Уравнение Бернулли Лагранжа

Для получения информации о силах, действующих на мерную шайбу, используется уравнение сохранения количества движения применительно к мерной шайбе. С учетом введенных допущений уравнение сводится к известному уравнению Бернулли. Такой же результат дает применение второго закона Ньютона в системе Лагранжа. [c.238]

Так как в этом уравнении,— писал Лагранж, говоря о решении Д. Бернулли,— каждый член соответствует, так сказать, движению каждой точки струны, то следовало бы сначала дать общее решение проблемы колебаний струны, предполагая, что струна нагружена неопределенно большим числом тел,.. [c.269]

Отметим, что уравнение Бернулли в виде (3.54) было получено выше как один частный вывод из интеграла Лагранжа (3.496). Однако между уравнениями Бернулли (3.496) и (3.54) имеет место существенное различие. Интеграл Лагранжа в частном виде [как уравнение [c.88]

Уравнение ( .13) чаще называется интегралом Коши — Лагранжа, уравнение Бернулли получается из него при 61)161 — 4. — Прим. ред. [c.20]

В этом случае мы не можем применять интеграл Лагранжа—Бернулли, так как поток не потенциальный. Казалось бы нужно обратиться к интегралу Бернулли. Однако и его мы использовать не можем, так как на различных линиях тока внутри вихря константа уравнения Бернулли различна и нам неизвестна, уравнениям Эйлера. Так как движение массовыми силами мы пренебрегаем. [c.108]

Точные методы интегрирования уравнения (2.64) хорошо разрабо-таны в классических трудах Д Аламбера, Бернулли, Эйлера и Лагранжа. [c.49]

Это равенство называется интегралом Бернулли. Если уравнение (2.23) описывает установившееся движение для всего потенциального потока, то уравнение (2.26) — только движение жидкости вдоль определенной линии тока. Значит, интеграл Бернулли является частным случаем интеграла Лагранжа лишь при рассмотрении безвихревого движения вдоль фиксированной линии тока. [c.85]

Исторически первой задачей такого рода бьша возникшая и исследованная в трудах Я. Бернулли, Л. Эйлера, ЖЛ. Лагранжа задача деформирования гибких стержней (задача эластики), являющая пример геометрически нелинейной задачи, (годящейся к краевой задаче для нелинейного дифференциального уравнения [c.7]

Решение этого уравнения определяет форму упругой линии балки. Но так как оно нелинейно, то его аналитическое решение может быть получено только для некоторых частных случаев изгиба балок постоянной жесткости, которые были исследованы еш е Я. Бернулли, Л. Эйлером, С. Якоби, Ж. Лагранжем. И даже для этих случаев решение связано с преодолением значительных математических трудностей. [c.217]

В изложении Лагранжа есть одна обмолвка и одна ошибка. Лагранж замечает, что одна и та же система способна совершать столько различных про-поо стых колебаний, сколько она содержит движуш ихся тел Это — повторе-ние ошибочного утверждения Д. Бернулли, но у Лагранжа эго, конечно, только небрежность формулировки, потому что весь его анализ показывает, что число простых колебаний равно числу независимых переменных, т. е. числу степеней свободы системы. Ошибочным же оказалось утверждение Лагранжа, что уравнение для определения к (уравнение частот ) не может иметь равные ( вещественные и положительные ) корни, так как тогда время t, возрастающее до бесконечности , уже не будет всегда находиться под знаком синуса или косинуса (верно то, что уравнение частот может иметь равные корни, но из-за этого в решении время не выйдет из-под знака периодических функций). [c.266]

Мы говорили выше о замене упругого континуума при анализе его колебаний дискретной системой материальных точек. Но это дополнялось последующим переходом от дискретной системы материальных точек к континууму. Такой переход систематически применялся Д. Бернулли и, вслед за ним, другими исследователями этой эпохи (Эйлер, Лагранж). Но это не был переход от системы обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнению в частных производных — предельный переход осуществлялся, так сказать, не в уравнениях движения, а в их интегралах. Например, в решении для дискретной системы, заменявшей струну, от случая п точек, когда [c.266]

Я приступил к решению этой задачи, анализ которой казался мне сам по себе новым и интересным, так как одновременно надо решать уравнения, число которых не является определенным. К счастью, метод, которым я воспользовался, дал мне формулы не слишком сложные, если учесть большое число операций, которые пришлось проделать. Я рассматриваю эти формулы сначала в том случае, когда число движущихся тел конечно, и я легко получаЮ всю теорию смешения простых и правильных колебаний, которую г-н Даниил Бернулли нашел только с помощью частных и косвенных примеров. Я перехожу к случаю бесконечного числа движущихся тел, и, показав недостаточность предыдущей теории в этом случае я извлекаю из моих формул то же построение для решения проблемы колеблющихся струн, которое дал г-н Эйлер и которое так энергично оспаривалось г-ном Даламбером В последнем замечании Лагранж имеет в виду графическое построение Эйлера, которое [c.268]

Развитие аналитического направления в механике получило наиболее яркое выражение в работах знаменитого французского математика и механика Лагранжа (1736—1813). В его сочинении Аналитическая механика (1788) вся механика изложена строго аналитически на основе единого общего принципа — принципа возможных перемещений (указанного Иваном Бернулли еще в 1717 г.). Лагранжу принадлежат дальнейшее развитие п. математическая разработка методов применения этого принципа к решению задач механики. При этом Лагранж не ограничился применением этого принципа только в статике объединив принцип возможных перемещений с принципом Даламбера, он получил в общем виде дифференциальные уравнения движения [c.20]

Установившееся движение и движение с потенциалом скоростей. Теоремы Бернулли и Лагранжа. Даниил Бернулли дал один интеграл дифференциальных уравнений движения жидкости для случая так называемого установившегося движения жидкости. Установившимся движением называется такое при котором скорости частиц жидкости в одной и той же точке пространства не меняются со временем. [c.699]

Гидродинамики несжимаемой невязкой жидкости 351 Уравнения несжимаемой невязкой жидкости (351). Интегралы уравнения несжимаемой невязкой жидкости (353). Интеграл Лагранжа (354). Интегралы Громеки (354). Интегралы Бернулли (354). Движение невязких баротропных жидкостей (357). Первая теорема Лагранжа (358). Вторая теорема Лагранжа (358). Теорема об изменении кинетической энергии (359). Безвихревые движения (360). Физический смысл функции потенциала скорости (361). Интеграл уравнения движения (362). Плоские безвихревые потоки (363). Теорема Жуковского (367). [c.9]

Так как при выводе интеграла (49) на с1х, йу, йг мы не налагали ограничений, то постоянная в уравнении (50) будет универсальной. Интеграл Лагранжа в форме (50) будет совпадать с интегралом Бернулли (33), полученным для безвихревого стационарного движения идеальной жидкости. Интеграл Бернулли (32), полученный интегрированием уравнений Эйлера вдоль линии тока, отличается от интеграла Лагранжа, так как постоянная в интеграле (32) может быть различной для разных линий тока. Движение жидкости, при котором постоянная в интеграле Бернулли универсальна для всех линий тока, есть потенциальное движение. Пользуясь уравнениями (48), можно доказать очень важную теорему Лагранжа если для движущейся жидкости при действии сил, имеющих потенциальную функцию, в какой-нибудь момент времени существует потенциал скоростей, то течение будет потенциальным во все время движения. В самом деле, уравнения (48) можно записать в следующей форме [c.280]

Переходя к интегрированию полученного уравнения, заметим, что поскольку йх, йу, йг являются элементарными перемещениями вдоль линии тока, следовательно, и интегрирование уравнения будет происходить вдоль линии тот. А это означает, что получаемая в результате интегрирования константа будет иметь постоянное значение только вдоль данной линии тока, в то время как в предыдущем интеграле Лагранжа—Бернулли константа имела постоянное значение для всей массы л идкости. [c.92]

В XVII—XVIII вв. трудами ряда крупнейших ученых математиков и механиков (Эйлер, Бернулли, Лагранж) были установлены основные законы и получены исходные уравнения гидромеханики. Эти исследования носили главным образом теоретический характер и, включая ряд допущений в отношении физических свойств жидкости, давали больше качественную, а не количественную оценку явлений, значительно расходясь иногда с данными опыта, который до недавнего времени не играл в гидромеханике значительной роли. Естественно, что гидромеханика не могла удовлетворить многочисленным запросам практики, особенно возросшим в XIX в. в связи с бурным ростом техники, требовавшей немедленного, конкретного решения различных чисто инженерных задач. Это и явилось причиной развития особой прикладной науки, созданной в XVIII—XIX вв. трудами Шези, Дарси, Буссинеска, Вейсбаха, Н. Е. Жуковского и многих других ученых и инженеров, которую в настоящее время называют гидравликой. [c.6]

Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли, в случае безвихревого движения служит для выражения давления р через кинематические элементы ф, F и координаты, от которых зависит П. Выражая через проекции grad ф на оси декартовых координат, будем иметь [c.164]

Условия потенциальности движения. Основываясь на уравнениях Бернулли (18.3) и (18.4), легко показать, что уравнения движения жидкости значительно упрощаются, если предположить, что движение безвихревое. Обычно для обоснования этого предположения пользуются теоремой Коши — Лагранжа (п. 17), которая утверждает, что баротропное движение идеа. 1ЬНой жидкости является безвихревым, если каждая частица жидкости первоначально нахо- [c.60]

Следует отчетливо уяснить различие рассмотренных уравнений Громека и Бернулли. Оба они выведены для вихревого (непотенциального) течелия, однако первое уравнение отражает факт посто- -янства полной энергии единицы массы газа во всей области, где вихревые линии и линии тока совпадают, а второе уравнение устанавливает закономерность, в соответствии с которой постоянство этой энергии имеет место вдоль данной линии тока или вихревой линии. В соответствии с этим в уравнении Громека константа будет одинаковой для всей рассматриваемой области по-тока, а в уравнении Бернулли она относится к данной линии тока -или вихревой линии. Естественно, в общем случае обе константы, l и Сь неодинаковы. Из сказанного также вытекает различие, с одной стороны, между этими уравнениями п, с другой стороны,. уравнениями Лагранжа и Эйлера, относящимися соответственно к неустановившемуся и установившемуся безвих- 130 [c.130]

ПЛ. Задача Д. Бернулли о колебаниях висячей цепи. Речь идет нерастяжимой однородной гибкой нити с линейной плотностью ница подвешенной за один конец в однородном поле силы тяже Пусть колебания происходят в вертикальной плоскости Ох х , ось Ок направлена вертикально вниз, угол 0(s, t) = л/2, координата хз(я, t) = а конфигурация нити определяется либо функциями Xi(s, t), X2(s, либо одной функцией <р(я, t), О Уравнения движения Лагранжа с неоп деленным множителем и граничные условия имеют вид [c.286]

Большое значение в гидроаэродинамике имеют частные решения дифференциальных уравнений. такие, как интегралы Громеки, Лагранжа, Эйлера, Бернулли. Правильное понимание физического смысла этих интегралов позволяет успещно Ярименять и четко представлять пределы их оправданного использования. [c.74]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Исторический очерк. Вопросами изгиба стержней занимались многие выдающиеся ученые, начиная с Галилея [278, 301]. Усилиями Я. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Л. Лагранжа и других в XV111 веке было получено уравнение изгпбных колебаний стержней [c.142]

Изданием в 1736 г. Механики Лагранж заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики, хотя и решаются средствами анализа бесконечно малых, однако каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того, сочинение Эйлера 1736 г.— это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как мы уже знаем, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил лмехаиику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствуюш их математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, эксиериментальных положений. Каковы эти положения И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики [c.202]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

Говоря о различных формах уравнений вихревого движения жидкости, можно отметить полезные преобразования уравнений гидродинамики, рассмотренные в 50-х годах А. Клебшем и в 60-х годах Г. Вебером Уравнение Клебша представляет некоторое обобщение интеграла Бернулли, имеющее определенную аналогию с каноничсескими уравнениями Гамильтона, а преобразование Вебера дает видоизмененную форму уравнений движения в так называемых переменных Лагранжа. [c.75]

После Эйлера в течение XVIII в. теория устойчивости развивается в русле динамики в двух направлениях. Одним из них является изучение малых коле- 119 баний механической системы около положения равновесия. Этим вопросом занимались А. Клеро, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж. В Аналитической механике Лагранжа (1788) теория малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы изложена в ее классической форме. Ответ на вопрос, устойчиво ли для данной системы положение равновесия, около которого она начинает колебаться, дает исследование корней алгебраического уравнения, определяющего частоты колебаний, соответствующих отдельным степеням свободы. (При этом, как известно, Лагранж высказал ошибочное утверждение, что при наличии кратных корней уравнения частот должны появляться вековые члены и устойчивости не будет.) [c.119]

См. fl.Il, стр, 25, 30—36, 39-—40 [соответственностр. 37, 43—50, 54 русского перевода], Замечание. Основное ( отношение, связывающеё кривизну с изгибающим моментом, впервые было получено Яковом Бернулли, хотя ему не удалось найти правильное значение п<х тоянной, входящей в это соотношение. Тем не менее его работа должна рассматриваться как первый вклад в решение задач о больших прогибах балок. Следуя совету Даниила Бернулли, Эйлер вновь вывел дифференциальное уравнение линии прогибов и приступил к решению различных задач об эластике см. [1.1J, стр. 27 стр. 39 русского перевода], 1.2], т. 1, ip. 30 и 34, а также 1.3], стр. 3 [стр. 17 русского перевода]. В I6.20] приведена известная статья Эйлера о линиях прогиба. После этого задачей об эластике занимался Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), выдающийся итальянский математик ), впервые сформулировавший принцип возможной работы и сделавший весьма существенный вклад в динамику. Он рассмотрел консольную балку с нагрузкой на незакрепленном конце (см. 1.1], стр. 39—40 стр. 54 русского перевода], и [1.2], т. 1, стр. 58—61, а также статью Лагранжа [6.21]) краткая биография Лагранжа приведена в[6.4] на стр. 133 и в 6.5] на стр. 250. К числу первых ученых, занимавшихся теорией упругости, относится и Джиованни Антонио Амадео Плана (1781—1864), племянник Лагранжа, исправивший ошибки в работах Лагранжа по теории упругих кривых (см. [1,2], т. I, стр. 89—90, а также работу Плана [6,22]) биографические сведения о нем можно найти в [6.5]. Макс Борн в своей диссертации 6.23] исследовал эластику при помощи вариационных методов (см. [1.13], стр. 927—928 и 932 [c.553]

Сравним интеграл Лагранжа и интеграл Бернулли. Как мы видели, уравнение Эйлера при соответствующих условиях приводит к этим интегралам. Интеграл Лагранжа в некотором смысле более общий, чем интеграл Бернулли, так как годится и для неустановившихся движений. Но он менее общий в том смысле, что требует безвихревого движения и полной баротроп-ности (в интеграле Бернулли достаточно баротропности только на линии тока). Область действия этих интегралов разная. [c.121]

Уравнения гидродинамики и их интегралы. Уравнения гидродинамики в форме Эйлера. Теоремы Бернулли и Лагранжа. Сообщение движения жидкости импульсом. Теорема Томсона. Гельмгольцев принцип сохранения напряжения вихревой нити. Основные принципы динамики, отнесенные к жидкой массе. Определенность гидрокннетической задачи. [c.322]

Уравнения гидродинамнви в формах Эйлера и Лагранжа. Формулы Бернулли и Лагранжа. Назвав череа р плотность жидкости, чере — гидростатическое давление п через X, 1, —составляющие действующих сил, отнесенные к единице массы, напишем уравнения равновесия жидкости [c.389]

Один нз способов определения реакций связей был уже рас- мотрен при изучении уравнений равновесия с множителями Лагранжа, когда связи задаются неявными уравнениями или неравенствами. В общем же случае связи, наложенные на систему материальных точек, всегда могут быть заменены соответствующими силами реакций, действие которых эквивалентно действию вязей. После такой замены система может рассматриваться как вободная от связей, но подверженная действию как активных, гак и пассивных сил. Принцип Бернулли для такой свободной пстемы дает необходимые и достаточные условия равновесия в виде уравнения [c.191]

Аналитическая динамика начала развиваться в конце XVII— начале XVIII в., в период буржуазной революции в Европе. Торричелли и Бернулли положили начало аналитической статике. Галилей и Ньютон сформулировали основные законы динамики, а в конце XVIII в. Лагранж разработал основы современной аналитической динамики. Весь этот период характеризуется бурным развитием техники и точных наук. В результате появилась потребность к обобщению накопленных знаний, к созданию таких принципов, откуда бы вытекали все основные положения механики. Одним из результатов такого обобщения явился принцип Даламбера — Эйлера — Лагранжа, как наиболее общий принцип механики. Он позволил сформулировать различные задачи о движении в виде системы дифференциальных уравнений. [c.443]

В период времени между открытием закона Гука и уста-повлепием обш,их дифференциальных уравнений теории упругости интерес исследователей был направлен на проблемы колебаний стержней и пластин, а также на устойчивость колони. Сюда следует отнести в первую очередь фундаментальные работы Я. Бернулли ), посвягценные форме упругой кривой, и Эйлера ), положившие начало исследованиям в области устойчивости упругих систем. Лагранж ) следовал теории Эйлера и применил ее для определения наиболее надежной формы колонн. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...