К численного интегрирования Рунге—Кутта

Управляемые движения манипулятора определялись путем численного интегрирования уравнений динамики (5.1) при заданных управляющих моментах. В качестве схемы интегрирования был принят метод Рунге-Кутта. Было проведено три серии экспериментов, относящихся к исследованию неадаптивных законов программного управления, описанных в п. 5.1, и адаптивных законов контурного и позиционного управления, предложенных в и. 5.2. В качестве алгоритмов адаптации использовались и моделировались дискретные локально оптимальные конечно-сходя- щиеся алгоритмы, рассмотренные в п. 3.6 и 3.7. [c.144]

Численные методы Эйлера, Рунге — Кутта, Адамса, дающие приближенное решение в виде таблиц, без оценки точности на ЭЦВМ, используют процедуру формирования системы следующее число раз один, четыре, три — в начале счета и один — при последующих расчетах. Процесс оценки точности на ЭЦВМ увеличивает число обращений к блоку формирования в три раза, а если возникает необходимость в итеративном методе счета, то количество обращения доходит до десятков раз. Приближенная аналитическая оценка точности затруднена. Поэтому необходимо для правильного выбора шага интегрирования, хотя бы в выборочных точках, проверять точность. [c.64]

Существуют широко известные методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений типа Адамса, Рунге—Кутта и др. Однако они мало пригодны для интегрирования систем высокого порядка, так как, будучи условно устойчивыми, требуют тем не менее выполнения большого числа арифметических операций на каждом шаге. В связи с этим применительно к матричному уравнению вида(10.32) разработано несколько специальных процедур здесь будут рассмотрены две из них. [c.375]

Численное интегрирование (метод Рунге — Кутта). Для нахождения точек интегральной кривой, проходящей через (х , у ), берут Л = приращение аргумента и определяют величины ку, к , кд, /г, по форму.там [c.48]

В ходе расчетов, выполненных [17—19, 21, 23, 24, 30] для слоистых оболочек вращения важных частных классов (цилиндрических, конических и др.) с использованием разработанных в настоящей монографии неклассических уравнений, выявлено, что спектральный радиус матрицы Якоби правой части системы дифференциальных уравнений (7.2.21), (7.2.28) и спектральный радиус матрицы коэффициентов первоначальной системы уравнений изгиба — величины одного порядка. Спектр матрицы Якоби характеризуется большим разбросом и, что существенно, весь лежит в левой комплексной полуплоскости. Такие системы дифференциальных уравнений относятся к классу жестких (в смысле определения [131, 256, 283]). Их устойчивое численное решение классическими явными методами Рунге — Кутта, Адамса и др. [41] возможно лишь при существенном ограничении на шаг интегрирования h [c.203]

Метод численного интегрирования дифференциальных уравнений (1.3) Рунге — Кутта широко применяется и обеспечивает высокую точность [21]. Суть метода сводится к следующему. Допустим, что для участка малой протяженности ( — независимая переменная — ) известна матрица Г . Последовательно вычисляем величины а также значения Г и (< 7/ 5) в точках с координатами при /= 1, 2, 3, 4 по формулам [c.58]

Концентрации изотопов, рассчитанные с помощью уравнений выгорания, влияют на нейтронный поток в реакторе, как видно из уравнений переноса нейтронов. Предположим тем не менее, что поток нейтронов рассчитан на момент времени I и остается неизменным в течение некоторого промежутка времени Л/. Тогда коэффициенты дифференциальных уравнений для всех изотопов известны и постоянны во временном интервале от / до / + Л/. Такая система уравнений выгорания может быть решена стандартными методами численного интегрирования, например методом Рунге—Кутта [391, т. е. можно найти все Ыг в момент времени t + At. Пересчитав поток нейтронов для известных к моменту / + Л/ концентраций изотопов, можно продолжить расчет концентраций на момент времени I + 2Л/ и т, д. [c.445]

Этот вывод подтверждался численным интегрированием системы (9), которое проводилось следующим образом. Решалась задача Коши при у = 0. Инвариантность величин Е п О. контролировалась в процессе счета. Отметим, что наличие в системе регулярных сил приводит к постоянному увеличению частот возникающих колебаний мод соответствующих уровней. Поэтому при интегрировании методом Рунге —Кутта с заданной точностью (автоматический выбор шага) это приводит к очень большому времени вычислений, чего удается избежать при решении задачи с начальными условиями.Можно также задать внешние силы случайными, например, выбрав их распределения вероятности в виде белого шума. [c.215]

На сегодняшний день не существует абсолютно устойчивых численных методов интегрирования, приемлемых для решения прикладных инженерных задач. Применение методов Рунге-Кутта расширяет область получения устойчивого решения, однако использование этих методов ведет к увеличению времени решения задач. На практике для расширения области получения устойчивого решения понижают разрешающий частотный диапазон модели (если частотный диапазон исследуемого явления лежит ниже), применяют фильтры, которые демпфируют в решении область более высоких частот. [c.151]

Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений осуществляется по методу Рунге—Кутта четвертого порядка. Обращение к соответствующей подпрограмме КК4 выполняется с помощью оператора 250. В случае сбойной ситуации управление передается на метку 8 и печатается текстовая информация СБОИ в ПР КК4 . Нормированные граничные условия (2.22) за- [c.123]

Уравнение (286) записано при условии, что константы скорости прямой и обратной реакции одинаковы и равны величине к. Это приводит к тому, что, когда система переходит в равновесие, доля релаксаторов и нерелаксаторов становится одинаковой и равной 0,5. Уравнение (286) интегр1фуется до юнца только в отдельных частных случаях, например, при и = 2. В общем случае, когда п является дробной величиной, интегрирование можно произвести только численными методами. С целью нахождения зависимости степени превращения а от времени / в работе [44] применили численный метод Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага интегрирования. По найденным значениям величин а, которые были рассчитаны при различном малом шаге по /, определялись с помощью ЭВМ значения интеграла от переменной части ядра [c.302]

Описанная процедура численного интегрирования иллюстрирует в несколько упрощенной форме метод Адамса — Штермера. в баллистике наряду с этим методом широко применяются и другие, не столь простые и наглядные, но обладающие своими достоинствами. Это — метод Рунге-Кутта, Милна и некоторые другие. Все эти методы относятся к численному интегрированию обыкнове1Шых дифференциальных уравнений вообще, а ие только уравнений движения. Во многих случаях интегрирование ведется с переменным шагом. Это бывает необходимо для участков наиболее резкого изменения функций в правых частях интегрируемых уравнений, например, при переходе скорости через скорость звука или при быстром изменении секундного расхода. Машина может автоматически выбирать шаг интегрирования в соответствии с разработанным алгоритмом, исходя из потребной точности расчета. [c.307]

Уравиение (3) численно интегрируется на машине. Для того, чтобы не отвлбкаться от существа поставленного вопроса, не будем приводить уравнения к безразмерной форме, что вообще всегда желательно, если не необходимо. Не будем также прибегать к наиболее удобному для машины методу интегрирования по Рунге — Кутта, а обратимся к простейшему интегрированию по Эйлеру. Для этого обо-выачии [c.158]

Матрицу фундаментальных решений Х( системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.2.21), удовлетворяющую начальному условию Х(0)=Е, строят путем численного интегрирования методом Рунге - Кутта. Конечный результат - матрица монодромии К=Х(7). Принадлежность рассматриваемой точки из пространства параметров к области устойчивости или асимптотической устойчивости устанавливают либо путем непосредственного вычисления мультипликаторов, либо на основании анализа норм матрихщг монодромии К и ее возрастающих положительных степеней (критерии (7.4.3) и (7.4.4) или (7.4.6)). [c.492]

Аналогичная методика может быть использована для построения приближенных решений более сложных нелинейных задач. Однако трудности вычислений возрастают настолько быстро, что при практических расчетах удается провести исследование лишь для усеченных систем низкого порядка. Для анализа нелинейных уравнений, получаемых путем замыкания по принципу квази-гауссовости, можно рекомендовать метод дифференцирования по параметру нелинейности, т. е. метод сведения к задаче Коши с последующим численным интегрированием по способу Рунге— Кутта. [c.27]

Система четырых обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (6)—(9) интегрируется численно при заданных начальных условиях, заданных начальных неправильностях и заданной ступенчатой нагрузке. В данных расчетах начальные значения перемещений и скоростей полагались равными нулю. Для начальных моментов времени интегрирование проводилось по методу Рунге—Кутта, а затем осуществлялся переход к методу прогнозирования с коррекцией по схеме шестого порядка. При этом шаг интегрирования выбирался так, чтобы обеспечить желаемую точность результатов интегрирования в каждой точке. [c.17]

Два процесса ведут к изменению интеграла столкновений. С одной стороны, в данную точку пространства приходят молекулы из других областей течения. Если L — характерный размер течения и —характерная скорость молекул, характерным временем этого процесса будет 1 = 1Ц. С другой стороны, если бы даже функция распределения была однородной по пространству, то она изменялась бы в результате столкновений молекул. Характерным временем этого процесса является время релаксации, или время между столкновениями молекул, где Л—характерная длина пробега молекул. Поэтому At должно быть меньше минимального из времен , и 02, и вычислительный процесс, определяемый формулой (14.3), практически применим лишь при не слишком малых числах Кнудсена. Процесс (14.3) аналогичен простейшему методу Эйлера численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Используя более сложные аппроксимации интеграла столкновений, легко построить аналоги более точных методов, типа, скажем, Рунге—Кутта. [c.222]

До этого к. Тёпфер решил дифференциальное уравнение Блазиуса (7.28) путем численного интегрирования по способу Рунге — Кутта. Затем Л. Хо-уарт вновь решил это уравнение, выполнив все вычисления с большой точностью. Значения /, /, /", полученные Хоуартом, даны в таблице 7.1. В этой связи упомянем также о новом методе интегрирования, указанном Д. Мексином 1 ]. [c.135]

Она для двух колец позволяет полностью исследовать относительное движение. Получение же траекторий движения .(0 и / 2(0 возможно лишь при интегрировании уравнений движения (4.27). Эти уравнения решались численно. Использовалась программа решения задачи Коши, основанная на формулах Рунге — Кутта — Фельберга четвертого порядка. Как и при исследовании относительного движения, линейные параметры будем относить к Л , а за масштаб времени примем величину Й.22/4пк . На рис. 67,а показан фрагмент участка чехарды двух колец при х I Ро 1 и С 1. На рис. 67, [c.201]

При расчетах неравновесных течений приходится проводить численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый неравновесный релаксационный процесс. Кинетические и релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старщей производной, что существенно усложняет их численное интегрирование. К числу релаксационных относятся уравнения сохранения массы химической компоненты (1.15) для определения колебательной энергии (1.16) для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках (1.18) для определения массы конденсата в течениях с конденсацией. Неравновесные течения в ряде случаев начинаются из состояния, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. Оказывается, что при использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рунге — Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможен даже при использовании современных вычислительных мащин. [c.104]

Таким образом, с помощью метода Ньютона определяются значения параметров l и С2, к которым сходится итерациопный процесс Ньютона, и по найденным значениям i и С2 находится численное решение для функции f((p) посредством интегрирования задачи Коши методом Рунге—Кутта. [c.322]

В результате численного интегрирования (2.36) методом Рунге—Кутта четвертого порядка с учетом (2.39) и последующего расчета по (2.23) были получены зависимости [5ц от нормированной ширины волновода а/к при различных значениях тангенса угла диэлектрических потерь tgAe=e"/e. Соответствующие расчетные данные показаны на рис. 2.17а для параметров 0/а = 0,7 54 [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...