Интегрирование численное

Очевидно, что необязательно на каждом шаге интегрирования численно решать систему из 2п конечных уравнений. В большинстве случаев выполняют предварительное исключение неизвестного вектора У из (5.5) или V i из (5.7) с помощью формул интегрирования (5.6) или (5,8) [c.236]

При решении ряда задач теории механизмов требуется интегрировать функции. Если функция задана в виде графика или таблично, то применяют численные методы интегрирования. Численное интегрирование основано на геометрической интерпретации опреде- [c.44]

Интегрирование численное 10 Интерполирование 5 Интерполирования погрешность 6 [c.228]

I — постоянная интегрирования, численное значение которой зависит от единиц измерения давления (обычно атмосферы). [c.24]

При Л = m в подынтегральных выражениях возникают особенности, что требует специальных приемов интегрирования в окрестности узловой точки п-го граничного элемента, когда г N, N ) О, N Г . Для прямолинейного элемента несобственные интегралы нетрудно вычислить аналитически. Криволинейный граничный элемент в окрестности узловой точки Г можно приближенно представить прямолинейным участком Г, г, для которого интегралы находят аналитически, а на остальной части элемента, где особенности в подынтегральных выражениях отсутствуют, проводится интегрирование численно. Так как (6.46) справедливо и для частного случая перемещения тела как жесткого целого, для каждой строки матрицы [Н] сумма компонентов должна быть равна нулю. Поэтому диагональные компоненты этой матрицы можно также найти из равенства [c.235]

Иерархия конечных элементов 175 Интеграл Мора 81 Интегрирование численное 186 -- порядок 188 [c.391]

В небесной механике и динамике космического полета широко применяются численные методы, получившие особенно интенсивное развитие благодаря внедрению ЭВМ. Основные из этих методов интерполирование и приближенное представление функций, численное дифференцирование и интегрирование, численное решение дифференциальных уравнений, обработка результатов наблюдений по методу наименьших квадратов и др. [c.635]

Интегрирование численное 65 Интегрируемость 812, 815 Интерполирование 635 [c.855]

В общем случае при решении задачи трех тел приходится прибегать к численному интегрированию. Численные решения позволяют проследить за движением третьего тела или нескольких тел в пределах того промежутка времени, который охватывался этим решением. Для широких исследований желательно получать массовые решения при различных начальных условиях. Для этого приходится упрощать задачу так, чтобы она решалась до конца. Одним из таких приемов является введение понятия о "сферах действия планет". [c.111]

Интегрирование численное 257 Источник линейный 162 [c.389]

Теория движения больших планет. Дифференциальные уравнения движения п тел интегрируются в небесной механике приближенно, с помощью разложения в ряды (аналитические методы) или численным интегрированием (численные методы). Если решение ищется в виде рядов, расположенных по степеням малых параметров, то такими параметрами обычно являются массы планет, так как масса даже самой большой планеты солнечной системы — Юпитера — в 1047 раз меньше массы Солнца. Малыми параметрами, по которым ведется разложение в ряды, являются также эксцентриситеты и наклоны орбит больших планет, так как все орбиты лежат почти точно в одной плоскости и мало отличаются от круговых. Члены ряда называются возмущениями или неравенствами и имеют следующую форму [c.6]

По этим выражениям для различных сочетаний изменчивости нагрузки Л и несущей способности, определив значение интеграла для ряда значений п методами численного интегрирования, можно построить графики зависимости и = f H), которыми удобно пользоваться при расчетах. [c.22]

Определив значение интеграла для ряда значений п методами численного интегрирования и построив график зависимости п = f(H), найдем для надежности Н = 0,9999 значение п = 1,3. Тогда для К имеем [c.22]

Тела сложной конфигурации. В этом случае приходится рассматривать изменение температуры по двум или трем координатам, интегрирование уравнения теплопроводности сильно усложняется. Получить аналитическое решение часто не удается, тогда используют численные методы решения ( 14.3). [c.76]

Зависимость Ф( ), полученная с помощью численного интегрирования, представлена на рис. 2.19 (кривая 1). Можно показать, что ИтФ(Г)=0. Поэтому нижнюю (кривая 2) и верх- [c.93]

Метод линейного интегрирования основан на численном вычислении У-интеграла, который связан с КИН известными соотношениями [200]. [c.195]

Пример получения ММС различными методами. Для примера рассмотрим схему, показанную на рис. 4.10. Предполагается, что численное интегрирование уравнений будет выполняться с помощью метода первого порядка точности. Неявная формула такого метода [c.182]

Классификация методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Методы численного интегрирования ОДУ являются методами преобразования дифференциальных уравнений в алгебраические. После дискретизации независимой переменной t система ОДУ [c.235]

Формулу численного интегрирования (5.6), в которой в качестве неизвестных величин фигурируют У и Ул, и соответствующие этой формуле методы интегрирования называют неявными. В неявных формулах кроме Vft и Wk могут присутствовать значения переменных V и (или) V в р [c.236]

Формулу численного интегрирования (5.8) и соответствующие ей методы интегрирования называют явными. Явные методы по аналогии с неявными могут быть одно- и многошаговыми, аналогично определяются порядки явных методов. [c.236]

Методы численного интегрирования ОДУ, применяемые в САПР. В практике машинных вычислений наиболее распространены для решения ОДУ методы Гира, Адамса и Рунге — Кутта. [c.237]

Сравнение методов и обоснование их выбора для конкретных задач автоматизированного проектирования. Эффективность метода численного интегрирования оценивается его влиянием на экономичность и точность вычислений. [c.240]

В целом затраты машинного времени на анализ переходных процессов неявными методами существенно зависят от экономичности алгоритмов численного решения конечных уравнений, применяемых на каждом шаге интегрирования. Обычно для решения конечных уравнений используют метод Ньютона, тогда [c.241]

Комбинированные методы и алгоритмы анализа. При решении задач анализа в САПР получило достаточно широкое распространение временное комбинирование численных методов. Наиболее известны рассмотренные выше алгоритмы ФНД для численного интегрирования ОДУ, являющиеся алгоритмами комбинирования формул Гира. Другим примером временного комбинирования методов служат циклические алгоритмы неявно-явного интегрирования ОДУ. В этих алгоритмах циклически меняется формула интегрирования — следом за шагом неявного интегрирования следует шаг явного интегрирования. В базовом алгоритме неявно-явного интегрирования используют формулы первого порядка точности — формулы Эйлера. Такой комбинированный алгоритм оказывается реализацией А-устойчивого метода второго порядка точности, повышение точности объясняется взаимной компенсацией локальных методических погрешностей, допущенных на последовательных неявном и явном шагах. Следует отметить, что в качестве результатов интегрирования принимаются только результаты неявных шагов, поэтому в алгоритме комбинированного неявно-явного интегрирования устраняются ложные колебания, присущие наиболее известному методу второго порядка точности — методу трапеций. [c.247]

Этот член также является приближенным в том смысле, что не была учтена зависимость рш от телесного угла элемента х из апертуры. Погрешность, связанная с этим, незначительна, за исключением полостей, имеющих <2 и 1. Численное интегрирование (7.49) приводит к значениям ЬЩ, представленным в табл. 7.1. [c.337]

Чтобы получить точное значение Т, следует позаботиться о выборе метода численного интегрирования уравнения (7.69). Функции 5(Я) и /(Я) всегда имеют вид таблиц, так как они являются результатом экспериментальных измерений, выполненных для большого числа дискретных длин волн. При выполнении численного интегрирования существует много способов подбора аналитических функций к экспериментальным данным, и результирующая погрешность зависит от выбора функций и от интервалов между экспериментальными точками. Численные методы обработки уравнения (7.69) обсуждались в работе [83], где предложена простая процедура, основанная на подгонке набора полиномов для (Я) и (Я). В каждом интервале между экспериментальными точками при длинах волн X,- и Я,+1 используется полином степени п (4 п 6) для описания в (ц+1) точках по обе стороны Я,. Таким образом, для каждого интервала используются различные полиномы. Интегрирование выполняется по методу Симпсона с величиной шага, который выбирается так, чтобы погрешность интегрирования была ниже выбранного значения. Если определить функцию / (Я, Т) формулой [c.370]

В 1...2 доя составления уравнений движения использовалась система аналитических вычислений REDU E. Эта система позволяет не только получить уравнения движения, но и составить программу их интегрирования на одном из алгоритмических языков. В данном параграфе рассматривается иной подход к анализу уравнений движения, а именно их автоматическое получение и интегрирование численными методами. Приводится описание алгоритма, который позволяет в значительной мере сократить количество выкладок, связанных с получением уравнений движения, и затраты труда на программирование при численном интегрировании уравнений движения. В основе алгоритма лежит реализация второго метода Лагранжа получения уравнений движения с помощью численного определения частных производных. [c.68]

Теория движения больших планет. Дифференциальные уравиеиия движения п тел решаются приближенно — с помощью разложения в ряды (аналитич. методы) или численным интегрированием (численные. методы). В случае разложения в ряд по степеням мал1.и пара,метров в качестве таких [c.364]

На рис. 7.5 показан закон изменения интегрируемой функции / и ее интеграла v. Приращение Avn — fnAt в рассматриваемой схеме интегрирования численно равно площади заштрихованного прямоугольника. Из рисунка видно, что при таком вычислении Avn остается неучтенной площадь криволинейного треугольника DE. При неограниченном уменьшении А/, в пределе, погрешность равна нулю. При конечном же At она не только становится ощутимой, но к тому же накапливается от шага к шагу по мере увеличения пройденного отрезка интегрирования. [c.305]

Традиционным подходом к решению задач упруговязкоплас-тичности (наличие мгновенной пластической деформации и деформации ползучести) при переменном во времени термосиловом нагружении является комбинация двух отдельных задач — упругопластической и вязкоупругой. Найденные из первой задачи пластические деформации являются начальными деформациями для задачи вязкоупругости, решение которой осуществляется численным интегрированием во времени уравнений ползучести с применением шагово-итерационной процедуры метода начальных деформаций [10]. Как видно, такой метод исключает возможность анализа НДС элемента конструкции, когда пластическое (неупругое) деформирование материала обеспечивается мгновенной пластической деформацией и деформацией ползучести одновременно. Для решения подобного рода задач можно использовать подход, разработанный в работах [43, 44]. Он основан на введении мгновенных поверхностей текучести, зависящих не только от неупругой деформации (неупругая деформация равна сумме мгновенной пластической деформации и деформации ползучести далее неупругую деформацию будем называть пластической), но и от скорости деформирования. В этом случае решение вязкопластической задачи сводится [c.13]

При использовании численных методов решения уравнений (1.41) и (1.47) встает вопрос о корректном выборе шага интегрирования Ат, т. е. о получении результатов с требуемой точностью при минимальном времени счета. Многочисленные исследования показали, что достаточно точные результаты получаются при использовании шага по времени в пределах времени прохождения волны расширения через наименьший КЭ [177, 178, 187]. С целью оценки эффективности предложенного алгоритма и выбора допустимых шагов интегрирования Ат было решено нескодыго модельных-задач колебан й стержня и балки [102]. Во всех задачах принимали следующие механические свойства материала модуль упругости = 2-10 МПа, плотность материала р = 5- 10 кг/м коэффициент Пуассона ц = 0,3. [c.37]

На рис. 1.7, а представлены зависимости продольного смещения конца стержня (длина /=15 мм, высота к = 115) во времени при мгновенном снятии нагрузки Р = 3000 Н. Расхождение решения МКЭ с аналитическим решением Тимошенко [228] йри размерах КЭ A.t = ft/3, Ay = hj и шаге интегрирования по вре-мени Ат = 0,05 мкс (приблизительно T v/200, где Tv —период собственных колебаний) составило 2 % по схеме интегрирования I [формула (1.41)] и 10 % для схемы интегрирования II [формула (1.47)] в первом периоде колебаний. В дальнейшем для схемы II развивается процесс численного демпфирования (уменьшение амплитуды и увеличение периода колебаний), обусловленный выбранной для данной схемы аппроксимацией скорости и ускорения на этапе Ат (принята линейная зависимость скорости от времени). В данном случае при внезапно приложенной нагрузке ускорение на фронте волны теоретически описывается б-функцией. Численное решение занижает ускорение, что приводит к постоянному снижению значений кинетической энергии и энергии деформации в процессе нагружения по сравнению с аналитическими значениями (рис. 1.7,6). В связи с тем что с помощью предложенного метода предлагается решать за- [c.37]

Определим также величины Sh и б5н. Пусть Riv-uv.) есть частное решение д ифференциального уравнения (3.18), которое может быть получено путем численного интегрирования. Это решение определяет размер поры, зародившейся при y, = v. с начальным радиусом (xi, y i) = и выросшей до / (xi,Xl) при деформации х = Площадь одной такой поры составит Sn = Площадь всех пор, зародившихся при Xi со скоростью ам, будет равна [c.165]

Результаты численного интегрирования (6.21) в виде Ф(е , g") для одноосного нагружения х = е", " = представлены на рис. 6.6 и рис. 6.7. При этом для стали 10ГН2МФА [c.343]

Алгебраизованная форма — результат представления дифференциальных уравнений в полученных после дискретизации точках в алгебраизованном виде с помощью форМул численного интегрирования. Ряд численных методов решения основан на линеаризации исходных уравнений. [c.168]

В подавляющем большинстве современных программ анализа применяют форму (4.40). Для получения ММС в такой форме применяют методы узловых потенциалов (МУП) и табличные методы. В этих методах для алгебраизации реализуют одну из неявных разностных формул численного интегрирования [c.175]

Да.чее применяют ту или иную формулу численного интегрирования, преобразующую вектор производных в вектор переменных состояния для очередного момента моделируемого времени, после чего переходят к новому шагу интегрирования. [c.185]

Среди неявных методов интегрирования при / = onst применяют методы Эйлера, трапеций, Шихмана. Их положительными особенностями являются А-устойчивость и сравнительно малый объем памяти, требующийся для хранения результатов интегрирования, полученных на предыдущих шагах. Однако метод Эйлера не обеспечивает необходимой точности при анализе переходных процессов в сла-бодемпфированных системах. Метод трапеций в его первоначальном виде (5.9) имеет недостаток, заключающийся в появлении в численном решении ложной колебательной составляющей уже при сравнительно умеренных значениях шагов, поэтому метод трапеций удобен только при принятии мер, устраняющих ложные колебания. Значительное уменьшение ложных колебаний, но при несколько больших погрешностях, дает формула Шихмана. [c.241]

После фрагментации и ранжирования выполняют раздельное численное интегрирование подсистем дифференциальных уравнений, относящихся к различным фрагментам в порядке увеличения их рангов. Интегрирование выполняют на всем заданном отрезке интегрирования 7кон- При интегрировании уравнений фрагмента с рангом г в качестве входных воздействий используют результаты интегрирования уравнений фрагментов с более низкими рангами. [c.246]

Численные методы газовой динамики (1987) -- [ c.10 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы (1987) -- [ c.122 ]

Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов (1985) -- [ c.186 ]

Решение инженерных задач на ЭВМ (1982) -- [ c.221 ]

Технический справочник железнодорожника Том 1 (1951) -- [ c.254 ]

Справочное руководство по небесной механике и астродинамике Изд.2 (1976) -- [ c.65 ]

Применение метода конечных элементов (1979) -- [ c.257 ]

Справочник машиностроителя Том 1 Изд.2 (1956) -- [ c.212 , c.304 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...