Нормальные (главные) колебания координаты

Координаты 1, I2, In называются главными или нормальными координатами колебательной системы колебание, при котором изменяется лишь одна главная координата, а остальные все время равны нулю, называется главным колебанием. Мы говорим, что в главном колебании соответствующая главная координата возбуждена, а остальные координаты находятся в покое. Как видно из формулы (9.1.14), в г-ж главном колебании координата изменяется по гармоническому закону с периодом 2п рг- Всего имеется п таких периодов, не обязательно различных их называют собственными периодами или периодами свободных колебаний системы. Периоды свободных колебаний являются инвариантами системы и не зависят от лагранжевых координат, выбранных первоначально для описания системы. Главное колебание с наибольшим периодом и, стало быть, с наименьшей частотой, т. е. колебание с наименьшим р, называется основным колебанием. Поскольку q зависят от I линейно, любое колебание может быть представлено как суперпозиция главных колебаний. [c.142]

Из равенств (II. 189) или (И. 193) видно, что каждая нормальная координата определяет главное колебание. Поэтому нормальные координаты иногда называют главными. [c.245]

Посмотрим теперь, как изменяются главные колебания консервативных систем под действием малых диссипативных сил ). Введем нормальные координаты 6 , в . В этих координатах [c.265]

Это решение описывает колебание системы, которое называют к-м главным или нормальным колебанием. Вектор Uk называют амплитудным вектором к-го главного колебания. В к-м главном колебании все обобщенные координаты совершают гармонические колебания с одной и той же частотой j/., отношение амплитуд колебаний отдельных обобщенных координат определяется отношением соответствующих компонент амплитудных векторов. [c.504]

Обобщенные координаты системы, которые описывают несвязанные свободные колебания, называют нормальными (главными) координатами. Нормальными координатами широко пользуются как при качественном описании колебательных процессов, так и в прикладных вибрационных расчетах. Формула (38), связывающая произвольно выбранные и нормальные обобщенные координаты, в развернутом виде записывается так [c.61]

Таким образом, совокупность дифференциальных уравнений колебаний механической системы с н степенями свободы в нормальных координатах распадается на я не связанных между собой уравнений, каждое из которых описывает одно из главных колебаний. [c.323]

Каждое такое уравнение представляет собой простое гармоническое колебание [ 33], которому соответствует изменение лишь одной из главных координат. При этом колебании все точки колеблющейся системы будут в каждый момент находиться в одной фазе. В один и тот же момент все они будут проходить через свое среднее положение и также одновременно будут достигать наибольших отклонений. Колебания эти будем называть главными или нормальными. Из них, как мы видим, складывается самое общее колебание системы. Периоды главных колебаний определяются величинами коэффициентов. .. [c.320]

Заключенный в скобки множитель представляет собой нормальную координату фг. Первый множитель, зависящий от х, является соответствующей нормальной функцией. В самом общем случае колебание нашей системы получается сложением главных колебаний (d), и мы можем написать [c.326]

Что представляет собой система с двумя степенями свободы С помощью каких величин описывается их движение 2. Какое положение называется устойчивым положением равновесия и каковы его условия 3. Какие колебания называются собственными колебаниями системы 4. Каковы дифференциальные уравнения колебаний системы с одной и двумя степенями свободы 5. Что представляют собой главные колебания системы 6. Как определяются частоты главных колебаний 7. Как определяются нормальные координаты [c.160]

Из приведенного доказательства следует, что переход к нормальным координатам не сокращает вычисления по сравнению с решением исходных дифференциальных уравнений (уравнение для определения Х совпадает с уравнением частот, а уравнения (20.87) совпадают с уравнениями (20.61), служащими для определения форм главных колебаний). Поэтому нормальные координаты имеют главным образом теоретическое значение для доказательства различных положений. [c.494]

Таким образом, когда система совершает одно из главных своих колебаний, то изменяется (и притом гармонически) только одна координата, прочие координаты остаются равными нулю. Каждая из координат р1, Р2, , Рк оказывается приуроченной к определенному главному колебанию системы. Эти координаты получают название главных или нормальных координат системы. [c.458]

На примере двух задач приведем нестандартный способ анализа малых колебаний, основанный на свойствах нормальных координат и соответствующих им главных колебаний. [c.313]

Нормальные координаты и главные колебания [c.119]

НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ГЛАВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. Как известно, две квадратичные формы, из которых одна положитель-но-определенная, одним линейным преобразованием могут быть приведены к каноническому виду. В частности, построив надлежащим образом линейное преобразование [c.119]

Колебания системы, определяемые изменением только одной нормальной координаты, называются главными колебаниями. Система с п степенями свободы в общем случае может совершать п независимых гармонических главных колебаний, каждому из которых соответствует определенное значение частоты В обычных условиях при колебаниях системы изменяются все ее нормальные координаты и тогда [c.121]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Разделимые системы встречаются главным образом в теории малых колебаний (гл. IX), когда выбранные лагранжевы координаты являются нормальными. Движение по каждой координате в этом случае совершенно не зависит от движения по другим координатам, и система фактически распадается на п независимых систем. Подобного рода полная разделимость встречается и в других задачах (см. пример в 8.11). Однако в обш ем случае в разделимых системах это не имеет места. Мы не можем изолировать одну какую-либо координату и изучать ее изменение, как для системы с одной степенью свободы. Тем не менее при изучении любой разделимой системы можно в известном смысле приблизиться к подобному идеальному разделению. Как станет далее ясно, изменение одной координаты можно в определенной степени рассматривать независимо от поведения других координат. Смысл этогО пока не очень четкого утверждения станет ясен несколько позже (в 17.3). [c.303]

Элементы векторов h, = (A,i,..A ,), определяемые из (3.17) с точностью до произвольного общего множителя, представляют собой амплитуды отклонений обобщенных координат от равновесного состояния системы при свободных колебаниях с частотами кг. Определив собственные формы системы, можно перейти к главным (нормальным) обобщенным координатам Wi,..., г с помощью линейного преобразования [c.46]

Оба значения частоты по формуле (73) действительны и положительны. Если > = 0, то и т = 0. В этом случае координаты 2 и 0 становятся независимыми (нормальными), и главными видами колебаний будут чистое подпрыгивание и чистая продольная качка. Условие Ь = 0 показывает, что колебания могут быть независимыми только в случае совпадения центра тяжести с центром колебаний. [c.390]

Использование главных нормальных координат. Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях в диссипативных системах с конечным числом степеней свободы может быть получено при введении главных нормальных координат [c.108]

Анализ движения объекта удобно производить в главных или нормальных координатах [12], вектор V которых в случае малых колебаний связан с вектором исходных обобщенных координат соотношением [c.284]

Как видно из выражения (162), за обобщенную координату следует принять прогиб балки и. Согласно выражению (2.143), первое приближение решения, соответствующего одночастотным колебаниям, близким к первому нормальному колебанию, для случая главного резонанса ( oi v(x)) имеет вид [c.177]

Здесь 1, Й2,. . ., l, Са. . . суть постоянные величины, зависящие от конфигурации системы и ее упругих свойств. Самый общий вид колебания системы можно получить наложением ряда главных простых колебаний, соответствующих нормальным координатам ф1. Фа,.. . Чтобы найти колебания, соответствующие какой-либо координате Фг, нужно только, пользуясь выражениями (1) для живой силы и потенциальной энергии системы, составить соответствующее уравнение Лагранжа, так как выражения (1) заключают лишь квадраты величин ф1, ф2,. . ., то уравнения Лагранжа получают весьма простой вид [c.140]

Воспользуемся нормальными координатами при изучении вынужденных колебаний. Для этого составим выражения кинетической и потенциальной энергии системы. Выражения эти не будут содержать членов с произведениями координат и соответствующих им скоростей, так как взятые координаты являются главными координатами системы. [c.326]

Х (х1) и ф ,(л 1) —нормальные (или главные) формы изгиб-ных и крутильных колебаний, зависящие только от координаты Х. [c.328]

Средние за период колебаний сила нормальной реакции среды на пластину и главный момент сил давления относительно начала координат определяются выражениями [c.180]

Из-за наличия гироскопических членов хц—х//) 4/система уравнений (1.15) не может быть преобразована к виду (1.12) с помощью введения новых координат. Однако, как показал Уиттекер, это может быть выполнено при помощи контактного преобразования. Поэтому главное свойство колебаний около положения равновесия сохраняется и в системе с гироскопическими силами, а именно всякое колебание можно рассматривать как результат суперпозиции гармонических нормальных колебаний. [c.254]

Из общего рещения (6.47) следует, что в-качестве независимых координат можно взять величины 0 (а=1, 5). Действительно, это рещение определяет линейное преобразование от координат 0 к координатам Координаты 0 называются главными или нормальными) координатами. Соответственно гармонические колебания с собственными частотами системы называются главными или нормальными) колебаниями. Очевидно, что координаты 0 удовлетворяют уравнениям [c.275]

Если Ь = О, то и m = 0. В этом случае координаты Z и 0 становятся независимыми (нормальными), и главными видами колебаний будут чистое подпрыгивание и чистая продольная качка, рассмотренные в предыдущем разделе. [c.188]

Поэтому величины 0 можно рассматривать как новые обобщенные координаты системы. Эти координаты называют нормальными (или главными), а описываемые ими гармонические колебания — нормальными колебаниями системы. Нормальные координаты -мерной системы, определяемые соотношениями (43,21), удовлетво- [c.240]

Нормальные координаты. Главные колебания и главные ча-стоты. После этого отступления обратимся, как в п. 4, к голоном-ной системе Sen степенями свободы, находящейся под действием консервативных сил с потенциалом U, и рассмотрим конфигурацию С устойчивого равновесия, предполагая, что действительный мак-симум функции t/ в С будет общего типа, т. е. о его существовании можно судить на основании рассмотрения местных значений одних только вторых производных функций и. [c.368]

Для модели 11ч других многомассных моделей с постоянными параметрами при достаточно сложном виде кинематических возмущений и внешних сил целесообразно осуществить переход к нормальным (главным) координатам (см. справочник т. 1). На этапе перехода к нормальным координатам диссипативные силы из-за их малого влияния на собственные частоты и формы колебаний могут быть опущены и учтены позже соответствующими членами дифференциальных уравнений. [c.85]

Уравнения (V) и уг) независимы друг от друга, так что новые координаты ф1 к фд являются главными координатами нашей системы. Мм нилям, что если известны нормальные формы колебаний, то известны и главные координаты. [c.191]

Выбранные указанным способом координаты называются нормальными или главными. В соответствии с (3.28) свободные колебания, отвечающие одной нормальной координате т) , являются моногармоническими с частотой При этом очевидно, что для исследования вынужденных, колебаний могут быть использованы все прие-мы, изложенные выше для одномассовых мо- —I— iy=x-Yq делей. m L-J [c.87]

Использование главных нормальных координат. Основной идеей введения главных нормальных координат является представление двим ения в виде разложения по формам собственных колебаний, С математической точки зрения введение главных нормальных координат заключается в преобразовании переменных, приводящем одновременно к главным осям матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов. Следствием этого является расчленение исходной системы на отдельные, независимые уравнения. [c.107]

Главный вклад Рэлея в нашу науку содержится в его книге Теория звука ( Tie theory of sound ) ), В первом томе этой замечательной книги исследуются колебания струн, стержней, мембран, пластинок и оболочек. Автор демонстрирует те преимущества, которые может извлечь инженер из применения понятий обобщенных сил и обобгценных координат. Введение этих понятий и использование теоремы взаимности Бетти—Рэлея внесло большое упрощение в расчеты статически неопределимых систем. Труд этот охватывает не только собственно звуковые колебания, но и колебания не акустические. Автор обращает внимание на те удобства, которые может представить применение нормальных координат, и показывает, каким образом, приравнивая скорости нулю, можно извлекать решения для статических задач из исследования колебаний. Таким путем он находит прогибы для стержней, пластинок и оболочек, выражая их через нормальные функции эта методика приобрела в технике большое значение. [c.404]

Необходимо прибавить, что определение главных координат 204 зависит от первоначального вида и V — и поэтому нахо> дится в зависимости от значения w, которое входит как множитель в Tq. Система данных там уравнений не особенно подходит к раз решению вопроса о том, как зависят характер и частоты соответствующих нормальных колебаний от значения о). Пункт, достойный быть отмеченным, который там был пропущен, заключается в том, что некоторые циркуляшюнные движения, которые при отсутствии вращения имели бы бесконечно длинные периоды, благодаря всякому хотя и малому вращению, превращаются в колебательные движения периоды которых сравнимы с периодами вращения ср. 212, 223 [c.397]

Результаты 311а, 312 показывают, что при более медленных нормальных колебаниях движение воздуха происходит главным образом в горизонтальном направлении. Мы рассмотрим теперь случай атмосферы с постоянной температурой, которая окружает невращающийся шар и подчиняется закону изотермического расширения тогда уравнение (13) 313 в полярных координатах г, д, <р принимает вид [c.697]

Вопрос несколько упрющается, когда коэфициенты вязкости оказываются малыми, так как в этом случае нормальные колебания происходят почти в точности в том виде, как и при отсутствии трения. Так, например, из уравнений (15) получается, что существует свободное колебание такого типа, при котором изменяется главным образом одна координата, скажем тогда г-ое уравнение приводится к виду [c.711]

Надрессорное строение паровоза представляет собой систему с несколькими степенями свободы. Диференциальные уравнения колебаний такой системы, число которых равно числу степеней свободы, должны решаться совместно и их ренгение определяет главные виды колебаний и их частоты. Но такое решение сложно (см. стр. 188). Приближённые решения могут быть получены, если предположить, что главными видами колебаний будут а) подпрыгивание, б) продольная качка и в) поперечная качка. В каждом из этих видов положение системы, определяемое одной (так называемой нормальной) координатой, и паровоз рассматриваются как система с одной степенью свободы.При этом предполагается,что продольная и поперечная качки совершаются вокруг осей, проходящих через так называемый центр колебаний. Центром колебаний является точка, обладающая тем свойством, что приложенная в ней сила вызывает только параллельное смещение надрессорного строения паровоза без вращения. [c.187]

Если для системы со многими степенями свободы в качестве обобщенных координат использовать главные формы колебаний уравнения движения без демпфирования становятся несвязанными В этих координатах каждое уравнение можно решать как уравне ние, записанное для системы только с одной степенью свободы Этот подход, известный как метод нормальных форм при динами ческих исследованиях, обсуждается в данной главе и применяется к задачам, представляющим общий интерес. Сначала рассматриваются системы без демпфировсишя, а в последних частях обсуждаются специальные вопросы, относящиеся к системам с демпфированием. [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...