Интегрирование численное точки Гаусса

Интегрирование по координатам I, tj приходится выполнять численно. Прн вычислении к, можно брать по две точки Гаусса в каждом направлении, а для вычисления кг возьмем одну точку Гаусса, что соответствует минимально допустимому порядку интегрирования. Как уже говорилось выше, это необходимо для исключения ложных деформаций поперечного сдвига. [c.235]

Интегрирование в (7.28) даже для пластины постоянной толщины удобнее всего выполнять численно, используя по две точки Гаусса в каждом направлении. [c.241]

Таким образом, распределенная нагрузка заменяется здесь одними лишь сосредоточенными узловыми силами, узловые же моменты оказываются равными нулю. Интегрирование в (7.41) можно осуществить численно с использованием такого же числа точек Гаусса, что и при вычислении матриц k s (в случае элементов с четырьмя сторонами следует положить df = J dr] и интегрировать по параметрам т] в пределах от —1 до I). [c.245]

Численное интегрирование в (7.90) можно выполнить по трем точкам Гаусса. [c.260]

При выводе этой формулы предполагалось, что а — та же матрица, по которой формируется матрица р, используемая при вычислении согласно (4.11). Если при этом в (9.5) осуществляется, как и в (4.11), точное интегрирование (или, скажем, численное интегрирование по методу Гаусса достаточно высокого порядка), то получаемая таким путем матрица [c.338]

Скорость сходимости решения не нарушится, если при вычислении матрицы масс по (9.5) понизить порядок полиномов в матрице а, приведя его в соответствие с порядком полиномов в матрице р. Можно также брать исходную матрицу а, но зато понижать порядок интегрирования произведения ра а, заботясь лишь о точном вычислении полных полиномов той степени, которая появляется в произведении Э х 3. Последнее обстоятельство может быть использовано для получения матрицы (а следовательно, и матрицы М) в диагональной или блочно-диагональной форме. Чтобы добиться этого, необходимо [34] вместо правила Гаусса применить при расчете т такую схему численного интегрирования (назовем ее для краткости схемой поузлового интегрирования), в которой точки интегрирования совпадают с узлами конечного элемента. [c.339]

В предыдущей главе указывалось, что матрицы элемента могут быть составлены с использованием численного интегрирования методом Гаусса по п точкам. Объем вычислений при та- [c.170]

Поэтому мы окончательно остановимся на методе численного интегрирования. Чаще всего используется метод, называемый методом Гаусса, в котором заменяют функцию У( с, у), подлежащую интегрированию на некоторой области Q, суммой ее значений fl x у,) в некотором числе точек, [c.100]

Эти выражения далее можно упорядочить с точки зрения численных вычислений, однако эти математические преобразования не дадут ничего нового читателю, который должен знать, что для вычисления этих интегралов обычно используют метод интегрирования Гаусса, в котором необходимо определить для координат точек интегрирования в пространстве и, v соответствующие точки в пространстве х, у для того, чтобы оценить величину А и, следовательно, определить а [c.102]

Важным моментом при использовании метода численного интегрирования Гаусса является правильный выбор числа точек интегрирования. Этому вопросу уделено достаточно внимания в рабоче 119], где приводятся таблицы для различных вариантов интерполяционных полиномов в интегралах для одномерных и двухмерных конечных элементов. Так, например, если интеграл [c.83]

При вычисленнн к по (7.37) можно воспользоваться численным интегрированием с тремя точками Гаусса для каждой из переменных Ч- [c.244]

Интегрирование в (7.66), (7.67) выполняется численно. Для исключения ложного сдвига порядок интегрирования в к ,о должен быть минимально допустимым. Это соответствует одноточечному правилу Гаусса в случае элемента с двумя, двухточечному для элемента с тремя и трехточечному — для элемента с четырьмя узлами. Что касается к а.д, то в случае трехузлового элемента здесь следует взять три точки Гаусса, четырехузлового — четыре, а для двухузлового достаточно и здесь без ухудшения точности ограничиться одной точкой, Отметим, что двухузловой элемент подобного типа впервые предложен в работе [411. [c.253]

Учет специфики ММ объектов проектирования на макроуровне делает во многих случаях эффективным с точки зрения затрат машинного времени применение декомпозиционных методов анализа, сводящих решение задачи большой размерности к решению подзадач меньшей размерности. Например, свойство пространственной разреженности ИС позволяет использовать при их электрическом анализе различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений для ММ различных фрагментов ИС, выбирая для каждого фрагмента наиболее подходящий метод. Ряд методов использует свойство временной разреженности ИС, осуществляя обнаружение неактивных в текущий момент времени участков схемы и исключение соответствующих нм переменных и уравнений из общей ММ системы. Учет однонаправленности ММ МДП-тран-зисторов позволяет приблизительно на два порядка поднять быстродействие программ анализа путем замены классических методов анализа (см. рис. 5.1) на релаксационные, в основе которых лежат итерационные алгоритмы Гаусса—Якоби и Гаусса—Зейделя. [c.152]

Другой способ заключается в том, что положения точек не задают заранее. Их определяют из условия, чтобы квадратурная формула (5.91) при фиксированном числе п имела максимально высокий порядок. Здесь в качестве неизвестных выступают не только весовые коэффициенты а , но и значения 1г, и можно потребовать, чтобы формула (5.91) давала точный результат для функций 1, I, 1 ,. .., Получающиеся отсюда 2п уравнений позволяют найти 2п неизвестных at и Формулы численного интегрирования, построенные таким способом, имеют порядок 2п — 1 и носят название квадратурных формул Гаусса. Интегрирование по Гауссу требует при одинаковой степени точности почти вдвое меньшего числа точек, чем в случае использования формул Ньютона—Котеса. Вычисление подынтегральных функций связано обычно со значительными затратами машинного времени, вследствие чего формулы Ньютона — Котеса в методе конечных элементов практически не применяются. [c.188]

Как уже сказано выше, при вычислении матрицы жесткости метод интегрирования Гаусса оказьгеается наиболее экономичным. Однако в других случаях иногда целесообразно использовать иные схемы интегрирования. Например, в динамических задачах приходится рассчитывать так называемые матрицы масс конечных элементов. Если точки интегрирования совпадают с узлами конечного элемента, то матрица масс оказывается диагональной, что очень важно для разработки экономичных процедур динамического расчета конструкций. Подробнее вопрос о вычислении матрицы масс конечных элементов будет рассмотрен в гл. 9 здесь же в этой связи остановимся еще на двух схемах численного интегрирования. [c.191]

Мы видели, что многошаговые методы проще и работают быстрее. С другой стороны, неудачно выбранные многошаговые методы имеют склонность к неустойчивости в том смысле, что любая ошибка с течением времени не затухает и влияет на будущее поведение системы [181. Чтобы исправить эту неустойчивость, была проделана большая работа, и считается, что если можно зафиксировать шаг (или если число изменений шага поддерживать минимальным), то многошаговый алгоритм высокого порядка будет и точным, и быстрым. Мерсон [20] в результате исследования широкого класса методов специальных возмущений пришел к выводу, что для уравнений второго порядка, по-видимому, оптимальной комбинацией является метод восьмого порядка Гаусса—Джексона, примененный к уравнениям Коуэлла (в случае необходимости с аналитической стабилизацией шага). Херрик [15] также считал метод Гаусса—Джексона (по-другому называемый гауссовой формулой или процедурой вторых сумм ) наиболее подходящим. Для того чтобы стала понятной используемая терминология, ниже мы проиллюстрируем некоторые основные идеи теории конечных разностей, которые используются при численном интегрировании. [c.252]

Ранее уже упоминалось, что одним из лучншх методов численного интегрирования уравнений второго порядка, чаще всего встречающихся в задачах орбитального движения, является метод Гаусса—Джексона. Если придерживаться введенных выше обозначений, то для двукратного интегрирования используется формула [c.258]

В теории численного интегрирования известно много способов определения интегралов, тем не менее применительно к методу конечных элементов и к задачам апостериорной обработки (вычисление интегралов) метод Гаусса имеет преимущества при интегрировании на элементах, так как он требует меньше вычислений и обеспечивает высокую точность, а метод Ньютона Котеса лучше для вычисления криволинейных интегралов, где применение эквидистантных координат упрощает расчеты, чего нет в методе Гаусса Напомним, наконец, что для п точек на одномерном сегменте метод Ньютона-Котеса имеет порядок (и — 1), тогда как метод Гаусса-(2и — 1) [c.87]

Это одноточечная формула Гаусса на квадрате и она точна для полиномов = 1, X, у,ху. Тем не менее она не определена-, для пробной функции о = ху численное интегрирование выражения дает нуль. Если положить = - или —1 в шахматном порядке на всем множестве узлов в й, то в результате получим высокую частоту осцилляции (простое кручение с наименьшей длиной волньг2Л, допускаемой сеткой), численная энергия которой равна нулю. Это находит отражение в дискретном приближении лапласиана, возникающего из правила средней [c.221]

Основная проверка определенности состоит в обнаружении пробных функций, которые при численном интегрировании теряют всю свою энергию деформации. Практически это выясняется из ранга матрицы жесткости элемента если единственное нулевое собственное значение появляется от перемещений твердого тела, то квадратурная формула правильна. Если еще есть нулевые собственные значения, то квадратурная формула может все же быть приемлемой надо проверить, можно ли собрать полиномы, грешащие на отдельных элементах, в пробную функцию обладающую слишком малой энергией на всей области (как в случае кручения, описанного выше). Например, четырехтЬчечная формула Гаусса (2X2) не удовлетворяет нашему условию устойчивости для биквадратичных функций с девятью параметрами. Для гауссовых узлов ( , ) на квадрате с центром в начале координат функция (л — 1 ) ( 2 — 2 имеет нулевую энергию деформации этот шаблон можно передвигать и тогда трудности будут на всей области. (Матрица К на самом деле может не быть вырожденной, если эта схема не отвечает краевым условиям (скажем, и = 0) задачи. В этом случае можно рискнуть и испытать такую четырехточечную формулу интегрирования, даже если К намного ближе к вырождению, чем позволено теорией.) [c.222]

При вьиислении некоторых коэффищ1ентов, реализуемых двойными интегралами (2.24) и (2.25) по площади полосок или колец, встречаются особенности подынтегральных выражений. Для вычисления интегралов узловая точка окружалась эллипсом и область, охватываемая им, исключалась из промежутка интегрирования, что соответствовало вычислению интегралов в смысле главного значения. Численными экспериментами были установлены следующие значения полуосей эллипсов, необходимые для вычисления с заданной точностью =0,005д = = 0,0057г z = (0,0025 - 0,005)й. Интегралы вычислялись методом Гаусса. Время расчета определялось в основном временем расчета матричных элементов. [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...