Квадратичная канонический вид

Первые пять замечаний позволяют в некоторых важных случаях сразу указать главные или даже главные центральные оси инерции. В общем случае для нахождения главных осей инерции надо по обычным правилам линейной алгебры привести квадратичную форму (29) к каноническому виду (к главным осям). [c.184]

Рассмотрим особую систему обобщенных координат, в которой кинетическая и потенциальная энергии системы аналитически выражаются положительно определенными квадратичными формами, приведенными к каноническому виду. Такие координаты называются нормальными, или главными. Напомним, что в аналитическом выражении, которым определяется квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, нет членов с произведениями переменных. В этом случае положительно определенная квадратичная форма является суммой квадратов. [c.242]

Одну квадратичную форму можно множеством способов привести к каноническому виду, применяя метод выделения квадратов. В нормальной системе координат две квадратичные фор- [c.242]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Таким образом, величина ki принимает экстремальные значения в тех случаях, когда нормальные сечения совпадают с направлениями осей 1 и аг, для которых вторая квадратичная форма имеет канонический вид, и эти направления ортогональны. Напра- [c.421]

Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Начнем с повторения следующей теоремы из алгебры ). Пусть даны две квадратичные формы с п переменными [c.367]

Так как речь идет о хорошо известной теореме, не бесполезно напомнить ее доказательство. Представим себе, что вместо первоначальных переменных г подставлены те их линейные комбинации х, которые мы назвали нор-.чальными координатами (пп. 13, 14) и в которых обе квадратичные формы принимают канонический вид [c.376]

Чтобы одновременно определить нормальные координаты н главные частоты, достаточно совместно привести к каноническому виду две квадратичные формы Т и и (п. 13). Не прибегая к общему правилу, которое потребовало бы решения уравнения третьей степени, мы придем к цели путем двух последовательных линейных преобразований, которые приведут от 0 toj, к некоторым трем новым нормальным координатам т , С (в широком смысле, определенном в п. 13). [c.410]

Квадратичные формы, приведение к каноническому виду 367 Кеплер 183, 199 [c.428]

Приведем квадратичную форму для Tst к каноническому виду (см. п. 2.2) [c.129]

Квадратичную форму для кинетической энергии сателлитов в относительном движении, используя уравнения связей (4.68), нетрудно привести к каноническому виду [c.146]

Приведем квадратичную форму для Tst к каноническому виду [c.110]

Под действием внешних усилий метрика оболочки изменяется, что находит свое выражение в том, что первая квадратичная форма утрачивает канонический вид (2.7) и принимает общий вид [c.86]

Найденное при решении выписанной системы преобразование приводит квадратичную форму поверхности к каноническому виду (5.105). Поскольку при этом выполняется условие (5.103)i, можно утверждать, что линии т являются геодезическими, линии же г] , будучи ортогональными к геодезическим, являются геодезическими окружностями. Таким образом, построенная система координат действительно является полярной. [c.271]

Мы докажем важное предложение подходящим выбором новых осей координат ) Ох[, Ох[, Ох всякая квадратичная форма 2 2 может быть приведена к каноническому виду [c.642]

Введение главных координат равносильно одновременному приведению двух квадратичных форм Т и и к каноническому виду. Действительно, Т и и в случае произвольных независимых координат задаются с помощью двух симметричных матриц [c.275]

Оси системы 8, жестко связанные с твердым телом, всегда можно выбрать так, чтобы все центробежные моменты инерции обратились в нуль. Действительно, часть кинетической энергии является положительно определенной квадратичной формой проекций вектора о) с вещественными симметричными коэффициентами /ар (см. (8.27)). И поэтому некоторым преобразованием координат ее всегда можно привести к каноническому виду [c.351]

Общей процедурой отыскания главных осей инерции является известный алгебраический процесс приведения квадратичной формы к каноническому виду. Наиболее просто диагонализация осуществляется в тех случаях, когда тело обладает симметрией в распределении масс, или, как говорят, материальной, сим-мет р и е й. [c.351]

Нормальные координаты обладают еще одним важным свойством квадратичные формы (43.4), (43.6) для потенциальной и кинетической энергии системы в нормальных координатах приводятся к каноническому виду, т. е. к суммам квадратов новых обобщенных координат 0а и скоростей 0 . Но прежде чем обратиться к доказательству этого утверждения, покажем, что имеют место следующие равенства [c.241]

Наиболее общий метод нахождения решения задачи, независимый от наличия или отсутствия у системы вырожденных частот, основан на приведении квадратичных форм (43.4) и (43.6) к каноническому виду с помощью последовательного введения нормальных координат (или одновременного приведения к диагональному виду матриц кинематических т у и динамических кц коэффициентов). [c.243]

Пример 43.1. Найта собственные частоты системы с двумя степенями свободы путем приведения к каноническому виду квадратичных форм (43.4) и (43.6). [c.243]

Заметим наконец, что параллельно с приведением тензора инерции к виду (50.10) квадратичная форма (50.3) для кинетической энергии вращательного движения твердого тела приводится к каноническому виду [c.287]

Из условия невырожденности этого тензора следует, что Х также невырожденная квадратичная форма, н поэтому ее можно привести к каноническому виду >) [c.171]

Для конечномерных представлений простых алгебр Ли ряд. в (1.39), естественно, обрывается после приведения возникающей квадратичной формы < > (во всех порядках по числу образующих S i) к каноническому виду полное число членов в (1.39) равно размерности г-го фундаментального представления. Окончательное выражение для решений (III. 1.10) представимо в виде [c.153]

Приводя эту квадратичную форму к каноническому виду, замечаем, что она неотрицательна тогда и только тогда, когда [c.134]

С помощью преобразования Лежандра можно перейти к уравнениям Гамильтона с квадратичным гамильтонианом и затем воспользоваться теорией инвариантных соотношений из 8. Однако здесь проще действовать непосредственно, не переходя к каноническому виду уравнений (9.1). [c.96]

Из алгебры известно, что всякую квадратичную форму с постоянными коэффициентами можно привести к каноническому виду, т. е. в каждой выбранной точке можно найти такие координаты х ,х , что квадратичная форма (4.22) запишется в виде суммы квадратов [c.59]

Можно указать главные оси тензора скоростей деформаций в любой данный момент времени ив любой точке О среды. Величины бц б2, бз называются главными компонентами тензора скоростей деформаций. Для нахождения главных осей тензора скоростей деформаций следует привести к каноническому виду квадратичную форму Ф х , х ) (7.7). Очевидно, >0 соответствует растяжению, а < О — сжатию вдоль -й оси. [c.103]

На основании сказанного выше можно утверждать, что существует такое линейное неособое преобразование координат д1 = (х), которое одновременно приводит две квадратичные формы Т (д) и и (д) к каноническому виду ) [c.457]

К каноническому виду могут быть приведены одновременно две квадратичные функции, поэтому функция Рэлея будет иметь вид [c.468]

Исследование любой поверхности Д и) будет приведено к каноническому виду, если определены ее первые две основные квадратичные формы и Ф2.д(и)- [c.62]

Исследование сферического отображения (35) поверхности Д детали приводится к каноническому виду в результате определения его первых двух основных квадратичных форм. [c.405]

Таким образом, одним преобразованием координат и скоростей квадратичные формы (89.11) могут бьп ь приведены в новых переменных 0 к каноническому виду [c.311]

Если матрица А симметрична, а ее собственные векторы ортонор-мированы, то 8 = 8 . Это дает возможность привести квадратичную форму (х, Ах) к каноническому виду [c.117]

Здесь Ьц, bi2, Ъц, й], 2 не зависят от выбора нормального сечения I, а зависят лишь от координат той точки, через которую проведено нормальное сечение. В то же время эти величины зависят от выбора направлений координатных линий, проходяш,их через данную точку. На поверхности суш,ествуют два взаимно ортогональных направления Tj, To, для которых k принимает соответственно минимальное min и максимальное йтах значения. Из курса математики известно, что любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду, который содержит лишь квадраты переменных. Это приведение эквивалентно преобразованию одних ортогональных координат в другие ортогональные координаты, в которых квадратичная форма обретает канонический вид. Пусть координатные оси aj и совмеш,ены с теми ортогональными осями, в которых упомянутая вторая квадратичная форма приводится к каноническому виду, т. е. в этих осях = О и [c.421]

Если одна из двуд квадратичных форм определенно положительна, то некоторым линейным преобразованием обе формы всегда. можно привести к каноническому виду [49, гл. 8, 37] при этом матрицы преобразуются к диагональным матрицам [c.276]

Приведением квадратичной формы V к каноническому виду по методу Якоби А. Д. Г0рбу110в (1950) и Б. С. Разумихин (1957) из неравенства (12.1) вывели оценку [c.63]

Класс симметризуемых систем, обобщающих аффинноинвариантные свойства канонического триплета,— класс 5-систем, был определен в 1 гл. 5. Регулярная квадратично-нелинейная 0-система, для которой построенная по 0-симметризатору 5 квадратичная форма в (д ) (матрица 0 обратна матрице 25) пропорциональна форме В х) = = 2 1(Л ) (д ) (Л = (5. ,/5д у) — матрица устойчивости), называется 5-системой. Представляет интерес выяснение вопроса о существовании -систем с трехмерным фазовым пространством, отличных от канонического триплета. Ниже изложено полное решение этого вопроса, основанное на вещественной классификации тернарных кубических форм. Другой метод исследования 5-систем в изложен в работе [199]. Кубическая характеристическая функция данной 0-системы Р (х , х , х ), согласно А. Пуанкаре [208], приводится невырожденным вещественным линейным преобразованием переменных х , х,) к одному из следующих канонических видов [c.280]

Квадратичную форму Ф = -g- eijx x поворотом осей координат можно привести к каноническому виду [c.105]

Так как, согласно теореме жнерцин квадратичных форм, число положительных и отрицательных коэффициентов в квадратичной форме, приведенной с помощью вещественного линейного невырожденного преобразования к каноническому виду, гге зависит от выбора этого преобразования и среди множества таких преобразований, как уже отмечалось, существует такое, которое приводит [c.94]

Действительно, в теории квадратичных форм есть замечательная теорема, в которой доказывается, что если имеются две вещественные квадратичные формы от одних и тех же переменных, из которых одна знако-определенная, то существует линейное неособое преобразование, которое приводит одновременно обе формы к каноническому виду [6]. [c.458]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...