения (6), приходим, пользуясь соотношением (2), к трем системам направляющих косинусов п р, nfк Эти направляющие косинусы определяют три оси, [c.49]

Затем мы дадим перечень тех критических точек, которые могут быть предсказаны из свойств симметрии. Непосредственно может быть определен симметрический набор критических точек и дана их классификация в соответствии с теорией Морзе. Кроме того, будет дан обзор проведенного анализа критических точек в нескольких кристаллах со структурой алмаза (в германии, кремнии и алмазе), основанного на дополнительной ин- формации о дисперсии фононов, полученной комбинированием детальных расчетов и измерений неупругого рассеяния нейтронов. Вслед за изучением роли критических точек в дисперсии фононов (т. е. в однофононных состояниях) полезно привести результаты подобного же анализа для объединенной, т. е. двухфононной, функции распределения частот в различных кристаллах типа алмаза и сравнить их с имеющимися оптическими исследованиями в двухфононной области энергий. [c.148]

Эти формулы, определяющие вид функций Ламе, вместе с уравнением (Eq), корнями которого являются эллиптические, координаты К, ц, v, приводят на основании теории симметрических функций корней алгебраического уравнения ) к заключению, что каждое произведение Ламе -го порядка, преобразованное к координатам х, у, г, есть многочлен п-й степени (вообще говоря, неоднородный, но который можно разбить на сумму однородных гармонических многочленов), удовлетворяющий уравнению Лапласа. [c.203]

Введем для описания плоского движения частицы в поле U (г) полярные координаты (г, ф), причем полюс полярной системы координат совместим с центром поля О, а полярную ось направим пока произвольно. Таким образом, исследование движения частицы в центрально-симметрическом поле U (г) сводится к определению функций г (t) и ф (I). Решение этой задачи проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и абсолютного значения момента импульса (интеграла площадей) [c.105]

Уравнение траектории частицы г = г (ф) в плоскости (17.10) можно получить двумя способами. Во-первых, в некоторых случаях это можно сделать, исключая время I из функций г () и ф (/), определяемых вторыми интегралами движения (17.8) и (17.9). Кроме того, уравнение траектории частицы, движущейся в любом центрально-симметрическом поле и (г), можно представить в виде квадратуры. Действительно, исключая из уравнений (17.4) и (17.7) дифференциал времени Ш, получим [c.107]

Второй пример — частица в центрально-симметрическом поле и (г). Наиболее подходящими в этом случае являются сферические координаты, в которых функцию Лагранжа частицы можно записать в виде (см. формулу (2.32)) [c.175]

Наиболее полное представление о движении свободного симметрического волчка можно получить, вычисляя функции 6 (i), ф (t) [c.298]

Как известно, еще в 1758 г. Л. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижно точки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а вое силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку. В 1834 г. Л. Пуансо дал геометрическую интерпретацию этого случая. В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. С. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось сиАГметрии, проходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой лежит на оси симметрии и не совпадает с полюсом (симметрический тяжелый гироскоп — волчок). Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и их решения выражаются через эллиптические функции. [c.246]

Чтобы попять, что такое конфигурационное вырождение и как оно возникает при наличии симметрически-эквивалентных равновесных ядерпых конфигураций, достаточно провести качественное рассмотрение решения колебательно-вращательного уравнения Шредингера. Для молекулы метана можно выбрать в качестве равновесной конфигурацию А или С (на рис. 9.2), чтобы определить оси Эккарта (х, г/, г), а следовательно, углы Эйлера и колебательные смещения Да,-. В зависимости от выбора конфигурации А или С получаем колебательно-вращательные волновые функции и энергии Еа либо с и f , где п = 1, 2, 3,. .. для последовательных собственных состояний. Если потенциальный барьер между минимумами Л и С потенциальной кривой Vn очень высок (как в случае метана), то волновые функции и локализованы соответственно в минимуме Лив мини- [c.224]

Удобство инвариантов (1.3) в том, что они являются целыми рациональными (в отличие от главных надряжений) и притом симметрическими функциями компонентов тензора напряжений. [c.17]

Наконец, если задача теплопроводности симметрична относительно срединной плоскости пластинки, т. е. выполняется равенство коэффициентов теплоотдачи с поверхностей пластинки г = 6 и температур омывающих их сред, а коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость, плотность, плотность источников тепла, начальная темпер1атура, коэффициент теплоотдачи с поверхности 5 и температура среды, омывающей эту поверхность, — симметрические функции координаты г, то Л = 0, С = 0, [c.35]

Симметрическое представление пространственных сферических функций с помощью декартовых координат было введено в одной очень мало оцененной работе lebs h, relle, LXXl, 195 (1863). Независимо от негб этот способ был принят Томсоном и Тэтом в качестве основания для своих исследований. [c.137]

Под / мы понимаем в (13), (15) атомно-температурный фактор (V, 34). В соответствии с элементами симметрии пространственной группы данного кристалла общее выражение для структурной амплитуды может быть модифицировано таким образом, что суммирование (13) ведется только по симметрически независимым атомам элементарной ячейки. При этом вместо экспоненциальной функции в итоговые формулы входят в определенных комбинациях тригонометрические функции. Эти формулы для всех пространственных групп приводятся в Интернациональных таблицах и других справочниках. [c.247]

Специфическим действием обладают элементы симметрии с трансляционной компонентой — винтовые оси и скользящие плоскости. Наличие такой компоненты приводит к тому, что координаты симметрически связанных атомов отличаются друг от друга на кратные доли периодов идентичности, например, на 1/2, 1/4 или 1/3. Такие значения обращают в нуль тригонометпические функции при некоторых к, к или I. В этом случае говорят, что эти отражения погашены, вес Рпы соответствующих узлов обратной решетки равен нулю. Наблюдаемые экспериментально погашения дают возможность определять присутствие (и ориентацию) элементов симметрии с трансляционной компонентой, а также трансляционную группу (решетку Браве) и приписать данной структуре в качестве возможных одну-две-три пространственные группы. [c.247]

Теперь разрешающие интегро-дифференциальные уравнения, имеющие ладсто на двух симметрических отрезках [—1, —р], [р, 1] , сведем на отрезок [—1, 1]. С этой целью сначала при помощи свойств четности входящих в эти уравнения функций преобразуем их на отрезке [р, 1], а затем перейдем к новыл пере-, менным по формулам [c.133]

Теперь Вы можете, вероятно, понять, что эти формулы навели меня на мысль, что я действительно имела здесь дело с эллиптическими функциями , я искала и искала, но тщетно к своей большой радости и удивлению я нашла, что решение будет то, что каждая симметрическая функция 51 и 82 является ультраэллиптическою функциею времени, т. е. может быть выражена через рациональную функцию отношений [c.32]

Это как раз нормальная форма ультраэллиптических интегралов 1-го рода и известное решение этой системы диф. уравнений как раз таково, что каждая симметрическая функция 51 и 82 есть рациональная функция от в п1, И2), где щ и П2 — линейные функции времени. [c.33]

Все входящие в рассматриваемую проблему количества суть алгебраические функции 51 и 52, и именно такие, что как х, так и Х2 являются корнями алгебраического уравнения 4-й степени, коэффициенты которого — симметрические функции О > 51 и 52 (следовательно, ультраэллиптические 0-функции). [c.33]

Согласно теореме Якоби, любая симметрическая функция от P11P2 будет абелевой функцией от СьСг- С учетом (9.10) получаем, что эти функции будут мероморфными функциями комплексного времени t. В частности, компонента угловой скорости 0)3 = — (pi + + P2)/h однозначна и мероморфна на С = i . Можно показать, что of и 0 2 обладают тем же свойством. Однако и имеют алгебраические точки ветвления. [c.115]

Построив уравнения для средних величин, мы сталкиваемся с дилеммой, либо поставить шесть новых величин — добавочные напряжения — в зависимость от старых величии г , р, р, либо, считая эти шесть величин за независимые новые функции (новый симметрический тензор), построить какие-то новые уравнения, ибо теперь осреднённых уравнений движения а перазрывности, очевидно, будет недостаточно. [c.698]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Отметим, что для представлений класса 1 (в случае рима-новых симметрических пространств неполол ительной кривизны) Бырал ение для весовой функции (5.15) может быть получено существенно проще [20]. Формула (5.15) справедлива также и для произвольной (не обязательно классической) комплексной полупростой группы Ли. [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...