Координаты главные (нормальные)

Итак, рассмотрим ползучесть и разрушение тонкостенной полиэтиленовой трубы, нагруженной внутренним гидростатическим давлением р и снабженной торцовой заглушкой. Обозначим толщину стенки и внутренний диаметр трубы соответственно через S н D. Внутреннее давление вызывает в произвольной точке стенки трубы объемное напряженное состояние. В цилиндрической системе координат главные нормальные напряжения определяются по формулам [c.138]

Комбинационные частоты 321 Консервативная система ПО Координаты главные (нормальные) 275 [c.569]

Рассмотрим особую систему обобщенных координат, в которой кинетическая и потенциальная энергии системы аналитически выражаются положительно определенными квадратичными формами, приведенными к каноническому виду. Такие координаты называются нормальными, или главными. Напомним, что в аналитическом выражении, которым определяется квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, нет членов с произведениями переменных. В этом случае положительно определенная квадратичная форма является суммой квадратов. [c.242]

Рассмотрим в окрестности точки элементарный четырехгранник (рис. 167). Составляющие напряжений на координатных площадках известны. Пусть площадка AB — главная. Нормаль к ней V является главной осью. Она составляет с направлениями осей j , у, Z углы, косинусы которых соответственно обозначим, как и ранее, через /, т, п. Поскольку касательное напряжение на главной площадке отсутствует, то полное напряжение на ней направлено вдоль нормали и является главным нормальным напряжением на площадке. Обозначим его через а. Тогда проекции этого напряжения на оси координат [c.188]

Переменные 9i,. .., 9 называются нормальными или главными координатами. Формулы перехода (2) от произвольных координат к нормальным в векторной записи могут быть представлены так [c.242]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Разделимые системы встречаются главным образом в теории малых колебаний (гл. IX), когда выбранные лагранжевы координаты являются нормальными. Движение по каждой координате в этом случае совершенно не зависит от движения по другим координатам, и система фактически распадается на п независимых систем. Подобного рода полная разделимость встречается и в других задачах (см. пример в 8.11). Однако в обш ем случае в разделимых системах это не имеет места. Мы не можем изолировать одну какую-либо координату и изучать ее изменение, как для системы с одной степенью свободы. Тем не менее при изучении любой разделимой системы можно в известном смысле приблизиться к подобному идеальному разделению. Как станет далее ясно, изменение одной координаты можно в определенной степени рассматривать независимо от поведения других координат. Смысл этогО пока не очень четкого утверждения станет ясен несколько позже (в 17.3). [c.303]

Элементы векторов h, = (A,i,..A ,), определяемые из (3.17) с точностью до произвольного общего множителя, представляют собой амплитуды отклонений обобщенных координат от равновесного состояния системы при свободных колебаниях с частотами кг. Определив собственные формы системы, можно перейти к главным (нормальным) обобщенным координатам Wi,..., г с помощью линейного преобразования [c.46]

Координаты Yy, в которых кинетическая энергия системы выражается в виде суммы квадратов обобщенных скоростей, а потенциальная энергия — в виде канонической квадратичной формы обобщенных координат, Называются нормальными координатами. Матрица v преобразования (5.29) является частным случаем модальной матрицы г, а нормальные координаты — частным видом главных координат. [c.159]

Проводят взаимно-перпендикулярные оси а и т и наносят точки А и В, координаты которых равны напряжениям, действующим на главных площадках ffj и 0а. На отрезке ВА, как на диаметре, строят окружность с центром Oi Любая точка D окружности имеет две координаты, равные нормальному и касательному напряжениям а и т [c.9]

Из тела, находящегося в условиях сложного напряженного состояния, вырежем элемент материала так, чтобы одна из его граней была свободна от касательных напряжений (рис. 4.4а). Эта грань (площадка), по определению, является главной, а нормальное напряжение на ней есть главное нормальное напряжение. Свяжем с выделенным элементом прямоугольную систему координат X, у, г, ориентируя ось z перпендикулярно двум другим граням с напряжениями (Ту, Тху = Ту (рис. 4.4а). [c.97]

Использование главных нормальных координат. Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях в диссипативных системах с конечным числом степеней свободы может быть получено при введении главных нормальных координат [c.108]

Главные нормальные напряжения. В главной системе координат Па, т] , т]а тензора напряжений, которая является прямоугольной декартовой, его матрица согласно (1.75) имеет диагональный вид [c.119]

Схемы главных нормальных напряжений. Они дают наглядное представление о напряженном состоянии в точке в главных осях Т . По граням главного куба изображают в выбранном масштабе главные нормальные напряжения (рис. 36). Всего схем главных нормальных напряжений девять. Схемы JIi и Ла соответствуют линейному напряженному состоянию. Схемы П1, Па, Пз соответствуют плоскому напряженному состоянию. При этом одно из главных нормальных напряжений равно нулю. При выборе произвольной системы координат х, у, z ось z направляют по одной из главных осей так, чтобы a z 0. Тогда матрица (IV.4) принимает вид [c.119]

Осесимметричное напряженно-деформированное состояние. В этом случае можно выбрать цилиндрическую систему координат г, а, г (рис. 3), в которой существенными аргументами искомых функций будут только координаты г, Z и а угловая координата а несущ,ественна. В площадках а отсутствуют касательные напряжения, а является главным нормальным напряжением. Матрица напряжений имеет вид (IV. 16). Решение задачи будет инвариантным относительно поворотов на любой угол вокруг оси z. Например, осесимметричным является напряженно-деформированное состояние в очаге деформации при волочении круглой проволоки или прессовании круглых прутков. [c.244]

По аналогии с напрял ением можно найти семейство ортогональных осей координат или нормальных к ним плоскостей, вдоль которых не действуют деформации сдвига. Можно показать, что в изотропном теле главные оси напряжений и деформаций совпадают, т. е. элемент, ориентированный вдоль одной из главных осей напряжений, подвержен только простому растяжению или сжатию в соответствии с растягивающими или сжимающими главными напряжениями. Справедливо и обратное утверждение с заменой компонент напряжений соответствующими компонентами деформаций. [c.24]

Если Р, Q будут главными нормальными напряжениями, направления которых составляют угол <р с осями координат, то при помощи формулы 2.10 получаем [c.512]

Для удобства сравнения с некоторыми приведенными дальше опытными данными были вычислены величины суммы и разности главных нормальных напряжений для точек вдоль осей координат по формулам, полученным из вышеприведенных после некоторых упрощений. [c.526]

Для расчета напряжений и деформаций осесимметричных деталей при гибке, вытяжке, отбортовке, обжиме и раздаче Е. А. Поповым [92] установлены общие уравнения равновесия. Для этого рассматривается уравнение равновесия в полярных координатах с учетом влияния сил трения элемента (рис. 48), выделенного в участке очага деформации, имеющего постоянную кривизну в меридиональном сечении. Принято, что толщина заготовки постоянна и значительно меньше радиусов кривизны в меридиональном (радиальном) Rp и широтном (окружном) Rq сечениях меридиональные напряжения Ор и широтные напряжения Oq равномерно распределены по толщине заготовки и являются главными нормальными напряжениями. [c.107]

Распределение напряжений по толщине заготовки можно найти из совместного решения дифференциальных уравнений равновесия и уравнения пластичности. В рассматриваемом случае, учитывая постоянство кривизны по всей длине изгибаемой заготовки (по углу), для анализа поля напряжений используем полярную систему координат с полюсом, совпадающим с центром кривизны заготовки в данный момент деформирования. При этом следует учесть, что при изгибе моментом, ввиду отсутствия перерезывающих сил, касательные напряжения Тдр отсутствуют и напряжения Од и Ор являются главными нормальными напряжениями. Уравнение равновесия (рис. 53) получит вид [c.117]

Проводятся взаимно перпендикулярные оси и и наносятся точки Л и 5, координаты которых равны напряжениям, действующим на главных площадках и о,. На отрезке БА, как на диаметре, строится окружность с центром О,. Любая точка V окружности имеет две координаты, равные нормальному и касательному напряжениям и на наклонной площадке О, нормаль к которой образует с направлением угол ср. Угол (р получается между осью и прямой, соединяющей левую точку В круга с точкой О. Если элемент, в котором рассматриваются напряжения, вычерчен так, что большее (с учетом знака) главное напряжение о, параллельно оси то прямая ВО будет параллельна нормали п к площадке, проведенной в элементе, на которой напряжения и равны координатам точки О. Отрезок ОО дает величину полного напряжения на площадке с наклоном =р. [c.10]

С другой стороны, из геометрии известно, что если взять начало координат в точке касания, а оси Ох и Оу в касательной плоскости, направив их по главным нормальным сечениям, то уравнение всякой поверхности вблизи точки касания представится в виде [c.101]

При изменении наклона граней параллелепипеда по отношению к осям координат будет изменяться величина как нормальных, так и касательных напряжений, В каждой точке тела существуют три такие взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения на которых равны нулю. Эти площадки называются главными. Действующие по этим площадкам нормальные напряжения называются главными- нормальными напряжениями, а их направления — главными направлениями (или главными осями) Б рассматриваемой точке. Главные напряжения обозначаются [c.14]

Возьмем систему прямоугольных координат с осями о и х (фиг. 4,6). Положительную ось о направим вправо. Отложим на оси с отрезки Оа и ОЬ, равные по величине главным нормальным напряжениям ai и ag. Построим на отрезке аЬ как на диаметре круг с центром с. Для нахождения нормального о и касательного х напряжения на площадке, нормаль к которой составляет с наибольшим главным напряжением 01 угол а, построим при точке с центральный угол 2а, откладывая его положительные значения от оси а против часовой стрелки. Получим асе = 2а координаты точки е — Ок я ке — соответственно равны Од и Ха. Докажем это. [c.20]

Если систему координат хуг вместе с рассматриваемым элементом повернуть в пространстве вокруг точки А до какого-то нового положения х у г , напряжения получат новые значения. В теории упругости доказывается, что путем такого вращения можно найти положение элемента, при котором касательные напряжения по его граням исчезнут. Оси координат, соответствующие этому положению элемента, обозначим I, 2, 3 я будем называть главными осями напряженного состояния-, площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения,— главными площадками, а действующие по ним нормальные напряжения Ор — главными нормальными [c.80]

В рассматриваемом случае, учитывая постоянство кривизны заготовки по углу, для анализа поля напряжений целесообразно принять полярную систему координат. При этом следует учесть, что при изгибе моментом, ввиду отсутствия перерезывающих сил, напряжения Ор и Од являются главными нормальными напряжениями. Для этого случая уравнение равновесия имеет вид [c.82]

В уравнение (236) включены элементарные работы, соответствующие перемещению пуансона на бесконечно малую величину йк. Найдем величины отдельных составляющих, входящих в равенство (236). Следует отметить, что вытяжка с утонением стенки обычно осуществляется с хорошей смазкой, обеспечивающей значение коэффициента трения р, < 0,1, поэтому касательные напряжения т, действующие в очаге деформации в радиальном и тангенциальном направлениях, сравнительно малы и траектории главных нормальных напряжений незначительно отличаются от дуг окружностей и радиусов, проведенных из точки пересечения образующих пуансона и матрицы, что делает целесообразным использование полярной системы координат. При определении работ принимаем, что размер, перпендикулярный к плоскости чертежа (см. рис. 75), равен единице. [c.203]

Через каждую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, на которые действуют главные нормальные напря>кения. Следовательно, значения главных напряжений должны быть одними и теми же независимо от выбора исходной системы координат, в которой были определены компоненты тензора напряжений. Это означает, что коэффициенты /j, 1 и /3 кубического уравнения не меняют своего значения при изменении системы координат. Отсюда можно сделать вывод, что указанные коэффициенты являются соответственно первым (/j), вторым (I ) и третьим I3) инвариантами тензора напряжений по отношению к повороту координатных осей. [c.15]

Неравенства (8.65) в плоскости 012 в осях главных нормальных напряжений ограничивают область, заключенную внутри шестиугольника AB DEF (рис. 8.14), при этом точки А, ,D F отстоят от начала координат на расстоянии [0]. Через напряжения 0 , Оу, Тд.у в произвольных осях Оху согласно формуле (6.14) условия (8.65) запишутся в виде [c.165]

Нормальные координаты. Главные колебания и главные ча-стоты. После этого отступления обратимся, как в п. 4, к голоном-ной системе Sen степенями свободы, находящейся под действием консервативных сил с потенциалом U, и рассмотрим конфигурацию С устойчивого равновесия, предполагая, что действительный мак-симум функции t/ в С будет общего типа, т. е. о его существовании можно судить на основании рассмотрения местных значений одних только вторых производных функций и. [c.368]

Выбранные указанным способом координаты называются нормальными или главными. В соответствии с (3.28) свободные колебания, отвечающие одной нормальной координате т) , являются моногармоническими с частотой При этом очевидно, что для исследования вынужденных, колебаний могут быть использованы все прие-мы, изложенные выше для одномассовых мо- —I— iy=x-Yq делей. m L-J [c.87]

Использование главных нормальных координат. Основной идеей введения главных нормальных координат является представление двим ения в виде разложения по формам собственных колебаний, С математической точки зрения введение главных нормальных координат заключается в преобразовании переменных, приводящем одновременно к главным осям матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов. Следствием этого является расчленение исходной системы на отдельные, независимые уравнения. [c.107]

Динамические податливости и динамическле жесткости систем со слабой диссипацией обладают некоторыми общими свойствами, для рассмотрения которых целесообразно перейти от обобщенных координат системы д к главным (нормальным) координатам 8 с помощью преобразования (см. п. 1 гл, VI) [c.223]

Геометрическая интерпретация. В пространстве главных нормальных напряжений уравнения (IX.2) определяют правильную шестигранную призму, осью которой является гидростатическая ось 01 = 02 = 03, а каждая грань параллельна одной из координатных осей и равнонаклонена к двум другим (рис. 82). Поскольку возникновение пластических деформаций определяется не величиной главных нормальных напряжений, а их разностью, длина призмы не ограничена. В соответствии с условием текучести при линейном напряженном состоянии = о, призма отсекает на осях координат отрезки, равные Кривая текучести на девиаторной плоскости — правильный шестиугольник со стороной, равной 01 sin ar os sin 54° 44 = о,, [c.194]

Соприкасание поверхностей. Рассматриваются два тела, ограниченные выпуклыми поверхностями Si, 5г и соприкасающиеся в точке О. Принимая эту точку за начало систем координат, проведем оси zu Zs, перпендикулярные к общей касательной плоскости П поверхностей Si, S2 в точке О, внутрь каждого из тел. Оси хх,у[), (хг, У2) систем 0x]Z/,2i, ОхгУг г, связанных с первым и соответственно со вторым телом, направим в плоскости П по главным нормальным сечениям поверхностей Si, S2. Уравнения поверхностей Si, S2 в этих системах осей в окрестности точки соприкасания О представляются в виде [c.324]

Главные нормальные напряжения являются естественной физической характеристикой напряженного состояния в точке. Можно, однако, столь же естественно характеризовать напряженное состояние в точке другим способом, более тесно связанным с физическим состоянием окрестности точки. Положим, что направления главных осей 1,2,3 нам известны. Отложим от начала координат (совпадающего с рассматриваемой точкой) равные отрезки на всех полуосях, а затем в каждом октанте проведем через каждые три из полученных точек, лежащие на осях разных номеров, плоскости. Получим октаэдр, грани которого одинаково накло-г-иены к главным осям (рис. 19), так что направляющие косинусы нор- [c.36]

Если оси координат взяты параллельно глазным осям поверхности напряжения, то коэффициенты при произведениях координат в (2.103) должны равняться нулю. Касательные напряжения по площадкам, параллельным координатным плоскостям, равны таким образом нулю, и грани шестигранника, ребра которого параллельны координатным осям, испытывают только нормальные напряжения. Линии, проведенные через Р парал1е1ьно глазным осям пэзерхности напряжения, называются главными осями напряжения в точке Я кривая, направление которой во всякой точке напряженного тела совпадает с одной из главных осей напряжения в этой точке, называется траекторией главного нормального напряжения. Траектории главных нормальных напряжений образуют тройную систему взаимно ортогональных линий. [c.96]

Проводятся взаимно перпендикулярные оси о и х и наносятся точки А к В, координаты которых равны напряжениям, действующим по главным площадкам А и В. На отрезке АВ, как на диамэтре, проводится окружность с центром С. Любая точка О окружности имеет две координаты, равные нормальному и касательному напряжениям и по наклонной площадке В, нормаль к которой образует с направлением угол ср. Угол ср получается между осью а и прямой, соединяющей левую точку В круга с точкой О. Если элемент, в котором рассматриваются напряжения, вычерчен так, что большее (с учётом знака) главное напряжение а, параллельно оси а, то прямая ВО будет параллельна нормали п к площадке, проведённой в элементе, по которой напряжения и равны координатам точки О. Отрезок 00 даёт величину и направление полного напряжения по площадке с наклоном ср. [c.13]

Гипотеза Мора о существовании огибающей больших главных кругов напряжений (теория наибольшего касательного напряжения или теория Геста) представляет большие трудности для математической формулировки условия пластичности в общем случае напряженного состояния. Эти трудности были устранены Р. Мпзо-сом ) и Г. Генки ), которые включили в условие пластичност. также промежуточное главное нормальное напряжение. Вспомним, что условие пластичности /i (з , Зд, Зд) = О можно представить 1Ю-верхностью в прямоугольной системе координат з , 3g, Зд. Очевидно, теорип пластичности, основанные на условиях скольже-яия —теория Мора, теория наибольшего касательного напряжения и теория Геста, которые используют гипотезу о то.м, что величина [c.258]

Теоретически зависимость напряжение — деформация резины для ее высокоэластического состояния основана на положении, что равновесное деформированное состояние определяется высокоэластической составляющей и что упругой энергетической составляющей деформации можно пренебречь. Выражая деформацию через составляющие ее компоненты, соответствующие главным нормальным напряжением, можно подобрать координаты, в которых изменение напряжения от деформации носит линейный характер. В таких координатах константа материала не зависит от деформации. В первом приближении в качестве такой константы можно принять-равнОвесный высокоэластический модуль Ео продольной упругости резины. Показано [21], что пропорциональность между напряжением и деформацией в соответствующих координатах и в ограниченных, но практически достаточных пределах деформации с достаточным приближением может быть принята для статической и-динамической деформаций, но с разными в каждом конкретном случае модулями упругости материала, которые зависят от режима деформации и температуры. В частности, для статической деформации каждому моменту времени и величине напряжения в режиме е = onst будет соответствовать свое значение модуля упругости, изменяющееся от величины о — мгновенного модуля, определяющего упругие свойства резины в начальный период деформации, до Еоо. Промежуточные значения соответствуют или условно-равновесному состоянию (условно-равновесный модуль упругости), или состоянию при любом времени наблюдения (статический модуль упругости Е ) [c.15]

Обозначим через а1, и о"з главные нормальные напряжения, направленные вдоль осей координат. В плоскостях, составляющих угол 45° с гранями элемента, действуют макси.мальпые касательные напряжения г у, и т.,, в обозначениях которых используются индексы соответствующих плоскостей [c.466]

Выделим в теле малый материальный элемент в виде тетраэдра ОаЬс (рис. 8, б), ограниченный произвольной плоскостью ab и тремя координатными плоскостями /, 2 и 3. Из теории пластичности известно, что в любой точке деформируемого тела имеется три взаимно перпендикулярные плоскости 1, 2, 3, на которых действуют нормальные и отсутствуют касательные напряжения [71. В связи с этим на площадках ab , Оас и ОаЬ действуют только нормальные напряжения Tj, Og. Эти напряжения называются главными нормальными напряжениями, а направления осей 1, 2 м. 3 — главными направлениями. Положение плоскости ab зададим углами а,, а. между нормалью к плоскости аЪс и координатными осями. По правилу параллелепипеда полное напряжение S разложим на компоненты по осям координат [c.19]

В этом случае обыкновенно земная поверхность принимается за поверхность эллипсоида, в основу изображения кладется сетка меридианов и параллелей (нормальная сетка) с географич. координатами — широтой ср и долготой А, причем меридианы изображаются в виде прямых, исходящих из одной точки, параллели же — в виде дуг концентрич. окружностей с центром в точке пересечения меридианов, главные направления совпадают с меридианами и параллелями. В косых и поперечных конич. проекциях земная поверхность (обыкновенно) принимается за поверхность шара, в основу изображения кро.ме исходной сетки меридианов и параллелей кладется дополнительная сетка новой системы координат, подобная нормальной, но с слов-ными экватором и полюсом и новыми координатами — заменяющей широту (р и заменяющей долготу X. Изображение дополнительной сетки аналогично нормальной, прямых проекций, т. е. линии, заменяющие меридианы, имеют вид прямых, пересекающихся в одной точке заменяющие параллели имеют вид дуг концентрич. окружностей с центром в точке пересечения меридианов, при этом главные направления совпадают с линиями новой сетки. Прямые конические проекции наиболее удобны для территорий со средними вгиротами, растянутыми по параллелям они применялись и применяются при составлении многих карт средних и укрупненных масштабов. [c.541]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...