Интегрирование численное порядок

Для каждого метода обычно оценивается порядок локальной погрешности относительно шага интегрирования /г. Говорят, что численный метод интегрирования имеет порядок s. если на всем временном интервале интегрирования б = 0(Л +1), т. е. 8/1 с постоянной с, не зависящей от шага й. [c.121]

Иерархия конечных элементов 175 Интеграл Мора 81 Интегрирование численное 186 -- порядок 188 [c.391]

Проведем сопоставление скоростей сходимости методов ячеек и Монте-Карло. Из (6.23) вытекает, что погрешность определения многомерного интеграла с помощью метода Монте-Карло убывает пропорционально MYN, где N — число многомерных точек. Причем скорость сходимости не зависит от размерности интеграла. В методе ячеек, применяемом для кусочно-аналитических подынтегральных функций, которые, как было указано, часто встречаются при расчете угловых коэффициентов, скорость сходимости пропорциональна 1/л, где п — число отрезков разбиения по каждой координате. Поскольку в методе ячеек для расчета /п-мерного интеграла необходимо рассчитывать N = п " многомерных точек, погрешность численного интегрирования в этом случае будет иметь порядок [c.188]

При численном интегрировании уравнений (2)—(13), представляющих граничные условия для насоса принят следующий порядок вычислений. [c.245]

Эти уравнения решаются с помощью ряда, коэффициенты которого представляют собой функции от параметра теплоотдачи Sq. Методы численного интегрирования решения могут быть распространены за область радиуса сходимости ряда. Детально рассмотрены два частных случая случай малой интенсивности теплоотдачи, когда температура поверхности тела весьма незначительно отличается от температуры изолированного тела (So O), и случай интенсивного теплообмена, когда температура поверхности тела имеет тот же порядок величин, что и температура внешней границы пограничного слоя (So l). [c.101]

Величина каждого из главных напряжений Ti или 02 в общем случае двухосного напряженного состояния остается неизвестной. Для их определения требуются дополнительные экспериментальные измерения или численное интегрирование уравнений равновесия в главных осях. Однако, на свободном контуре эти напряжения могут быть определены по картине полос. Поскольку одно из главных напряжений, нормальное к контуру, равно нулю, порядок полосы на свободном контуре соответствует величине другого контурного напряжения [c.536]

Таким образом, порядок расчета следующий. Вначале при помощи численного интегрирования уравнения (6.36) при ука- [c.144]

Порядок расчета следующий. Вначале при помощи численного интегрирования уравнения (6.82) при указанном выше краевом условии подсчитывается функция ф, а затем из уравнений (6.83) и (6.76) функции g/g (0) и wlw (0). По первой формуле (6.81) определяется функция %lg (0). Затем из (6.91)—(6.94) устанавливаются поверхности разрыва скоростей перемещений на входе в матрицу и выходе из нее. Из (6.97) находится постоянная Ь. Напряжения подсчитываются по (6.72), (6.78) и (6.71), а усилие прессования по (6.98). [c.157]

При численном интегрировании следует для исключения ложных сдвигов использовать минимально допустимый порядок при вычислении k s.o к матрицам к/ и k"s должно быть применено более точное интегрирование (см. табл. 5.1). [c.278]

Скорость сходимости решения не нарушится, если при вычислении матрицы масс по (9.5) понизить порядок полиномов в матрице а, приведя его в соответствие с порядком полиномов в матрице р. Можно также брать исходную матрицу а, но зато понижать порядок интегрирования произведения ра а, заботясь лишь о точном вычислении полных полиномов той степени, которая появляется в произведении Э х 3. Последнее обстоятельство может быть использовано для получения матрицы (а следовательно, и матрицы М) в диагональной или блочно-диагональной форме. Чтобы добиться этого, необходимо [34] вместо правила Гаусса применить при расчете т такую схему численного интегрирования (назовем ее для краткости схемой поузлового интегрирования), в которой точки интегрирования совпадают с узлами конечного элемента. [c.339]

Аналитическое исследование полей интегральных кривых уравнения (1.7), особенно в случае N = 1 из-за наличия подвижной особенности (задача неавтономная), представляет трудности. При iV = О, хотя порядок уравнения (1.7) понижается и в результате получается автономное уравнение Абеля второго рода, доказательство факта, что при любом О < а < 1/2 интегральная кривая пройдет через седло (2.2) с каким-то другим As, также представляет трудности. Поэтому факт существования интегральных кривых уравнения (1.7), соединяющих две особые точки с произвольным О < а < 1/2 при iV = 1, и уже упомянутый факт при iV = О установлен путем высокоточного численного интегрирования уравнения (1.7) по нескольким методам с применением аналитических разложений в окрестности особых точек. [c.441]

Сформулированными уравнениями разрешается вопрос об удовлетворении условий межслоевого контакта по поперечным касательным напряжениям в случае оболочки, собранной из чередующихся между собой жестких и мягких слоев. Однако порядок этих уравнений по-прежнему зависит от числа слоев оболочки и быстро растет при увеличении этого числа. Следует также иметь в виду, что всякое изменение структуры пакета слоев такой оболочки требует модификации этих уравнений и пересмотра процедуры их численного интегрирования. [c.87]

Поскольку на вычисление несингулярных интегралов тратится значительная часть машинного времени,зта процедура должна быть по возможности оптимизирована. Последнее может быть достигнуто (как сделали, например, Лаша и Уотсон [1—4] в программе для трехмерной задачи теории упругости) путем задания максимальной верхней границы погрешности численного интегрирования. Попросту говоря, это означает, что порядок квадратурных формул должен меняться в зависимости от отношения расстояния между нагруженным граничным элементом и точкой наблюдения к характерному размеру нагруженного элемента, а также от того, насколько сильной является особенность. [c.417]

При ЭТОМ подынтегрально выражение имеет порядок 0(1) при приближении к точке x . При aP by ) — a нельзя определить главное значение интеграла от У (Е)) ( ) J ( ) непосредственно путем численного интегрирования. Вместо этого указанный интеграл, а также коэффициент при свободном члене вычисляются из соотношения между компонентами в глобальной координатной системе [c.117]

Мы не располагаем экспериментальными данными, которые давали бы прямое подтверждение результатов проведенного теоретического исследования. Однако скорости разрушения медных гильз в кумулятивных зарядах имеют порядок 10 см/с, что качественно согласуется с полученным, выше результатом/Для количественной проверки теории необходимо провести численное интегрирование уравнения (19) с. использованием действительных кривых напряжения—деформация. [c.59]

Полученные уравнения позволяют решить поставленную задачу. Порядок решения следующий. При заданных с>о1, bil, иг1, ао, a , Р подсчитываются по формуле (12.15) значение аг, по формулам (12.24) и (12.25) величины I3 и I4, по формуле (12.26) величина а. С определением последней известен и угол Р, который, согласно формуле (12.16), равен Р =Р — а. Затем производится численное интегрирование уравнений (12.36) и (12.37) для граничной линии тока AF (см. рис. 12.3, б) [c.134]

Рассмотрим сначала только совместное влияние аэродинамики и эволюции орбиты, пренебрегая пока гравитационными возмущениями. Результаты анализа и численного интегрирования позволяют сделать следующие заключения. Угол К прецессии вектора кинетического момента изменяется, монотонно возрастая, со скоростью, колеблющейся около некоторого среднего значения, близкого к скорости аэродинамической прецессии, определяемой формулой (7.1.11). Угол 6 нутации вектора кинетического момента совершает почти периодические колебания, причем период колебаний 0 приблизительно совпадает со временем изменения угла X на 2я, то есть с периодом вековой прецессии. Разность между наибольшим и наименьшим значениями угла 0 имеет порядок 10—30°, то есть колебания угла нутации более значительны, чем при учете только аэродинамики. Фактически это означает, что за счет эволюции орбиты (как будет показано ниже, за счет ухода узла орбиты) полюс прецессионно-нутационного движения вектора кинетического момента несколько смещается. [c.255]

Уравнение (4.75) содержит один произвольный параметр, но оно имеет второй порядок, а краевых условий — три. При решении (4.75) на ЭВМ удалось найти в области +(Х) > а > О одно значение а, при котором существует нетривиальное решение для Ф. Результаты численных расчетов показаны на рис. 4.9-4.11. Значения а малы, что говорит о значительном влиянии распространения возмущений вверх по потоку на всей поверхности тела. Постоянная С остается неопределенной. Существование нетривиального решения для Ф1 показывает, что для исходной задачи относительно функций /( 1, Г]) и 6 автомодельное решение не является единственным решением задачи. После интегрирования (4.75) решение вблизи носка определено с точностью до произвольной постоянной С. Заметим, что следующие члены разложения решения (4.71) около X = О при найденном а и заданном Сг определяются однозначно. [c.160]

Предположим, что, задав /З1, в системе (4.118), получим всю интегральную кривую, например, путем численного интегрирования на ЭЦВМ вплоть до особой точки 5/ р — 0. Все остальные кривые можно тогда получить с помощью группы преобразований (4.121) Кривые, для которых 6/ р = О при х < 1, не имеют физического смысла. Если особая точка расположена при х > 1, то часть интегральной кривой описывает течение, для которого донное давление р4 = р х — 1). Наконец, интегральная кривая, имеющая особую точку при х — 1 (обозначим для нее р х — ) — рз) соответствует всем течениям, для которых донное давление р4 р5. В этом случае вблизи донного среза образуется область течения, в которой на длине Ах г <С <С 1 давление падает на Ар 0(1), а продольный и поперечный перепады давления имеют одинаковый порядок. Это, возможно, и необходимо как раз из-за 6/ р = 0. Заметим, что в этой короткой области давление на теле р не может упасть ниже, [c.180]

Несмотря на кажущуюся простоту ситуации, выбрать подходящий метод для ответа на вопрос, 5а или Нет совсем непросто. Казалось бы, достаточно взять какой-либо численный метод интегрирования и прогнать систему в нужном временном диапазоне. Кроме чисто технических трудностей (высокий порядок системы, переменность элементов [c.198]

При описании движения твердого тела используются различные системы переменных. Каждая система имеет свои преимущества и недостатки для каждой конкретной задачи. Так для поиска первых интегралов, исследования некоторых вопросов устойчивости и топологического анализа наиболее удобными являются такие переменные, в которых уравнения полиномиальны (или даже однородны). Для численного интегрирования, кроме простой системы дифференциальных уравнений желательно иметь наименьший порядок системы. Для качественного изучения, применения методов теории возмущений и нелинейной нормализации необходимы системы канонических переменных, наиболее отражающие специфику невозмущенной задачи. Здесь мы приводим основные наборы переменных, используемые в динамике твердого тела. На практике, особенно в приложениях к гироскопической технике, также используются различные комбинации и модификации этих систем, обладающих более специальными свойствами. [c.39]

Выбор метода исследования. Выбор конечно-разностной схемы интегрирования уравнений (У.64) определялся характером изучаемой задачи. Особенность поставленной задачи связана с возникновением, движением и взаимодействием ударных волн, причем установление процесса колебаний пузырьковой жидкости может проходить в течение длительного времени. Отсюда вытекает ряд требований к конечноразностному алгоритму. Последний должен быть одно- или двухшаговым для обеспечения простоты, скорости и экономичности расчета обеспечивать малую численную диссипацию и дисперсию при больших временах расчета описывать ударную волну как резкий разрыв и не давать при этом осцилляций перед скачком и за ним иметь не менее, чем второй порядок аппроксимации. [c.144]

Заметим, что вычисленные нами значения (геоцентрические и селеноцентрические) скоростей прибытия в точку а следовательно, и ракетного импульса в этой точке являются приблизительными. так как учет притяжений Земли и Луны на подходе к точке либрации должен проводиться в рамках ограниченной задачи трех тел и требует численного интегрирования. Ясно, однако, что значение импульса (0,65 км/с) имеет примерно тот же порядок, что и приведенные в 2 данные о тормозных импульсах для выведения спутников на характерные окололунные орбиты. [c.250]

Все перечисленные выше точные решения уравнений гидродинамики относились к крайне простым идеализированным течениям. В более сложных случаях нахождение точного решения обычно оказывается невозможным, и приходится прибегать к численному решению уравнений (1.5) —(1.6) с помощью тех или иных приближенных методов. При этом очень важно уметь оценить порядок величины различных членов наших уравнений, чтобы знать, в каких случаях можно пренебречь некоторыми из этих членов и ограничиться рассмотрением упрощенных уравнений, легче поддающихся интегрированию. [c.45]

Определите порядок интегрирования, необходимый для численного определения интеграла в случае элемента из задачи 162. [c.310]

Отправной точкой в расчетах является выбор точек интегрирования и весовых коэффициентов для численного интегрирования. Число точек интегрирования зависит от порядка интерполяционного полинома, который в свою очередь определяется тем, какой элемент используется при построении дискретной модели. Информация о типе и порядке (линейный, квадратичный, кубичный и т. д.) элемента должна быть введена в ЭВМ до того, как начнется вычисление матриц элемента. Эта информация обычно вводится вместе с номерами узлов элемента. Порядок элемента должен быть определен при задании геометрии элемента и при интерполировании искомой величины по ее узловым значениям. [c.312]

Значительная часть книги посвящена численному интегрированию уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости в нестационарном случае. В силу того что эти уравнения имеют высокий порядок и в силу сложности граничных условий применяется итерационный алгоритм, основанный на последовательном интегрировании двух связанных подсистем уравнений второго порядка— для переноса вихря и для функции тока. Разные типы этих подсистем уравнений (соответственно [c.8]

Другой способ заключается в том, что положения точек не задают заранее. Их определяют из условия, чтобы квадратурная формула (5.91) при фиксированном числе п имела максимально высокий порядок. Здесь в качестве неизвестных выступают не только весовые коэффициенты а , но и значения 1г, и можно потребовать, чтобы формула (5.91) давала точный результат для функций 1, I, 1 ,. .., Получающиеся отсюда 2п уравнений позволяют найти 2п неизвестных at и Формулы численного интегрирования, построенные таким способом, имеют порядок 2п — 1 и носят название квадратурных формул Гаусса. Интегрирование по Гауссу требует при одинаковой степени точности почти вдвое меньшего числа точек, чем в случае использования формул Ньютона—Котеса. Вычисление подынтегральных функций связано обычно со значительными затратами машинного времени, вследствие чего формулы Ньютона — Котеса в методе конечных элементов практически не применяются. [c.188]

Интегрирование в (7.66), (7.67) выполняется численно. Для исключения ложного сдвига порядок интегрирования в к ,о должен быть минимально допустимым. Это соответствует одноточечному правилу Гаусса в случае элемента с двумя, двухточечному для элемента с тремя и трехточечному — для элемента с четырьмя узлами. Что касается к а.д, то в случае трехузлового элемента здесь следует взять три точки Гаусса, четырехузлового — четыре, а для двухузлового достаточно и здесь без ухудшения точности ограничиться одной точкой, Отметим, что двухузловой элемент подобного типа впервые предложен в работе [411. [c.253]

В.Н. Паймушина и В.Г. Демидова [218], В.Е. Чепиги [324, 325] и др., для каждого слоя в отдельности принимается система кинематических гипотез. Выбор такой системы определяется деформативными и геометрическими параметрами слоя и является достаточно широким — гипотеза о жесткой нормали, гипотеза прямой линии, гипотеза о линейном или нелинейном распределении всех компонент вектора перемещений по толщине слоя и др. В рамках этого подхода удается достаточно точно аппроксимировать поле перемещений для каждого слоя и описать тонкие эффекты [111, 115, 165], связанные с локальными особенностями деформирования отдельных слоев оболочки. Следует отметить, что порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений при таком подходе зависит от числа слоев оболочки и быстро растет при увеличении этого числа, что ограничивает возможности ее практического использования. Кроме того, не всеща оказывается возможным удовлетворить условиям межслоевого контакта по поперечным касательным напряжениям. Отметим, наконец, что всякое изменение структуры пакета слоев требует изменения системы гипотез и, следовательно, модификации разрешающей системы дифференциальных уравнений и пересмотра процедуры ее численного интегрирования, что вносит в расчет дополнительные трудности. Возможно, поэтому в литературе практически отсутствуют публикации численных исследований напряженно-деформированного состояния многослойных оболочек (с числом слоев больше трех), выполненных в такой постановке. [c.8]

В табл. 9.1 приведено сопоставление результатов численного расчета по изложенной методике с известным точным решением [2.26] для дужки окружности с кривизной /= 15 %. Буквами я и Ь обозначено соответственно интегрирование по прямоугольникам и уточненное интегрирование. В численном расчете вместо дужки бесконечного размаха Q. = >) рассматривалось прямоугольное крыло с удлинением "к = 1000, которое моделировалось вихревой решеткой (5 вихрей по полуразмаху и 9 вихрей по хорде) по схемам 1/4 и os. По значенто Су схема os несколько хуже, чем схема 1/4, а для коэффициента схема os дает повышение точности на порядок. [c.241]

Интегральные уравнения типа (12.10) решаются численно так же, как и в 1 одиннадцатой главы. В случае, когда порядок функций Бесселя в соотношении (12.8) равен целому числу с половиной, переход в пространство оригиналов можно осушест-вить с помощью контурного интегрирования. [c.286]

Формирование системы осуществляется в порядке обхода конечных элементов, численное интегрирование по каждому из которых на итерации с использованием двухточечных квадратур Гаусса осуществляется один раз. Причем количество перемещений в каждом узле может быть равно двум или трем в зависимости от исходной информации задачи. По мере накопления части матрицы At,- с учетом ее структуры в отведенную порцию оперативной памяти ЭВМ осуществляется прямой ход по методу квадратного корня и затем записывается во внешнюю память. Такой порядок решения системы экономит число обменов с внешней памятью. Ширина ленты матрицы коэффициентов может изменяться от строки к строке. Результирующее решение получается накоплением Aui, Аа >, Aefy Aeiy от шага к шагу. Перемещения вычисляются в узлах конечных элементов, а деформации и напряжения — в центрах конечных элементов, где они имеют наибольшую точность [53]. [c.98]

Численное интегрирование системы (3.1), (3.2) проводилось с помогцью метода С. К. Годунова [1,2]. Схема, задание граничных условий и порядок вычислений ирименительно к расчетам течений в соплах подробно описаны в работах [9,10 [c.47]

Если в плоскости г, ip элементарные четырехугольники каждого сечения х = onst имеют одинаковые размеры (в случае равномерного разбиения по (/ ), то в плоскости у, z при приближении к началу координат (г —0) размеры ячеек в окружном направлении быстро уменьшаются. Получающееся в результате этого сгущение элементарных ячеек и объемов, будучи ненужным для точности расчета (градиенты параметров при г —О имеют в общем случае не больший порядок, чем в других областях потока), приводят (в силу условия устойчивости) к необходимости существенного уменьшения шага интегрирования по X. Чтобы избежать нежелательных последствий эффекта сгущения, при расчете проводится объединение ячеек (и соответствующих объемов), расположенных у оси ж, путем выбрасывания границ, показанных на рис. 1, а и штрихами. Выбрасывание проводится так, чтобы все получившиеся ячейки (со сплошными границами) имели (в плоскости у, z) ъ окружном и радиальном направлениях ребра близких размеров. В то же время при построении численного алгоритма удобно иметь и использовать все ячейки. При этом малые величины в ячейках со штриховыми границами полагаются равными величинам в соответствующей ячейке, полученной в результате объединения. [c.159]

В результате описанных математических операций система п уравнений относительно п функций, зависящих от трех пространственных переменных и времени, свелась к системе связанных п X т уравнений относительно функций ац I /г, 1 т), порядок которых на единицу меньше порядка исходных уравнений (VIII.6). Таким образом, получается система уравнений, более удобная для численного интегрирования, например, методом конечных разностей. [c.224]

Поскольку мы интегрируем по конечному интервалу ф1<<р< <Ф2. то в асимптотике дифракционного интеграла возникают слагаемые, соответствующие концам области интегрирования ф1 и (рг и обязанные своим существованием решению ограничить область интегрирования этими значениями, а не в физике дела. Хотя они имеют при больших к порядок т. е, относительно малы, их при вычислении дифракционного интеграла целесообразно исключать, Это легко сделать при аналитическом расчете дифракционного интеграла. В случае же численного расчета (что целесообразно, например, для каустики, показанной на рис. 3.16, когда расстояния Р1Р2 и Рг з — порядка длины волны Я.=2п /й, а все прочие характерные размеры много больше) можно просто вычесть из полученных значений аналитически вычисленные вклады в асимптотику от концов области интегрирования. При этом область интегрирования хорошо брать не очень широкой не только для того, чтобы в нее не вошли паразитные стационарные точки, но и чтобы уменьшить объем численного интегрирования. Целесообразно выбрать ее таким образом, чтобы при движении от стационарных точек, соответствующих проходящим через точку наблюдения лучам, до краев области интегрирования фазовая функция испытала примерно две-три осцилляции. [c.85]

В теории численного интегрирования известно много способов определения интегралов, тем не менее применительно к методу конечных элементов и к задачам апостериорной обработки (вычисление интегралов) метод Гаусса имеет преимущества при интегрировании на элементах, так как он требует меньше вычислений и обеспечивает высокую точность, а метод Ньютона Котеса лучше для вычисления криволинейных интегралов, где применение эквидистантных координат упрощает расчеты, чего нет в методе Гаусса Напомним, наконец, что для п точек на одномерном сегменте метод Ньютона-Котеса имеет порядок (и — 1), тогда как метод Гаусса-(2и — 1) [c.87]

Подчеркнем, что вся изопараметрическая техника основана на применении численного интегрирования (в переменных , т]) для вычисления элементов матриц К и F. Из выбора переменных в интеграле (17) по элементарной области видно, что даже для изотропного материала р = onst) математический эквивалент переменных свойств материала выражается функциями 1х, Цу И- /(S, л)- Вообще говоря, 1,ве первые функции рациональны, а последняя — полином, гладкость которого зависит от искажения элементарной области. В разд. 4.3 мы установим влияние ошибок численного интегрирования на окончательный результат и требуемый порядок точности. [c.189]

Таким образом, и а — а, и Ь — Ь имеют правильный порядок /1 +, а по теореме 4.1 таков же порядок и у ошибки в деформациях. Это основной результат настоящего раздела если a Pn,v ) = a Pn,v ), то и> - — й М1т = О(/1"- + ). Сиарле и Равьяр смогли показать [5], что даже нри применении изо-параметрического метода ошибка в перемещении обычно оказывается меньше ошибки в деформациях. (Их доказательство состоит в модификации приема Нитше.) Таким образом, порядок ошибки перемещения равен /г +, и теория численного интегрирования дает удовлетворительный результат для сходимости необходимо, чтобы п = т, а условия п = к — 1 достаточно для, сведения ошибок численного интегрирования к уровню ошибок аппроксимации полиномиальными пробными функциями. [c.226]

После этого можно перейти к изучению сходимости гаких методов Более точно, мы б дем в основном рассматривать следующую задачу Найти достаточные условия для того, чтобы порядок (Ходимости при отсутствии численного ишпегрирования не менялся под воздействием численного интегрирования. При условии что мы ограничиваемся для простоты случаем, когда Р,,(/< ) для всех K S h< основной результат в этом направлении (теорема 4.1.6) будет состоять в том, что [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...