Численное дифференцирование и интегрирование

Применение графического и численного дифференцирования и интегрирования [c.109]

Численное дифференцирование и интегрирование [c.304]

Рис. 8.3. Численное дифференцирование и интегрирование.

В небесной механике и динамике космического полета широко применяются численные методы, получившие особенно интенсивное развитие благодаря внедрению ЭВМ. Основные из этих методов интерполирование и приближенное представление функций, численное дифференцирование и интегрирование, численное решение дифференциальных уравнений, обработка результатов наблюдений по методу наименьших квадратов и др. [c.635]

Численным дифференцированием и интегрированием называются операции по нахождению производных и определенных интегралов от функции при условии использования только таблицы ее значений, которая или задается (если мы имеем дело с табличной функцией) или может быть вычислена. [c.655]

Методы численного дифференцирования и интегрирования основаны на приближенном представлении функций с помощью или интерполяционных полиномов или других аппроксимирующих формул, рассмотренных в гл. 1. Литература по этому вопросу весьма обширна (см. библиографию в [9], [16]). Мы ограничимся в этой главе основными результатами, представляющими наибольший практический интерес. [c.655]

ГЛ. 2. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [c.657]

Численны.м методам посвящена обширная литература многие математики, такие, как Ньютон, Гаусс, Лагранж, Бессель, Стирлинг и др., разработали изящные методы интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования, решения дифференциальных уравнений, аппроксимации данных и т. д. [c.258]

Если при проектировании или исследовании механизма задана или определена функция положения или одна из передаточных функций механизма, то другие зависимости могут быП) найдены методами дифференцирования и интегрирования, в том числе численного или граф Ического, [c.65]

Если одна из кинематических функций задана или определена в форме графика или в виде таблицы значений, то найти производную или интеграл от этой функции непосредственно в аналитической форме нельзя. В этом случае эффективными являются численные и графические методы дифференцирования и интегрирования. [c.109]

Дифференцирование и интегрирование. При численном дифференцировании таблицы экспериментальных данных возможность получения приемлемых результатов часто ограничена, так как последние очень чувствительны к погрешностям эксперимента. Удовлетворительные результаты в этом случае могут быть получены лишь после выполнения каким-либо, способом операции сглаживания результатов эксперимента, например, графическим путем или с помощью их аппроксимации методом наименьших квадратов-функцией с относительно небольшим числом свободных параметров (п< Ы). Последний способ удобен еще и потому, что позволяет проводить дифференцирование полученной функции аналитически. [c.100]

Само по себе граничное интегральное уравнение является формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, и погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксимаций возникают только на границах и рядом с ними из-за невозможности выполнить численное интегрирование в замкнутой форме. Если процедура численного интегрирования сделана достаточно сложной (при использовании, например, криволинейных граничных элементов и непрерывно изменяющихся распределений функций на границе), то привносимые таким образом погрешности могут быть действительно очень малыми. Конечно же, численное интегрирование всегда представляет собой более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование, и ни прямой, ни непрямой МГЭ не требуют никакого дифференцирования численных величин. [c.19]

Представление функций. Функцию часто представляют при помощи аналитического выражения через одну или более независимых переменных, о которых можно предположить, что они непрерывным образом изменяются в некотором интервале численных значений (бесконечном или конечном). Такая формула явным образом предписывает систему математических операций над этими переменными, при помощи которых эта функция определяется для любых частных значений переменных. Исчисление бесконечно малых занимается дифференцированием и интегрированием такого рода выражении. Другой формой задания функций является табличная форма, в которой численные значения функции заданы для некоторых определенных значений независимой переменной (или переменных). Значения независимой переменной, если имеется только одна, обычно записываются в столбец, и рядом с каждым из них располагается соответствующее значение этой функции. Такое наглядное представление называется таблицей. Независимая переменная называется аргументом. Аргумент обычно, но не всегда задается на равных интервалах разность между двумя последовательными аргументами, взятая независимо от знака, называется табличным интервалом, интервалом аргумента или просто интервалом. Когда имеются две независимые переменные, то значения одной из них (называемой вертикальным аргументом) можно написать вдоль левого поля страницы, а другой (горизонтального аргумента)—поперек страницы вверху тогда значения функции образуют прямоугольную таблицу, известную под названием таблицы с двумя входами. Таблицы с одной независимой переменной называются таблицами с одним входом. [c.120]

Ясно, что при известных выражениях для кинетической энергии (1.162), потенциальной энергии (1.163) и составляющих обобщенных сил Qj определение с помощью численного дифференцирования величин д(Т — - П)/ )эквивалентно определению правых частей уравнений (1.165) в форме, пригодной для численного интегрирования системы (1.165). [c.69]

Все методы определения кинетических параметров можно разделить на две большие группы. К первой относятся дифференциальные методы, при выводе которых проводится логарифмирование дифференциального уравнения (11-12). Скорость реакции определяется при этом посредством графического или численного дифференцирования кривых термогравиметрического анализа. Методы второй группы основаны на интегрировании уравнения (11-12) при тех или иных упрощающих предположениях и допущениях и требуют либо обработки полученных данных по методу проб и ошибок, либо проведения нескольких опытов с различными скоростями нагрева. [c.347]

Численное дифференцирование 304 Численное интегрирование 212, 304 Численное решение уравнений 125 Числовые ряды — Сходимость и расходимость 149, 159 [c.591]

Это соотношение может быть рассмотрено как нелинейная неявная разностная схема, которая включает новое неизвестное Р, и поэтому дол) (на решаться совместно с исходным уравнением (В.1.2), что делает ее прямую реализацию нерациональной. На основе приближенного представления выражения (В.1.13) можно получить самые различные-разностные схемы. Так, при P=Pf получаем явную разностную схему Эйлера (В.1.11). Методы построения других явных разностных схем на базе различных формул численного интегрирования соотношения (В.1.12) рассмотрены, например, в книге Н.С. Бахвалова [35]. Положим в выражении (В.1.13) J(X P),P) -/(АГ(,), P/+i) и используем следующую формулу численного дифференцирования [c.16]

Вначале рассмотрены основные методы численного анализа интерполирование, численное интегрирование и дифференцирование. решение линейных и нелинейных уравнений и систем, решение начальных и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти сведения позволят изучать материал последующих глав, не обращаясь к дополнительной литературе. [c.3]

Мгновенное же значение Мд в этом случае может быть получено только после установления зависимости между (О1 и ф путем численного интегрирования дифференцированного уравнения, полученного из уравнения изменения кинетической энергии, написанного в дифференцированной форме (см. подробнее п. 29), [c.163]

Более точные результаты получаются, если вместо графического интегрирования и дифференцирования пользоваться способами численного интегрирования и дифференцирования. [c.432]

Использование стандартных библиотечных подпрограмм, входящих в математическое обеспечение серийно выпускаемых машин. Стандартные подпрограммы служат для вычисления элементарных функций, рё-шения алгебраических и дифференциальных уравнений различных типов, численного интегрирования и дифференцирования. [c.803]

Библиотека математических функций MATLAB — набор самых разнообразных функций, включающий элементарные и специальные математические функции, логические функции, операции с комплексными числами, функции вычислений с матрицами и др. Она основное ядро системы, которое предоставляет пользователю инструменты для выполнения широкого круга математических вычислений, в том числе вычислений с действительными и комплексными числами операций с матрицами, массивами данных, алгебраическими полиномами вычислений ранга, числа обусловленности, сингулярного и спектрального разложений матрицы, функций от матрицы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений численного и символьного дифференцирования и интегрирования решения обыкно- [c.207]

Расскажите об использовании в курсовом проекте методов численного и графического дифференцирования и интегрирования функций. Покажите свюь между масштабами (или масштабными коэффициентами) при графическом дифференцировании и интегрировании. [c.333]

Общераспространенные таблицы логарифмов ц тригонометрических функций снабжены настолько малым табличныл интервалом, что интерполирование выполняется очень легко этот процесс известен как линейное интерполирование. Такая подробная табуляция не всегда осуществима даже для часто используемых таблиц, и поэтому необходимо иметь более общие методы интерполирования, чем линейный метод, применимые в тех случаях, когда линейное интерполирование привело бы к неточным результатам. Полезно также уметь дифференцировать и интегрировать функции, выраженные в табличной форме, особенна интегрировать такие функции, которые нельзя проинтегрировать аналитически или для которых аналитическое разложение пotpeбoвaлo бы много труда. Эти три операции —интерполирование, численное дифференцирование и численное интегрирование — составляют исчисление конечных разностей. [c.121]

Для упрощения в (7.44) не учитываются члены, связанные с генерацией и потерей атомов примеси. Как дифференцирование в (7.6) или (7.14), так и интегрирование в (7.45) выполняется с помощью численных аппроксимаций. В частности, поток рассчитьгоается путем замены (7.6) или (7.14) уравнением в конечных разностях при интегрировании для расчета считается, что концентрация С- во всем элементе постоянна и равна концентрации в центральной точке элемента. Получающиеся при этом дискретные уравнения приведены в приложении к данной главе. [c.213]

Операторные функции, реализуюпще базовые алгоритмы численного интегрирования и дифференцирования [c.44]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Аналитические вычисления. Наряду с огромными возможностями для численного анализа задач физики совр. компьютерные системы предоставляют физикам-теорети-кам широкий спектр программных систем аналитич. вычислений (САВ), см. (3—6], позволяющих аналитически выполнять такие операции, как дифференцирование, интегрирование, решение систем ур-ний, упрощение выражений (приведение подобных членов, подстановку вместо символа или выражения др. выражения и т. д.). В итоге результат вычисления представляет собой нек-рое аналитич. выражение, напр, ф-цию с явной зависимостью от её аргументов. САВ являются мощным (и практически единственным) инструментом решения задач, требующих непомерно больших затрат ручного труда при их аналитич, решении (напр., задача обращения матрицы достаточно высокого порядка, элементы к-рой являются символами или алгебраич. выражениями), или задач, очень чувствительных к потере точности при их численном решении (напр., задача анализа устойчивости плазмы в установке типа токамак, сводящаяся к условию существования нуля нек-рой ф-ции в заданной области, положение к-рого очень [c.482]

Задача о влиянии сил сухого трения на процесс прямого регулирования возникла в связи с так называемой ошибкой И. А. Вышнеградского. Как известно, Вышнеградский рассмотрел задачу о прямом регулировании, пренебрегая сухим трением по сравнению с вязким, которое он считал необходимым дополнительно вводить с помощью специального устройства. Тезис Вышнеградского о необходимости вязкого трения для обеспечения устойчивости процесса прямого регулирования встретил возражения. При этом высказывались соображения, что и сухое трение может обеспечить устойчивость, что Вышнеградский не преднамеренно им пренебрег, а упустил его в результате неправильного дифференцирования. Первые-попытки исправления ошибки натолкнулись на значительные трудности, которые не удавалось преодолеть существующими тогда методами исследования. Численные методы интегрирования и графоаналитические методы исследования, используемые в работах К. Э. Рериха, Л. Лекорню, Я. И. Грдины, Р. Мизеса, Н.Е. Жуковского и др., не позволили получить-сколько-нибудь полное решение вопроса. [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...