Система первого порядка

Е-". П р я м о й метод исследования. Для изучения устойчивости движения системы материальных точек запишем систему дифференциальных уравнений движения в виде системы первого порядка [c.645]

I. Системы первого порядка [c.20]

Динамической системой первого порядка (или системой с половинной степенью свободы) называется динамическая модель, движение которой описывается одним дифференциальным уравнением первого порядка [c.20]

СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [c.21]

На рис. 2.2 видно, что в устойчивых состояниях равновесия производная f (Xk) <0, а в неустойчивых состояниях Г > О- Значение f (л ) = О может быть как в точках устойчивого, так и неустойчивого состояния равновесия (см., например, точки х = Х2, х = на рис. 2.2). Поскольку характер движения в системе первого порядка полностью определяется видом функции / (х), представляет интерес рассмотреть случай, когда эта функция зависит от некоторого параметра X, и изучить влияние параметра X на характер фазового портрета рассматриваемой системы. Для этого, [c.22]

Изучение фазового портрета системы первого порядка позволяет сделать следующий вывод если функция / (л ) аналитическая на всей прямой, то периодические движения [c.23]

Система первого порядка (п 1). Характеристическое уравнение имеет вид [c.108]

Действительно, перейдем к системе первого порядка, для чего положим х = у. Тогда уравнение (5.57) заменится системой двух уравнений первого порядка [c.147]

Тогда систему уравнений можно записать (введя матричные обозначения) в виде симметричной системы первого порядка [c.658]

Сформулируем для уравнений (1.2.21) граничные условия. Поскольку все дифференциальные уравнения этой системы — первого порядка, необходимо задать по одному граничному условию для каждого уравнения. Для двух последних уравнений системы граничные условия очевидны значения концентраций на концах аппарата равны входным концентрациям [c.16]

В результате получается каноническая система первого порядка с п парами переменных qi, q , Яп Pi. Рг-Рп- [c.398]

Мы пришли к системе первого порядка, линейной относительно х, у, z. Не обращаясь к общей теории, достаточно в этом случае взять производную [c.167]

Определение движения тем самым сведено к интегрированию системы первого порядка (6) (которое, как мы знаем из общей теории, выполняется в квадратурах). [c.174]

Далее, из анализа известно (и в частных случаях нам приходилось применять этот способ), что всякую нормальную систему второго порядка с п неизвестными функциями можно заменить бесконечным множеством способов эквивалентной ей системой первого порядка, тоже нормальной, с 2п неизвестными функциями или, как мы будем говорить теперь, порядка 2и. Достаточно взять за новые неизвестные функции, наряду с q, п их первых производных q, или, вообще, п каких угодно независимых между собою функций от q, которые могут содержать также координаты q и время t. [c.239]

Мы пришли, таким образом, к нормальной системе первого порядка с 2л неизвестными функциями р, q, состоящей из уравнений (1 ), (2 ) эти 2п уравнений можно назвать эквивалентными первоначальной лагранжевой системе (1), так как, с одной стороны, они получаются из уравнений (1) только что указанным однозначным способом, а с другой стороны, обратно, исходя из соотношений (1 ), (2 ), мы возвратимся к уравнениям (1), исключая р посредством уравнений (2). [c.240]

Это и есть, по существу, преобразование Гамильтона системы (1). Остается еще установить одно особенно важное обстоятельство, заключающееся в том, что правые части уравнений (1 ), (2 ) можно выразить посредством одной единственной функции от р, q, t, называемой функцией Гамильтона i) или характеристической функцией, так что система первого порядка (1 ), (2 ) с формальной точки зрения будет столь же простой, как и первоначальная лагранжева система, зависящая от одной только функции 2 ). Функция Гамиль- [c.240]

Доказательство теоремы. Уравнения Лагранжа в силу регулярности лагранжиана можно привести к системе первого порядка (темы 11) [c.131]

Симметричные схемы, за исключением некоторых деталей, можно представить как результат простого удвоения несимметричных. При этом если для возникновения автоколебаний в простейшем случае нужна модель второго порядка, то симметричная система должна иметь четвертый порядок. Простейший триггер может быть описан системой первого порядка (реакция с субстратным угнетением) г [c.84]

Поскольку в дискретной системе первого порядка могут иметь место колебательные процессы, то порядок эквивалентной непрерывной системы может быть выше порядка исходной дискретной системы. Однако это обстоятельство не создает принципиальных трудностей при исследовании эквивалентной системы методом эффективных полюсов и нулей, так как этот метод не накладывает ограничений на порядок системы и позволяет исследовать системы достаточно высоких порядков. [c.266]

АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПРИ НУЛЕВЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ [c.266]

В импульсных системах первого порядка в отличие от непрерывных систем могут иметь место как апериодические, так и коле- [c.266]

Область устойчивости. Структурная схема импульсной системы первого порядка представлена на рис. VI 1.5, а. ой схеме соответствует уравнение [c.267]

Для построения области устойчивости используем алгебраический критерий устойчивости импульсных систем. Условия устойчивости для системы первого порядка [26] [c.269]

Как уже указывалось, в зависимости от значений параметров системы (величин коэффициентов уравнения системы и периода дискретности), а также начальных условий в линейной импульсной системе первого порядка при скачкообразном внешнем воздействии могут иметь место апериодические или колебательные процессы. В связи с этим в рабочей области можно выделить две подобласти с помощью разделительной кривой (границы апериодичности). [c.273]

Действительно, в системе первого порядка (УП.14) время переходного процесса непрерывной части приближенно вычисляется [c.273]

В этой подобласти исходной импульсной системе первого порядка будет соответствовать эквивалентная непрерывная система, описываемая уравнением колебательного звена. [c.274]

Найдем выражение для определения коэффициента сг. Запишем характеристическое уравнение системы первого порядка в виде [c.280]

Время переходного процесса в непрерывной системе первого порядка приближенно можно определить по формуле [c.280]

Как показали исследования, время переходного процесса в импульсной системе первого порядка является монотонной функцией параметров системы, Это обстоятельство позволило [c.280]

Область di > 0. Запишем приведенное уравнение импульсной системы первого порядка при ненулевых начальных условиях [c.284]

Таким образом, подставляя (VII.99) в (VII.98), получим формулу максимального отклонения в импульсной системе первого порядка [c.291]

В импульсной системе второго порядка так же, как и в импульсной системе первого порядка, могут быть как апериодические, так и колебательные процессы. Поэтому здесь было бы целесообразно по аналогии с импульсной системой первого порядка определить границы рабочей области и апериодичности и составить аналитические зависимости для вычисления коэффициентов эквивалентной системы в апериодической и колебательной подобластях рабочей области. Однако такая задача оказалась чрезвычайно сложной в связи с большим числом коэффициентов уравнения по сравнению с уравнением первого порядка. Кроме того, такой путь привел бы к довольно громоздким алгоритмам. [c.295]

Вычисление переходного процесса в системе (VII. 115) производится по периодам дискретности. При этом, как и в системах первого порядка, на каждом периоде дискретности система является непрерывной. [c.296]

Pi — процедура вычисления коэффициентов эквивалентного уравнения дискретной составляющей первого порядка с апериодическим переходным процессом коэффициенты эквивалентного уравнения вычисляются по алгоритмам расчета динамических процессов в дискретных системах первого порядка [c.316]

Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что ш существует других первых интегралов напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-яого из теоремы существования общего решения, зависящего от п произвольных постоянных, необходимо следует существование и первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме. [c.100]

Поэтому системе первого порядка (1 ), (2 ), эквивалентной лагран-жевой системе (1), можно придать упомянутую выше гамильтонову форму [c.242]

Из изложенного выше ясно, что для вычисления коэффициента bj необходимо знать максимальное отклонение в импульсной системе лГщах. Оно может быть определено Следующим образом. На рис. VII.15 показан вид колебательного переходного процесса в импульсной системе первого порядка (сплошная линия). Из рис. VII.15 видно, что максимальное отклонение имеет место в момент t = Тц, т. е. в момент первого замыкания импульсного элемента. Это объясняется тем, что в колебательной подобласти, как видно из рис. VII.7, в уравнения (VII.85) коэффициент > 0. Поэтому выходная координата достигает максимума в конце того участка, на котором дГд = О, Рассмотрим возможные случаи, [c.290]

В случае однопиковых процессов в системе второго порядка второй экстремум и время четверти волны колебаний вычисляются так же, как и при однопиковых процессах в системе первого порядка. [c.302]

Для фиктивной составляющей (VIII. 19) по алгоритмам расчета динамических процессов в дискретных системах первого порядка вычисляются коэффициенты эквивалентного уравнения. Пусть процесс в фиктивной составляющей колебательный, как показано на рис. VIII.1. Тогда ее эквивалентное уравнение будет второго порядка [c.311]

Затем составляется уравнение (VII 1.21) при X = О (к — суммарный порядок уже выделенных дискретных звеньев первого порядка), что соответствует первому дискретному звену замещающей структурной схемы (рис. VII.4), и проверяются условия (VI 1.28), (VII.29) или (VII.30), в которых знак = заменяется знаком sg. В случае невыполнения этих условий (звено находится вне рабочей области) следует переходить к другому варианту сочетания параметров исходной системы. Аналогичная проверка производится для каждого дискретного звена. Вычисляется параметр б по формулам (VII.37). Если б > 0,9, то первое дискретное звено является дискретной составляющей первого порядка и к (VIII.21) применяются алгоритмы расчета динамических процессов в дискретных системах первого порядка. Если б 0,9, то характер переходного процесса в первом дискретном звене уточняется по формулам (VII.69), (VII.71), (VII.72), (VII.74), (VII.75), учитывающим влияние начальных условий. В случае колебательного (однопикового) процесса первое звено также является дискретной составляющей первого порядка. [c.312]

Уравнение (VIII.43) является уравнением дискретной системы первого порядка, поэтому воспользуемся алгоритмами расчета динамических процессов в дискретных системах первого порядка. Приводим уравнение (VIII.43) к виду (VII.63), используя соотношения (VII.35), (VII.36), (VII.64). Получаем [c.319]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...