Уравнения Лагранжа 1-го ряда

При соответствующем обобщении понятий, функции, аналогичные функции Лагранжа, описывают состояние других физических систем (непрерывной среды, гравитационного или электромагнитного поля и др.) Поэтому уравнения Лагранжа вида (129) играют важную роль в ряде областей физики. [c.379]

Применение уравнений Лагранжа к изучению свободных и вынужденных колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы можно найти в ряде специальных курсов . [c.344]

Область, в которой можно пользоваться линейными уравнениями, сама по себе, разумеется, не определяется этими уравнениями и зависит от старших членов соответствуюш,их разложений нелинейных функций в ряды. В этом смысле понятия малые отклонения и малые колебания условны. Слово малое в этих терминах говорит не буквально о малости самих отклонений или их областей, а скорее о малости наших знаний о границах этих областей. Во многих задачах механики оказывается, что области эти достаточно велики и покрывают полностью область отклонений, с которыми практически приходится иметь дело при любых действующих на систему внешних силах. В иных случаях, однако, оказывается, что области эти весьма ограничены, и замена нелинейных уравнений Лагранжа их линейным приближением требует в таких случаях большой осмотрительности. [c.257]

Для вывода из уравнения Лагранжа (1) линейного уравнения малых собственных колебаний следует кинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестности положения равновесия системы, где = 0. [c.392]

Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы. Для вывода из уравнения Лагранжа (1) линейного уравнения малых собственных колебаний следует кинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестности положения равновесия системы, где = 0. [c.414]

В предыдущей главе мы обращали внимание на трудности, возникающие при непосредственном при.менении к решению задач динамики системы уравнений Лагранжа первого рода. Основные теоремы динамики системы позволяют в ряде случаев непосредственно, исходя из условий задачи механики, находить первые интегралы дифференциальных уравнений движения. Иногда эти интегралы движения позволяют найти полное решение задачи. [c.40]

В-третьих, силы, действующие на систему, представлены здесь в виде обобщенных сил, куда входят только активные силы, а все реакции идеальных связей автоматически исключаются из уравнений. Этими преимуществами и объясняется широкое применение уравнений Лагранжа второго рода во всех технических науках и в ряде разделов физики. [c.793]

Показать, что уравнения Лагранжа распадаются в этом случае на ряд независимых уравнений, решение которых всегда можно свести к квадратурам. [c.70]

Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы Uij не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования, [c.124]

В первых двух главах этой книги мы всесторонне рассмотрели уравнения Лагранжа, а позднее — ряд приложений этих уравнений. В этой главе мы продолжим развитие формальных методов механики и получим уравнения движения, известные под названием уравнений Гамильтона. Правда, к физической стороне вопроса ничего не прибавится, однако мы получим новый (более сильный) метод исследования механических систем. В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваемые системы являются голономными, а действующие на них силы обладают потенциалами, зависящими от положения или от скорости (см. 1.5). [c.240]

В заключение рассмотрим в общем виде формальный математический метод, с помощью которого мы перешли от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона и, соответственно. Рауса. Допустим, что мы имеем дело с функцией Z двух переменных (или рядов переменных) х и пусть [c.299]

При выводе уравнений Лагранжа мы ограничимся случаем двух степеней свободы. Этого будет достаточно для рассмотрения ряда интересных задач, и это даст нам возможность избежать введения сложной системы обозначений. В то же время прием, при помощи которого результат можно распространить на общий случай, будет ясен. [c.278]

В 3—6, наоборот, мы будем исходить из деления сил на активные силы и реакции связей и покажем, в предположении отсутствия трения, как и в этом динамическом случае принцип виртуальной работы позволит исключить из дифференциальных уравнений движения в самом общем виде неизвестные реакции. Мы придем таким образом к классическим уравнениям Лагранжа ( 6) и посредством ряда дополнительных выводов, и конкретных примеров покажем их огромную важность как в теоретических вопросах, так и для при- ложений ( 7—9). [c.256]

Мы не ограничимся составлением функции Лагранжа для твердого тела. Наше исследование будет значительно шире, и мы получим ряд важных теорем, относящихся к перемещению и движению твердого тела. Использование некоторых из этих результатов для составления уравнений Лагранжа является лишь одним из многочисленных их приложений. [c.104]

Уравнения Лагранжа второго ряда (в независимых координатах) [c.61]

В книге даны выводы некоторых уравнений аналитической динамики в форме, доступной для инженера, например уравнений Лагранжа II рода, а также проведен ряд подробных математических выкладок, что поможет сознательному применению инженерами ряда положений и вычислительных приемов при расчете динамики машин. [c.5]

Пренебрегая весом нити и сопротивлением среды, в которой движется нить, получим уравнение движения нити, воспользовавшись уравнениями Лагранжа второго ряда. Кинетическая энергия движущегося участка нити [c.171]

Запишем уравнения движения механической системы цилиндр— нагрузка (рис. 1) в форме уравнений Лагранжа второго ряда [c.197]

Здесь 1, Й2,. . ., l, Са. . . суть постоянные величины, зависящие от конфигурации системы и ее упругих свойств. Самый общий вид колебания системы можно получить наложением ряда главных простых колебаний, соответствующих нормальным координатам ф1. Фа,.. . Чтобы найти колебания, соответствующие какой-либо координате Фг, нужно только, пользуясь выражениями (1) для живой силы и потенциальной энергии системы, составить соответствующее уравнение Лагранжа, так как выражения (1) заключают лишь квадраты величин ф1, ф2,. . ., то уравнения Лагранжа получают весьма простой вид [c.140]

В данном примере наиболее эффективным оказался третий метод, но читателю, не имеющему большого опыта в решении задач, трудно среди множества теорем и уравнений динамики остановить свой выбор на совокупности теорем о движении центра масс и уравнения динамики относительного движения. Решение подобных задач обычно сопровождается рядом неудачных попыток. Применение же уравнений Лагранжа обеспечивает эффективное составление дифференциальных уравнений движения системы. [c.564]

Теории движения неголономных систем Чаплыгин посвятил ряд статей, в которых он разбирает различные задачи о качении твердых тел. Эти статьи можно найти в первом томе собрания его сочинений Задачи, которые ставил Чаплыгин, решались им большей частью нутем приложения общих теорем динамики системы. Но в одной из статей, относящейся к 1897 г., Чаплыгин дает общие уравнения динамики неголономных систем в виде, обобщающем уравнения Лагранжа. [c.44]

Если мембранные усилия равны нулю, то первое уравнение удовлетворяется тождественно, а второе превращается в уравнение С. Жермен — Лагранжа. Наиболее оправданы эти уравнения для пологих оболочек, метрику которых можно отождествить с плоской поэтому их часто именуют уравнениями теории пологих оболочек. Эти уравнения и ряд их обобщений использовались для решения задач динамики, устойчивости, для расчета оболочек с податливым контуром. Если вспомнить, из какой громоздкой системы уравнений они получены, то теорию пологих оболочек надо оценить как одно из наиболее изящных построений механики твердого тела. Неудивительно поэтому, что эта теория привлекла столь большое число последователей. [c.256]

При изучении общих теорем динамики рассматривались лишь частные случаи систем, обладающих определенным классом возможных перемещений (поступательное, вращательное и т. д.). Для ряда механических систем эти условия общих теорем не выполняются, и последние не могут быть применимы без введения реакций связен. Метод Лагранжа позволяет изучать движение в самом общем случае. Естественно, что если за обобщенные координаты будут взяты параметры, соответствующие перемещениям, допускающим применение общих теорем, то уравнения Лагранжа будут совпадать с уравнениями, полученными из общих теорем. [c.344]

Полученные уравнения включают в себя 5 обычных уравнений Лагранжа второго ряда, содержащих силы трения, а также / соотношений для определения нормальных реакций. Законы трения замыкают систему уравнений. Покажем методику составления уравнений на примерах. [c.40]

Но на практике часто происходит процесс, обратный этому. Непрерывное сокраш ение учебного времени заставляет лектора сокра-ш,ать курс. При традиционной форме его построения значительно уменьшить количество времени, отводимого на статику и кинематику, невозможно. Приходится отказываться от изложения заключительных разделов динамики, обедняя содержание курса. Теоретическая механика действительно превращается в техническую , не представляющую для большинства специальностей серьезного интереса. В качестве примера можно заметить, что ряд программ и учебников не предусматривает изучения уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.73]

Прежде всего рассматривается задача о равновесии системы (статика системы), решение которой дается на основе принципа возможных перемещений. Вводится понятие обобщенных сил и формулируются аналитические условия равновесия. Здесь же можно кратко рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия. Далее, как обычно, рассматривается принцип Даламбера и выводятся уравнения Лагранжа 2-го рода. Тем самым указывается метод решения основных задач динамики несвободной системы. Здесь же рассматриваются некоторые другие вопросы. Две системы активных сил, приложенных к определенной системе точек, называются эквивалентными, если их обобщенные силы совпадают при каком-нибудь выборе обобщенных координат (или если они выполняют одинаковую работу на любом возможном перемещении). Это определение вытекает из того факта, что активные силы входят в уравнения движения только через обобщенные силы, вследствие чего замена системы сил ей эквивалентной не сказывается на движении. Следует иметь в виду, что две эквивалентные в указанном смысле системы сил могут вызывать, конечно, различные реакции связей. Но в ряде задач эти реакции не представляют интереса и это различие можно игнорировать. Если это не так, то с помощью принципа освобождаемости реакции связей следует перевести в разряд активных сил. [c.75]

Кроме обычных, более или менее стандартных курсов высшей математики, для этого потребуются лишь небольшие дополнения из линейной алгебры (сведения по теории матриц и квадратичных форм), дифференциальных уравнений, а также аналитической динамики (уравнения Лагранжа и Гамильтона). Впрочем, в ряде втузов эти дополнения входят в обязательные программы по математике. Программа же по устойчивости движения предполагает всего 30— 40 часов. [c.12]

В предыдущих параграфах было показано, что в квазистационарном приближении электрические уравнения движения системы с замкнутыми токами, состоящей из подвижных, электрически не связанных между собою объемных проводников, записываются в форме уравнений Лагранжа 2-го ряда. Если воспользоваться дискретным описанием (см. 3), то функция Лагранжа э, совпадающая в этом случае с магнитной энергией системы, имеет вид [c.450]

Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений Лагранжа в независимых координатах. [c.224]

Уравнения Гамильтона по сравнению с уравнениями Лагранжа имеют ряд преимунгеств. Для них разработаны методы нахождения интегралов. Формализм Гамильгона игироко применяется в квантовой и статистической механике. [c.417]

СЛИ рассматривать материальную точку, которая обладает кинетической энергией системы и находится иод действием всех обобщенных сил системы, то уравнения Лагранжа второго рода представляют собой проекции уравнений движения. этой точки а координатные линии s-мерного пр(зстранства. Такое геометрическое предс гавление движения системы материальных точек в ряде случаев является полезным при исследовании движения различных механических систем. [c.81]

В гл. V Динамика системы автор, обсуждая идеп Германа п Эйлера, развитые Лагранжем, указывает на бесплодность споров о реальности даламберовых сил инерции. Общие теоремы динамики (без реакций связей) выводятся из принципа Эйлера — Лагранжа и применяются к решению ряда интересных задач, иллюстрирующих эти теоремы. При выводе уравнений Лагранжа подчеркивается, что они справедливы лишь для голоном-пых определяющих координат, и отмечается ошибка К. Неймана. Здесь же излагается способ определения неизвестных реакций с помощью уравнений Лагранжа второго рода, который подробно иллюстрируется примерами. [c.6]

Якоби показал, что функция Я может содержать время также expli ite, не делая невозможным образование вариации и вытекающего отсюда дифференциального уравнения. Я использовал это, чтобы добавить к Я еще сумму Е(Р,. р,), в которой Pi обозначает координату, а Р,- — силу, действующую в направлении координаты р, смысл этого будет точнее разъяснен ниже. Величины Р, рассматриваются как заданные функции времени, однако независимые от координат. В этой форме теорема о минимуме вариации дает уравнения Лагранжа для сил Р,. Тем самым целый ряд специаль- [c.431]

Нетрадиционно освещается ряд тем кинематика, общие теоремы динамики, вывод уравнений Лагранжа, уравнение Гамильтона — Якоби. Часть материала выходит за рамки университетского курса элементы теории линейных и квадратичных по скоростям интегралов, применение вариационных принципов, новое доказательство теоремы Дарбу о канонических координатах. В книгу включены задачи, иллюстрирующие и дополняющие теоретический материал, даны методические указания к ним. [c.2]

Метод, предложенный Ассуром, представляет собой комбинацию аналитического исследования с помощью уравнений Лагранжа и некоторых графических построений по ходу решения задачи он строит графики зависимости живой силы механизма от угла поворота ведущего звена, потенциальной энергии механизма от угла поворота ведущего звена, а также использует планы скоростей, ускорений и аналогов ускорений. Решение Ассура не легкое. Прежде всего он составляет уравнение н ивой силы и подставляет в него выражения для скоростей, взятые из плана скоростей, построенного для закона ф = 1, ф" = 0. Вычислив ряд значений для ишвой силы при тех же условиях, которую он обозначает через F(ip), он откладывает их по ординате значения ф откладываются по абс- [c.54]

В ряде случаев для упрощения составления уравнений движения вводится число обобщенных координат, превышающее количество степеней свободы системы. Полученные при этом уравнения Лагранжа с лишними координатами и неопределенными множителями Kk (их иногда называют уравнениями Феррерса [85]) [c.13]

Уравнение Лагранжа второго ряда в обобщенных координатах для рассматриваемого случая напишется в следующем виде [c.469]

К каждому из полученных вариационных уравнений могут быть приложены прямые методы приближенного их решения, сводящие граничную задачу теории оболочек к решению системы алгебраических уравнений. Наиболее распространенным из них является метод Ритца. В применении, например, к вариационному уравнению Лагранжа этот метод заключается в следующем. Обобщенные смещения 1, 2> Ук Уг задаются в виде рядов [c.91]

В гл. II мы многократно выводили дифференциальные уравнения для амплитуды а и фазы г ) (амплитудно-фазовые уравнения) колебательных систем при использовании метода усреднения. Здесь изложим другой алгоритм построения амплитудно-фазовых уравнений первого приближения (вида (2.144)), не требующий предварительного написания возмущенных уравнений вида (2.133). Этот алгоритм основан на применении так называемого энергетического метода [147], хорошо известного в уравнениях математической физики. Для построения уравнений первого приближения достаточно знать некоторое выражение для работы возмущающих сил, а не сами силы, входящие в уравнения Лагранжа второго рода (2.128) или (2.133),.В ряде случаев это существенно упрощает задачу. Чтобы не загромождать суть дела большим количеством громоздких формул и выкладок, вернемся к задаче (см. 2.9) о построении приближенных решений системы (2.133), близких к одночастотпым колебаниям с медленно изменяющейся частотой (оДт). [c.171]

Наиболее общим приемом составления дифференциальных уравнений движения материальной системы, подчиненной голономным связям, является применение уравнений Лагранжа. При наличии идеальных связей в эти уравнения не входят реакции связей. Если на материальную систему наложены голономные связи, то число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Применение этих уравнений особенно целесообразно при рассмотрении систем с несколькими степенями свободы. Так, в случае системы с двумя степенями свободы надо составить два дифференциальных уравнения движения. Если решать задачу, минуя уравнения Лагранжа, то необходимо из многих общих теорем и иных уравнений динамики найти два уравнения, применение которых наиболее целесообразно. Удачно выбрать уравнения и общие теоремы можно лишь на основе значительных навыков в решении задач или путем ряда неудачных проб и ошибок. Вместе с тем применение уравнений Лагранжа дает возможность быстро и безошибочно получить необходимые дифференциальные уравнения движения. Вообще говоря, при отсутствии ясного плана решения зад7чи лучше всего использовать уравнения Лагранжа. При этом существенную роль играет удачный выбор обобщенных координат. [c.549]

Историческим примером чрезвычайно плодотворного использования подобных аналогий служит деятельность английского ученого Максвелла [4]. Воспользовавшись аналогией между явлением самоиндукции электрического тока и инерцией движущегося тела, он ввел понятие электрокинетической энергии и распространил чисто механические уравнения Лагранжа второго рода на электрические и электромехани-ческе системы. Эти уравнения, названные уравнениями Лагранжа — хМаксвелла, дали возможность сделать ряд выводов в области электродинамики и сейчас имеют немаловажное значение [5]. Их изучение невозможно без знаний теоретической механики. Поэтому вполне закономерно включение вопросов электромеханических аналогий и электромеханических систем в разделы курса теоретической механики [6]. [c.7]

Уравнения (16) приведены в книге В.Д. Мак-Миллана [2] и удобны для приложений. В ряде задач (см. например, в нижеприведенной задачеЗ) выгоднее построить две функции (я, t), С(1, Днежели вычислить кинетическую энергию абсолютного движения системы. Уравнения (14), (15) и (16) имеют довольно компактный ввд и охватывают широкий класс задач об ошосительном движении, распространенных в учебных курсах по теоретической механике. Вывод уравнений (14) или (16) можно осуществить независимо (задаваясь соответств)ао-щими предпосылками), следуя схеме вывода общих уравнений для относительного движения (4), (5), (10), (11), (13), предложенной в п. 2, 3, 4. Причем вывод уравнений (14), (16) сравнительно краток и не займет много времени, например, на лекции или на практическом занятии по теме Уравнения Лагранжа второго рода . В связи с этим уравнения (14) и (16) могут быть рекомендованы для использования в учебном процессе. [c.27]

Наиболее существенные отличительные особенности рецензируемого пособия 1) полнее, чем в имеющейся учебной литературе, освещены мировоззренческие вопросы в теоретической механике 2) введен ряд новых разделов в соответствии с тенденциями развития научно-техни-ческого прогресса, например, однородные координаты, применяемые при описании роботов-манипуляторов. что потребовало существенно перестроить раздел кинематики твердого тела основные теоремы динамики изложены не только в неподвижных, но и в подвижных (неинерциальных) системах координат в разделе Синтез движения рассмотрены вопросы сложения не только скоростей, но и ускорений. При этом получен ряд новых результатов сравнение механических измерителей углов поворота и угловых скоростей твердых тел основы виброзащиты и виброизоляции, динамические поглотители колебаний основы теории нелинейных колебаний, включающей изложение основ методов фазовой плоскости, метода малого параметра, асимптотических методов, метода ускорения 3) в методических находках, позволивших углубить содержание курса и уменьшить его объем впервые обращено внимание на то, что условия динамической уравновешенности ротора и условия отсутствия динамических реакций в опорах твердого тела при ударе — это условия осуществления свободного плоского движения твердого тела полнее и глубже развиты аналогии между статикой, кинематикой и динамикой полнее изложены электромеханические аналогии и показана эффективность применения уравнений Лагранжа-Максвелла, для составления уравнений контурных токов сложных электрических цепей получение теоремы об изменении кинетической энергии для твердого тела из соотношения между основными динамическими величинами и многие другие. [c.121]

Можно было бы в качестве примеров указать на графостатику, теорию винюв, учение о центроидах и уравнения Лагранжа с неопределенными множителями для механических систем с голономны ми связями, которые в ряде вузов излагаются достаточно подробно. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...