Устойчивость равновесных решений

Устойчивость трех точек Лагранжа. Вернемся к задаче, рассмотренной в 29.7. Речь там шла об устойчивости равновесного решения в случае, когда частицы находятся в покое (относительно враш ающихся осей) в вершинах равностороннего треугольника. Прежде всего заметим, что если возмуш ения выводят центр тян ести системы из состояния покоя, то нельзя рассчитывать на устойчивость, так как при этом система уходила бы все дальше и дальше от первоначального положения. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь таких возмущений, при которых центр масс G остается в покое. При таких возмущениях задачу можно свести к шестому порядку ( 29.8) собственные значения соответствующей задачи первого приближения будут определяться как корни уравнения [c.586]

Для исследования устойчивости равновесного решения (1.1.6), (1.1.7) введем малые отклонения свободной поверхности z — Q (ж, г/, t) от равновесного положения и связанные с ними малые возмущения скорости V и отклонения давления р от равновесного значения. [c.13]

Для анализа устойчивости равновесного решения (4.2.1) введем малые возмущения поверхности ( (x,y,t) и связанные с ними возмущения полей W [c.168]

Подстановка (4.2.15) в (4.2.13) определяет нейтральную кривую устойчивости равновесного решения с плоской поверхностью раздела [c.170]

Этим самым найден следуюш,ий метод, позволяюш,ий решить вопрос об устойчивости равновесного решения системы (7), если А = —/л будет чисто мнимым, не равным нулю [c.260]

В предыдущем параграфе бьша рассмотрена устойчивость равновесного решения системы (25 1) только для случая т = 2 и чисто мнимых, не равных нулю собственных значений. Перейдем теперь к исследованию общего случая. Пусть собственными значениями матрицы линейных частей функций /1(2 ),. ..,/ (ж) будут А1,. .., Хт- Теорема Ляпунова [1] гласит [c.261]

Так как вещественные части величин Ах,. .., р отрицательны, то при i —оо уже не будет устойчивого равновесия, если р > 0. При замене i на —i собственные значения заменяются на —. Мы доказали, что устойчивость равновесного решения может иметь место только тогда, когда действительные части всех т собственных значений равны нулю, а это и есть второе утверждение теоремы Ляпунова. [c.264]

Перенесем теперь определение устойчивости равновесного решения на любые другие решения системы дифференциальных уравне- [c.282]

Устойчивость равновесных решений [c.322]

Устойчивость равновесных решений 323 [c.323]

Устойчивость равновесных решений 325 [c.325]

Устойчивость равновесных решений 327 [c.327]

Устойчивость равновесных решений 329 [c.329]

Устойчивость равновесных решений 331 [c.331]

Кроме классификации границ к качественным моделям изучения случайных процессов следует отнести исследование таких свойств, которые проявляются на всей области определения и характерны для процесса в целом на больших интервалах времени. К этим свойствам, в первую очередь относятся возвратность по отношению к той или иной области, наличие стационарного распределения и условия устойчивости равновесного решения соответствующего динамического уравнения. [c.317]

Отметим еще один принципиальный момент. Интеграл основного уравнения дает форму равновесной поверхности раздела фаз. Однако не все решения на самом деле можно наблюдать на практике. Меж-фазная поверхность должна не только удовлетворять условиям гидростатического равновесия, но еще и быть устойчивой, по крайней мере, к малым отклонениям формы от равновесного состояния. Это значит, что если произошло исчезающе малое отклонение формы от равновесной, система обязана вернуться в исходное состояние. Тогда такая форма устойчива (в малом). Если же, напротив, какое-либо незначительное отклонение вызывает дальнейшее прогрессирующее изменение формы, то система абсолютно неустойчива. На практике могут существовать лишь устойчивые равновесные состояния. Аналитическое исследование устойчивости равновесных форм поверхности раздела представляет собой достаточно трудную задачу. [c.92]

Из уравнений равновесия (17,14) п (17,15) рассматриваемого тройного сплава А — В — С видно, что эта система уравнений при всех значениях температуры Г имеет нулевое решение ц = 0, ц = О, характеризующее вполне неупорядоченное состояние. Однако ие при всех Т это нулевое решение соответствует минимуму свободной энергии F, т. е. устойчивому равновесному состоянию системы. Запишем условие того, что неупорядоченное состояние соответствует минимуму функции Е(г), т] ). Для этого при значениях Ц = 0, ц = 0 должны выпол- [c.203]

Движение в окрестности равновесного решения. Воспользуемся функцией Гамильтона (29.6.5) для изучения вопроса об устойчивости (в смысле первого приближения) системы трех точек Лагранжа. Рассмотрим сначала равновесное решение во враш аюш ихся осях, причем для определенности возьмем решение, в котором частицы располагаются в вершинах равностороннего треугольника. Допустим, что суш ествует решение уравнений движения, которое мало отличается от равновесного решения. Пусть ql, р°) есть равновесное решение. Положим [c.582]

Если бы все корни уравнения (29.7.21) были простые и чисто мнимые, то можно было бы заключить, что исходное равновесное решение устойчиво по крайней мере в первом приближении. Однако на данной стадии исследования такого заключения сделать нельзя вследствие наличия множителя и повторения множителя (Р + со ) в левой части уравнения (29.7.21). В следующем параграфе мы покажем, каким образом порядок системы можно понизить с 12 до 6. Для приведенной системы собственные значения будут определяться уравнением шестой степени [c.584]

Тем не менее можно указать такое свойство устойчивого положения равновесия, которое сохраняется при переходе к точным уравнениям. Для системы Гамильтона, имеющей пару сопряженных чисто мнимых собственных значений ip,g, это свойство заключается в том, что в окрестности положения равновесия существует семейство периодических движений. Элементы этого семейства зависят от вещественного параметра р они существуют для достаточно малых значений р и при р О стремятся к равновесному решению (при котором изображающая точка находится в покое в начале координат). Период а (р) при р О стремится к значению 2я/цо- [c.603]

Таким образом, следует отметить, что влияние сил трения, имеющихся в демпфере, не сказывается заметно на величины равновесных прогибов вала, так как они далеки от резонансных, но силы трения существенно влияют на устойчивость различных решений вблизи переходных точек. [c.109]

В целом можно сказать, что при решении многих ответственных технических проблем приходится уделять специальное внимание проверке устойчивости равновесных состояний и стационарных режимов и анализу влияния параметров системы на устойчивость. [c.153]

Уравнение (29) можно трактовать как уравнение движения изолированной твердой частицы в заданном поле течения несущей среды, а систему (30) как уравнения движения и пульсаций изолированного пузырька. Предполагая малость амплитуды вибрационных воздействий, в (20) и (30) можно ввести малый параметр. После приведения к стандартной форме, выявление частных решений, соответствующих установившимся стационарным процессам, и исследование их устойчивости может быть проведено с помощью метода усреднения. Если такие решения или близкие к ним существуют и являются устойчивыми, то физически это означает, что реализуются режимы вибрационного перемещения частиц и пузырьков либо их локализации в окрестности устойчивых равновесных положений. [c.110]

Предлагается шаговый алгоритм численного решения указанной в заглавии задачи. Нагрузка ограничивается только предположением о существовании устойчивой равновесной конфигурации нити. Решение соответствующей задачи о нерастяжимой нити считается известным. [c.56]

В [20, 22, 24] предлагается различать два подхода к исследованию устойчивости тел устойчивость равновесной конфигурации (равновесного состояния) по отношению к динамическим возмущениям и устойчивость квазистатических движений. Так как выполнение достаточного критерия единственности гарантирует устойчивость тела по отношению к динамическим возмущениям, а бифуркация решений соответствует потери устойчивости квазистатических движений, то из изложенной выше взаимосвязи бифуркационных нагрузок и нагрузок собственного состояния следует, что для упругопластических тел в типичной ситуации критические нагрузки потери устойчивости квазистатических движений не превышают критических нагрузок потери устойчивости равновесных состояний. [c.9]

Для исследования устойчивости равновесной конфигурации, которой соответствует решение системы (4.5), выбираем определение устойчивости решений дифференциальных уравнений по Ляпунову (на бесконечном интервале времени), которое применительно к рассматриваемым уравнениям сформулируем следующим образом [65] [c.128]

Теорема 4. Для нелинейных (упругопластических) тел возможна бифуркация решений, соответствующих устойчивым равновесным конфигурациям. Такая бифуркация может происходить только при возрастающей нагрузке. [c.142]

Доказательство. Принципиальная возможность бифуркации решений для устойчивых равновесных конфигураций следует из условия теоремы 3. Действительно, условие (4.9) при некотором значении нагрузки А может нарушиться, а условие (4.10) — остаться справедливым, т. е. бифуркация реше ний может произойти, а равновесные конфигурации останутся устойчивыми. [c.143]

Некоторые задачи с бифуркацией решений для устойчивых равновесных конфигураций конструкций из упругопластического материала рассмотрены в [24, 84]. Таким образом, для нелинейного тела задача по определению бифуркации решений не сводится к задаче по определению собственных состояний. [c.143]

Вторая группа задач включает такие задачи, которые не удастся проинтегрировать с помощью асимптотических разложений (хотя их математической моделью является скалярное дифференциальное уравнение 2-го порядка), но удается найти частные стационарные (равновесные) решения и исследовать устойчивость последних. Таких задач в математической литературе рассмотрено достаточно много. В зту главу включены те задачи, которые показались наиболее интересными с точки зрения выявления неожиданных фактов или оригинальных выводов. Читатель,. [c.61]

При = 0, z = из (1) следует = 0. Этой точке соответствует равновесное решение уравнения (1). По общей классификации особых точек дифференциальных уравнений - это особая точка типа центра. Малое отклонение начальных данных от этой точки приводит к решениям (3), которые остаются близкими к равновесному. В этом случае говорят об устойчивом положении равновесия. [c.243]

Вторая трудность возникает из-за неоднозначности положения устойчивого равновесия спутника. Если спутник после демпфирования собственных колебаний должен занять заданное устойчивое равновесное положение, а углы и угловые скорости спутника в начальный момент после отделения от последней ступени ракеты-носителя слишком велики г то их необходимо уменьшить с помощью системы предварительного успокоения до величин, исключающих переход спутника из одного устойчивого положения равновесия в другое. Иное решение задачи заключается в том, чтобы успокоить спутник в любом равновесном положении и уже после успокоения перевести его с помощью программного разворота в заданное равновесное положение. [c.297]

Стрелки на рис. 43 указывают направления изменения амплитуд неустойчивых решений в сторону устойчивых равновесных или устойчивых автоколебательных. [c.99]

С Ш) —А +iuiEi, (см. [173]). Положим 6i = 1, бг = —1 (если 6i = —1, то воспользуемся преобразованием (177)). Заметим, что случай 6162 > О при исследовании устойчивости тривиален, так как из знакоопределенности Нг сразу следует устойчивость равновесного решения х = у = 0 и нет нужды проводить анализ с привлечением нелинейных членов. Окончательно нормальная форма Hi такова [c.232]

С помощью найденной нормальной формы можно теперь легко рассмотреть вопрос об устойчивости равновесного решения. Пужно показать, что это решение тогда и только тогда устойчиво, если [c.258]

Таким образом, в случае сходимости ряда для подстановки, преобразующей систему (1) в нормальную форму (4), интегрирование данной выше системы в окрестности решения го = О, соответствующего ноложепию равновесия, осуществляется полностью. Так как ряд начинается с Хк, то, в частности, для нашего случая еще раз получается формулировка теоремы Ляпунова. По отсюда можно, наоборот, исследовать устойчивость равновесного решения, если все собственные значения Хк будут чисто мнимыми, и получить подстановкой показательных функций (9) в го = представление общего решения Пк, Ук системы (1) через тригонометрические ряды [2-5]. [c.273]

При р — О п любом ф эти уравнения обращаются в тождества, т. е. они имеют в положении равновесия бесчисленное множество решений, что нарушает основное требование о единственности решений уравнени1( (1.1). Поэтому для анализа устойчивости равновесного положения оси уравновешенного ротора нельзя пользоваться полярйыми координатами. В связи с этим введем обычные прямоугольные координаты X и у точки О, которые и будут характеризовать отклонение оси ротора от положения равновесия в неподвижной системе координат, х, у. [c.96]

Если выполнено условие устойчивости к < /4, то в окрестности равновесного решения существует еще одно семейство периодических движений с периодами, близкими к 2л1щ. При этом ни одна из величин ш/из, Из/из не является целым числом, так как [c.612]

Пусть система находится вне резонансной зоны — возбуждающая частота меньше нижней критической частоты (точка М на рис. 18.117, ОМ < ОС). В этом случае устойчиво нулевое решение (отсутствие поперечных колебаний). Однако этой же частоте соответствует и другое устойчивое решение — установившиеся колебания с амплитудой MN. Возбудить такие колебания можно одним из двух способов. Первый состоит в том, что система вводится в резонансную зону D (как только частота оказывается в пределах между МС и MD, возникают установившиеся колебания с амплитудой, определяемой точкой на кривой ND), а затем затягиваются колебания при уменьшении частоты до д — ОМ. Второй способ заключается в сообщении системе достаточно большого возмущения, вызывающего амплитуду А > МК. Этим система как бы забрасывается на устойчивую ветвь ND. Линия КС играет роль водораздела если амплитуда, вызванная возмущением, меньше МК, то смстема возвращается в свое равновесное состояние, при котором нет колебаний если А > МК, то система переходит в режим установившихся колебаний с амплитудой MN. [c.464]

Строгое решение задачи об отрыве парового пузырька от твердой стенки в условиях кипения не получено, поскольку для него требуется анализ уравнений сохранения для жидкости, удовлетворяющих уравнению (1.166) на межфазной поверхности, форма которой может быть получена лишь в результате решения. Исключения представляют условия гидростатики, для которых получены численные решения, определяюшие равновесные осесимметричные формы поверхности раздела фаз. В этом случае задача об отрыве пузырька или капли решается как задача о нахождении максимальных участков устойчивости равновесных поверхностей (см. п. I.I3.5). Из полученных таким путем решений формула (1.176) для предельного размера газового пузырька на срезе капилляра оказывается пригодной для расчета отрывного размера (эквивалентного диаметра) парового пузырька при кипении в области высоких приведенных давлений, когда малые скорости роста позволяют рассматривать процесс как квазистатический [52]. [c.94]

Из условия L = О следует os р = 0. В этом случае орт ёз лежит в плоскости тг (не путать с числом 7Г), перпепдикулярной вектору К. При этом если / = тг/2, то орт совпадает с вектором К. При / = О с вектором К совпадает орт ёз. Из анализа следует, что равновесное решение (L = 0,l = Till) соответствует случаю вращения тела вокруг оси с наименьшим моментом инерции и оно в определенном смысле устойчиво (малые отклонения начальных данных приводят к движениям в окрестности равновесного решения). [c.395]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...