Первое приближение для системы И-го порядка

Если бы все корни уравнения (29.7.21) были простые и чисто мнимые, то можно было бы заключить, что исходное равновесное решение устойчиво по крайней мере в первом приближении. Однако на данной стадии исследования такого заключения сделать нельзя вследствие наличия множителя и повторения множителя (Р + со ) в левой части уравнения (29.7.21). В следующем параграфе мы покажем, каким образом порядок системы можно понизить с 12 до 6. Для приведенной системы собственные значения будут определяться уравнением шестой степени [c.584]

При решении системы уравнений (6.88), (6.89), определяющих границы динамической устойчивости с учетом конкретных данных, нередко возможны существенные упрощения. Так, в частности, при Qo О в уравнении (6.89) обычно последние два слагаемых, заключенные в квадратные скобки, по сравнению с нелинейной функцией Л(, оказываются малыми, а при / = /а. — строго равны нулю. При этом, как правило, удается непосредственно выразить Л о через Су, после чего из уравнения (6.88) может быть определено одно неизвестное j. При Qo = О уравнение (6.88) принимает вид = 0. Расчетная практика свидетельствует о том, что в этом случае при определении границ области устойчивости в качестве первого приближения можно пользоваться результатами, полученными при Ло = О (см. режимы j = Vgi /г. ) Разумеется, на современном уровне развития вычислительной техники отмеченные упрощения не являются столь необходимыми, однако даже при машинном счете они существенно облегчают оценку и контроль результатов, получаемых с помощью ЭВМ (порядок величин, контрольные точки, характер изменения функций и т. п.). [c.285]

В формулы для вычисления эквивалентных коэффициентов (VI.23) входит частота изменения входной для реле координаты Q. Величина Q приближенно может быть вычислена как частота основного тона колебаний линеаризованной системы — частота выделенной по методу эффективных полюсов и нулей первой (основной) составляюш,ей процесса. Для этого выполняется эквивалентная линеаризация нелинейности для ряда фиксированных значений амплитуды и вычисляется серия значений эквивалентного коэффициента усиления k. Учитывая, что уравнение основной составляющей может иметь первый или второй порядок, по соотношениям (VI.9) вычисляются три последних коэффициента эквивалентного уравнения (VI.10). Порядок уравнения выделяемой первой составляющей процесса определяется по параметру р (см. п. 8). Формула для вычисления параметра pi в данном случае имеет вид [c.233]

Теоретическое описание акустических и гравитационных мод. Поскольку периоды р- и -мод намного меньше периода вращения Солнца, то в первом приближении пренебрегают влиянием вращения и колебания рассматриваются как малые периодич. возмущения равновесного состояния Солнца. В сферич. системе координат (г, 6, <р) распределение амплитуды стоячих волн по поверхности постоянного радиуса описывается сферич, гармониками (0, ф) (см. Сферические функции), где I — степень сферич. гармоники — целое число, равное полному кол-ву узловых линий на поверхности и задающее горизонтальную компоненту волнового вектора кд = 1(1 - - 1)/г т — азимутальный порядок — [c.581]

В случае, если в циркуляционном контуре (рис. 1) параллельные ветви неодинаковы, порядок системы уравнений первого приближения значительно возрастает и вычисления становятся очень громоздкими. [c.42]

Так, например, в системе с двойным усилением, если время первого сервомотора имеет значение 0,02 сек., а время второго сервомотора равно 0,4 сек., то а первом приближении время первого сервомотора мож,но приравнять нулю. Тогда общее дифференциальное уравнение снизит порядок иа одну единицу. [c.685]

Поэтому указанное предположение с точки зрения приложения метода является вполне естественным. В частности, если считать Я (Л) и (Л) медленно меняющимися на определенном участке изменения А (т. е. что первые производные от h н по Л имеют порядок е), то указанное выше решение первого приближения для ы и ш совпадает (с точностью е ) с определением этих величин как вещественной и мнимой частей корней характеристического уравнения гармонически линеаризованной системы. При этом в правой части уравнения (31) следует заменить fix, выражением [c.81]

Н. Н. Боголюбов показал, что при выполнении некоторых обш,их условий ограниченности и гладкости правых частей решения системы первого приближения отличаются от решений (3) сколь угодно мало на интервале t 1/е, если в начальный момент они совпадают. При некоторых дополнительных ограничениях разность ж ( ) — х (t) имеет порядок малости е при 1 1/е. Далее было обнаружено, что если уравнение первого приближения имеет асимптотически устойчивое положение равновесия, то решения исходной системы, начинающиеся достаточно близко к этой точке, притягиваются к окрестности этой точки при i оо. Наконец, [c.119]

Как и в доказательстве теоремы 6, надо по отдельности рассмотреть движение в нерезонансных и резонансных зонах. В нерезонансной зоне движение хорошо описывается усредненной системой. Условие А показывает, что точка не застревает в этой зоне. Как и в теореме 6, суммарная погрешность усреднения, набирающаяся в нерезонансных зонах, не превосходит si/e. В резонансной зоне определена замена переменных п. 1.3, приводящая в первом приближении систему к частично усредненной с учетом этого резонанса. Из условия А поэтому вытекает, что застревание в резонансной зоне также невозможно. Время пребывания точки в одной такой зоне имеет порядок ширины зоны, деленной на е. Остальные оценки — как в доказательстве теоремы 6. [> [c.177]

Уравнение Власова — это уравнение нулевого приближения. Система уравнений для Р, и корреляционной части Сг, обеспечивающая первый порядок по параметру г /гд, приведена в задаче 30. Это очень сложные уравнения. И дело не только в математических трудностях. Всякое улучшение уравнения Власова, связанное с учетом столкновений ионов, — это в физическом смысле объединение двух противоположных тенденций, дальнодействия (кулоновское взаимодействие) и близкодействия (столкновение твердых сфер), характеризующихся противоположными по отношению друг к другу малыми параметрами. Даже чистый кулоновский потенциал при этих улучшениях не всегда является удобной моделью, и, чтобы придать тем или иным выражениям разумное значение, его приходится модифицировать, обрезать (см. задачу 44) и т.д. [c.303]

Эта система двух уравнений первого порядка точно соответствует исходному уравнению (2.5.2) второго порядка. Она не дает никаких преимуществ в смысле упрощения решения задачи. Однако из этой системы следует, что производные й ч ii имеют порядок малости Р"<1, что подтверждает справедливость выбранных условий й< и, v- u. Существенный шаг в сторону нахождения приближенного решения можно сделать, если заменить мгновенное значение и и v их средними величинами за каждый период колебательного процесса, равный 2л. Производя усреднение по периоду от О до 2я, мы приходим к системе так называемых укороченных уравнений [c.72]

Определение собственных частот колебаний упругой системы становится чрезвычайно затруднительным тогда, когда число степеней свободы велико и уравнение частот имеет высокий порядок. Уже раскрытие определителя требует большого труда, не говоря о нахождении корней уравнения частот. В то же время для приложений часто бывает достаточно знать наименьшую первую частоту, так называемую частоту основного тона. Ее можно найти с достаточной для практики точностью, пользуясь приближенным методом Рэлея. [c.184]

Система уравнений (3.20) представляет собой шесть дифференциальных уравнений с шестью неизвестными А, у, 2, q, р, R, которые являются функциями времени t. Первое и пятое — нелинейные уравнения. Решение этой системы сводится к определению, например, перемещений рабочего органа в функции времени, т. е. к нахождению функции z = z t). Порядок решения примем в соответствии с методикой приближенного исследования нелинейных автоматических систем, разработанной [c.135]

Численные значения т, i, I для нескольких основных типов сред приведены в таблице. Отметим, что число I в случае, если все уравнения получающейся системы имеют первый порядок, совпадает с числом произвольных функций одного или двух аргументов, от кото рых зависит соответствующий класс движений. Для электропроводной вязкой жидкости в приближении Буссинеска возникают два разных варианта определенных систем. [c.198]

Схема областей возмущенного течения, изображенная на рис. 3.31, позволяет при заданной амплитуде параметра определить размеры этих областей и характер течения в них. Так, воздействие возмущения с амплитудой О (е /" ) Uw 0(1) приводит к появлению вблизи разрыва области с размерами, определяющимися линией АВ, течение в которой описывается системой уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Следующая по протяженности — область, продольный размер которой определяется линией EF, где течение описывается в первом приближении уравнением Бюргерса. При этом на промежуточных расстояниях при изменении параметров в области между линиями АВ и EF, в течении в области нелинейных возмущений влияние вязкости несущественно и реализуется режим компенсационного взаимодействия [Боголепов В.В., Нейланд В.Я., 1976], а также соответствующий раздел в главе 8. Отсутствие вязких членов в уравнениях, описывающих возмущенное течение, требует введения подобласти, в которой влияние сил вязкости имеет тот же порядок, что и влияние сил инерции. В то же время существует область с длиной, определяющейся линией ОВ, в которой влияние вязкости существенно и в которой поверхностное трение имеет тот же порядок величины, что и трение в исходном пограничном слое. Точка Е, как отмечалось выше, соответствует общему случаю, когда нелинейные процессы выравнивания трения взаимодействия с внешним потоком происходят в одной области — области свободного взаимодействия [Нейланд В.Я., 1969,а Stewartson К., Williams P.G., 1969]. [c.110]

В последнее время для оценки точности приближенных решений задачи определения эффективных параметров используются численные решения задач переноса для достаточно протяженных неоднородных систем. Как показано в [32], приближенные соотношения, даваемые так называемой теорией эффективной среды, весьма удовлетворительно согласуются с результатами численных экспериментов во всей области изменения параметров, за исключением, быть может, небольшой критической области вблизи порога перколяции (протекания), т. е. той концентрации непроводящего компонента, вблизи которой происходит запирание двухкомпонентной системы проводник — изолятор. В [32] на примере сеток со случайными сопротивлениями выявлены причины высокой эффективности самосогласованного решения теории эффективной среды, имеющего второй порядок точности по концентрации, в то время, как, например, метод возмущений (первое приближение) или приближения малой концентрации имеет только первый порядок точности. К этому следует добавить, что самосогласованные решения дают асимптотически точные результаты при больших и малых концентрациях. Указания на удовлетворительное совпадение результатов теории эффективной среды с физическим экспериментом имеются в [3, 25, 32, 42]. Далее методами теории самосогласования рассмотрены задачи определения эффективных параметров ряда систем и указана связь этих решений в двумерном случае с результатами А. М. Дыхне. [c.137]

Рассмотрим ситуацию, когда вид (ресурс) неподвижен. В качестве примера такой ситуации можно привести взаимодействие лесных насекомых-вредителей и ресурса - леса. Так как скорость роста деревьев (или даже листвы) на порядок меньше, чем скорость размножения насекомых-вредителей, то в первом приближении можно считать, что ресурс не только неподвижен, но и невозобновим. Динамику такой системы на бесконечном одномерном ареале можно описать уравнениями [c.66]

Заключение. Предложен новый алгоритм построения ненавье-стоксовых моделей ламинарных течений газов и их смесей как сплошной среды. В системе уравнений первого приближения дополнительно к навье-стоксовым членам учитываются главные члены высших приближений метода Чепмена - Энскога для переносных свойств, не изменяющие порядок системы уравнений, условия существования и устойчивости решений. Системы уравнений следующих приближений отличаются наличием неоднородных частей, в которых учитываются остальные члены выражений для переносных свойств и которые рассчитываются при помощи предыдущих итераций. Такая процедура не искажает структуры уравнений сохранения. Выбор отрезка ряда Чепмена - Энскога, главных членов, числа и вида итераций зависит от специфики рассматриваемого класса течений, баланса требований точности и простоты. Конкрет- [c.197]

Стокса для гидравлики уравнения теилопроводностн для термодинамики и т. д.), но точное решение ее удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели. Для этого используются методы конечных разностей и интегральных граничных уравнений, одним из вариантов последнего является метод граничных элементов. Так как получаемая при дискретизации пространства аипрокси-мирующая система алгебраических уравнений имеет высокий порядок, то при моделировании достаточно сложных технических объектов приходится принимать ряд допущений и упрощений и переходить к моделированию на макроуровне. [c.6]

На двух примерах обнаруживается удивительное совпадение между порядком уравнений систем Эйлера и Навье— Стокса и числом членов в ряде (3.8.1). Взяв один член ряда, получим систему Эйлера, уравнения которого имеют первый порядок, а взяв два, — уравнения системы Навье—Стокса, имеющие второй порядок. Если с помощью метода Энскога получить уравнения сохранения в третьем приближении, то мы получим систему Барнетта, уравнения которой имеют третий порядок. Эта система уравнений имеет довольно громоздкий вид, и ее вывод лежит за рамками данного курса. [c.139]

Здесь также очевидно, что второе и третье слагаемые имеют порядок LJLh по сравнению с первым и, следовательно, в гидродинамическом приближении ими можно пренебречь. С другой стороны, основной член содержит точно такой же оператор G (g) (18.3.7), с каким мы имели дело в однородном случае. Разумеется, его появление вполне естественно, так как в гидродинамическом пределе система практически однородна на расстояниях порядка радиуса действия межмолекулярных сил [c.234]

В теории медленного уплотнения (консолидации) грунтов К 10 —10 ат, е 1) рассматриваются такие условия деформации, при которых смещения имеют порядок BГL (где Г — суммарная величина нагрузки) и пренебрегают смещениями порядка рГЬ,-. Поэтому там не рассматриваются задачи о деформациях грунтов при приложении нагрузки со стороны жидкости (Рц = 0) или же при сжатии грунта проницаемым поршнем без возможности оттока жидкости (и>,- = и,- на 5). Действительно, в этих случаях согласно первой из оценок (5.30) смещенпя будут весьма малы. Отсюда в теории консолидации допустимо пользоваться системой уравнений 5.24), приближенно описывающих вторую волну, причем вследствие медленности процесса оттока жидкости, естественно, можно пренебречь, как это обычно делается, инерционными членами. [c.121]

Разложение тина Пуанкаре для системы (40) с точностью до двух первых членов по /i совпадает с разложением для (37). Система (40) определяет уточненное на порядок по сравнению с нулевым (39) приближение за один шаг, а не двумя шагами последовательных приближений Пуанкаре. Наконец, система (40) прогце исходной (35). [c.188]

Описание вынужденного рассеяния Бриллюэна основано на дифференциальных уравнениях (2.51-16) и (2.52-1) для давления и электрического поля. Решение этой системы дифференциальных уравнений в частных производных в общем случае очень затруднено. Поэтому мы рассмотрим решения при некоторых упрощающих предположениях. Прежде всего мы ограничимся стационарными решениями. Они позволяют получить приближенное описание реальных фактов, если длительность световых импульсов очень велика по сравнению с временем установления колебаний в среде. Это время задается обратны. значением константы затухания Г, которая равна удвоенному ароизведению скорости звука V и коэффициента поглощения звуковой мощности и для жидкостей п,ри комнатной температуре и%1еет порядок величины 10" с. При рассмотрении стационарных процессов можно исходить из обыкновенных дифференциальных уравнений (2.52-3), (2.52-5) и из соответствующего уравнению (2.52-5) уравнения для амплитуды лазерной волны. Будем снова а,реиебрегать вторыми производными от амплитуды, а в правой части уравнения (2.52-3) также и первой производной. Условия применимости такого приближения обсуждались в разд. 1.322. Тогда мы получим систему [c.217]

Многообразие термов линейных и нелинейных молекул XYg. Если электронные конфигурации молекул ХНг в основном могут быть получены на базе электронных конфигураций объединенного атома, то нри замещении атомов водорода на более тяжелые атомы это положение уже не сохраняется. В данном случае на корреляционной диаграмме фиг. 121 для линейных молекул ХУг необходимо использовать ту область, которая ближе к системе уровней энергии орбиталей разделенных атомов. Результирующий (очень приближенный) порядок расположения орбиталей по энергии показан в правой части ранее приведенной на фиг. 126 диаграммы Уолша, тогда как соответствующий порядок расположения орбиталей для нелинейной молекулы ХУг показан в левой части диаграммы. В табл. 37 приведены низшая и первые возбужденные электронные конфигурации, полученные на основании диаграммы фиг. 126, а также результирующие состояния для ряда линейных молекул, содержащих до 16 валентных электронов, а в табл. 38 аналогичные данные для ряда нелинейных молекул, содержащих от 17 до 20 валентных электронов. В обеих таблицах -электроны не указаны, однако они считались при выписывании обозначений орбиталей. Следует заметить, что между Сз и ВОг происходит обращение порядка расположения орбиталей 1л и Зстц. Это обращение не следует с очевидностью из фиг. 121, тем не менее из экспериментальных данных оно следует очень явно, так как первое наблюдаемое возбужденное состояние молекулы Сз — Щц, а возбужденное состояние молекулы ВОг и иона СО оказывается расположенным ниже, чем состояние [c.353]

Предложенные в первой и второй главах методы позволян т привести задачи равновесия упругих оболочек к эллиптическим системам уравнений с двумя независимыми переменными. Порядок этих уравнений определяется степенью приближений относительно координаты ж (см. гл. I) к искомому, решению задачи. В первой главе мы покажем, что если приближения выражаются при помощи полиномов степени N относительно координаты ж , то в одном из рассмотренных вариантов ( 8) порядок соответствующей зллиптической системы равен б/У +б. В другом варианте ( 7) исключения составляют случаи N=0, 1, 2, тог щ эти системы расщепляются на взаимно независимые Системы более кизкого порядка. В частности, при 0 1 мы получаем системы уравнений безмоментного состояния оболочки, а также бесконетао малых изгибаний поверхностей. В общем же случае (М > 2) мы имеем зацепленную систему уравнений порядка имею- [c.12]

ЦИЯ заключается в решении линейной системы на каждом шаге Ауп+1—Хп. Тогда приближением к % будет %п+1 — 1 уп+А, а новым приближением к х — нормализованный вектор Хп+1 = == Яп-нУп+г. Они были бы точными, если бы Хп был собственным вектором. Если представить себе, что начальный вектор Хо разлагается по истинным собственным векторам Vj, т. е. Хо = Ъ jV , то в результате п обратных итераций каждая компонента увеличится в (Я ) " раз вектор пропорционален Если Я] значительно меньше других собственных значений, то первая компонента станет преобладающей и Хп будет приближать единичный собственный вектор Уь Сходимость подобна сходимости геометрической прогрессии со знаменателем Я1Д2 ощибка — X имеет порядок (Я1/Я2)". Очевидно, что метод эффективнее, когда это отношение мало. [c.274]

Представим себе изолированную систему, состоящую из большого числа п молекул, и выберем две любые из этих молекул. Пусть фазовая функция нашей системы, зависящая только от динамических координат первой выбранной молекулы, а ф(Р) функция, зависящая только от динамических координат второй молекулы. Тогда функции (f P) и ф Р), рассматриваемые как случайные величины, не будут независимыми, так как неизменность полной энергии Е системы известным образом связывает между собой динамические координаты двух выбранных нами молекул. Можно, конечно, ожидать, что ввиду большого числа молекул эта стохастическая зависимость между величинами (f P) и ф(Р) окажется весьма слабой. В частности, мы можем до всяких вычислений предвидеть, что коэффициент корреляции этих двух величин окажется ничтожно малым. Это и действительно так, как мы скоро убедимся однако, во многих вопросах (в частности, при вычислении дисперсий сумматорных функций) такие коэффициенты корреляции приходится суммировать в очень большом числе, вследствие чего получаемые суммы часто оказываются даже бесконечно большими, порядок которых не позволяет пренебрегать ими ). Вот почему необходимо уметь найти хотя бы приближенные выражения для таких межмолекулярных коэффициентов корреляции. Этому вопросу мы и посвящаем настоящий параграф. [c.99]

В литературе предложены три выхода из этой ситуации, позволяющие получить обычный порядок точности. Во-первых, в работах [102, 66] предлагается добавлять к обычным базисным функциям еще одну или несколько функций, описьюающих характер особенности решения в угловых точках. Эти функции имеют большую площадь носителя, что существенно усложняет алгоритмы формирования и решения линейных алгебраических систем метода Бубнова - Галёркина. Во-вторых, в работе [92] предлагается использовать нормы с весом, вырождающимся в нуль в особых точках. В такой норме порядок сходимости остается обычным, но за счет вырождения веса точность приближенного решения вблизи особой точки хуже, чем вдали от нее. В-третьих, в работах [92, 66, с. 273] предлагается специальным образом сгущать триангуляцию при подходе к особой точке. Это сгущение можно подобрать так, чтобы общее число узлов разностной сетки осталось по порядку таким же, как обычно. Некоторое увеличение числа узлов (и соответственно неизвестных в системе линейных алгебраических уравнений) все же имеется в сравнении с обычным путем, но зтапы автоматизации не меняются. Мы рассмотрим именно этот прием и покажем, что приведенные в гл. 4 алгоритмы могут бьпь распространены и на этот случай без потери экономичности. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...