Канонические уравнения движения (уравнения Гамильтона)

Это и будут канонические уравнения движения, данные Гамильтоном. Они будут первого порядка и число их равно шести. Они определяют шесть переменных д,, д , дз, р, Рз, />з в функции времени и шести произвольных постоянных. Для определения движения системы достаточно найти значения параметров д , д , д% в функции времени, так как только они участвуют в определении положения точки. [c.468]

Это и будут канонические уравнения движения, данные Гамильтоном. Они образуют систему уравнений первого порядка, определяющих ....и р , р2.........р в функции времени и [c.366]

Эта замечательная система уравнении впервые появилась в одной из статей Лагранжа (1809), в которой шла речь о теории возмущений для механических систем. Лагранж не заметил глубокой связи между этими уравнениями и уравнениями движения. Первый указал на истинное значение этих уравнений 1<оши(в неопубликованном мемуаре в 1831 г.). Гамильтон положил эти уравнения в основу своих выдающихся исследований а области механики. Поэтому название канонические уравнения Гамильтона вполне оправдано, хотя работа Гамильтона появилась лишь в 1835 г. [c.196]

Этот пример показывает, что ничего нового по сравнению с уравнениями Лагранжа канонические уравнения движения не представляют. Действительно, и уравнения (33.11), и уравнения (33.14) совпадают с соответствующими уравнениями движения Лагранжа и Ньютона, а остальные уравнения (т. е. уравнения (33.12), (33 15)) являются следствиями определения обобщенных импульсов. И вообще, трудно указать такую динамическую задачу, которую нельзя было бы решить, пользуясь уравнениями Лагранжа, и для решения которой следовало бы обратиться к каноническим уравнениям движения (33.4). Действительное преимущество метода Гамильтона, если говорить о самой классической механике, состоит в том, что он позволяет существенно упростить рассмотрение некоторых общих проблем механики (например, проблемы отыскания интегралов движения). Но главное преимущество метода Гамильтона состоит все-таки в том, что он дает необходимую математическую основу для построения квантовой механики и статистической физики. [c.191]

Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические уравнения Гамильтона, уравнения Якоби— Гамильтона, принцип Гамильтона — Остроградского [c.372]

Материальная точка массы т подвешена с помощью стержня длины / к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью (U (см. рисунок к задаче 49.4). Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения. Массу стержня не учитывать. [c.374]

Пример 87. Свободная материальная точка массой т движется в потенциальном поле. Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения, движения этой точки, если силовая функция поля равна U х, г/, г). [c.372]

Определить функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения шарика, рассматривая его как материальную точку, [c.373]

Для интересующего нас случая полными уравнениями возмущенных движений будут канонические уравнения движения с функцией Гамильтона Н = Т — U. Если в положении равновесия и = О, то Н, очевидно, представляет собой определенно положительную функцию 9s, Рв- Но при этом dH/dt = 0 следовательно, на основании теоремы Ляпунова положение равновесия, где U имеет изолированный максимум, будет устойчиво. Вопрос об обращении теоремы Лагранжа представляет собой важную и трудную зада гу. [c.237]

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений, движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Як оби. подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом. [c.473]

Точка массы т движется в поле, потенциал которого зависит только от 2 и от л = Найдите производящую функцию, осуществляющую переход к системе координат, равномерно вращающейся вокруг оси z со скоростью со. Каков физический смысл нового гамильтониана Сравните полученный результат с результатом задачи 4 главы 7. Выведите новые канонические уравнения движения и объясните физический смысл каждого члена этих уравнений. [c.297]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Теперь встает вопрос о том, как в этом случае сформулировать канонические уравнения движения Гамильтона. Первоначальная задача Лагранжа превращается в задачу [c.216]

Важная роль производящей функции в задаче о движении. В теории канонических преобразований нет более важной теоремы, чем та, которая утверждает, что произвольное каноническое преобразование полностью характеризуется заданием одной-единственной функции S — производящей функции этого преобразования. Подобным же образом и канонические уравнения характеризуются одной функцией —функцией Гамильтона Н. Эти две фундаментальные функции можно связать между собой определенными соотношениями. Для решения задачи о движении достаточно рассмотреть функцию Гамильтона и попытаться упростить ее с тем, чтобы канонические уравнения стали непосредственно интегрируемыми. С этой целью можно применить подходящее каноническое преобразование, причем это преобразование зависит от одной функции S. Поэтому вместо решения целой системы канонических уравнений можно свести задачу к решению одного уравнения, дифференциального уравнения в частных производных. [c.264]

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое или некоторое р явно не входили в функцию Я тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой бы,ло бы достаточное число циклических переменных и р . Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). К сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных [c.62]

Вторая форма принципа Гамильтона. Гамильтоновы канонические уравнения движения. Пусть Г — какая-нибудь кривая в пространстве QT, соединяющая точки В и В. Мы определим гамильтоново действие вдоль кривой Г следующим интегралом [c.221]

Эти уравнения можно получить из канонических уравнений движения (5.108), если в качестве гамильтониана выбрать [c.218]

Свойства интегралов системы канонических уравнений, выражаемые формулами (47), имеют большое значение в теории возмуш,енного движения, позволяя записывать уравнения для элементов возмущенной орбиты снова в канонической форме. С этим обстоятельством мы уже встретились выше, когда, следуя Гамильтону, составляли уравнения (27). Величины определяемые формулами (25), являются скобками Пуассона, и для них Гамильтон установил формулы (47), но с некоторыми ограничениями, о которых говорилось выше. [c.28]

При исследовании движения механических систем методом канонических уравнений Гамильтона полезно придерживаться следующего порядка вычислений. Как и в методе уравнений Лагранжа 2-го рода, прежде всего устанавливаем число степеней свободы рассматриваемой механической системы точек. Затем выбираем независимые обобщенные координаты и составляем выражения для кинетической и потенциальной энергии в функции обобщенных координат и обобщенных скоростей. Составив функцию L = T+U T—V, по формулам (62) находим обобщенные импульсы pi, р2,. .Ps. Разрешая полученную систему линейных уравнений относительно обобщенных скоростей, мы можем по формуле (64) найти И в функции канонических переменных qu 2,. , qs, pu р2,. .., Ps H времени t Зная функцию H = H qu Ръ Ps, 0. можно написать канонические уравнения (67) и затем интегрировать полученную систему уравнений. [c.515]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Рассмотрим функцию ср от 2п переменных д и р и явно входящего в ее выражение времени 1. Полная производная ср по составленная в силу канонических уравнений движения Гамильтона (2.10), равна [c.516]

Начнем с вычисления функции Гамильтона /С, определяемой соотношением (10.11.9) по ней будут составлены канонические уравнения движения (10.11.10). Надо записать в форме (10.11.4) выражение кинетической энергии точки единичной массы. Замечая, что в нашем случае [c.565]

Приведем еще основанный на принципе Гамильтона — Остроградского вывод канонических уравнений движения. Исходим из равенства (10.2.9) [c.646]

Найти функцию Гамильтона и составить канонические уравнения движения осциллятора с вязким трением, функция Ла- [c.206]

Статистическое распределение, В С. ф, принято описывать состояние системы набором сопряженных параметров, напр, набором координат и имиульсов р каждой частицы [это соответствует тому, что для определения движения системы используются канонические уравнения механики урав-иения Гамильтона)], Совокупность всех возможных значений , образует 67У-мерное N — число а-стиц) фазовое пространство системы. Состоянию системы, даваемому определенным набором величии д , р1, отвечает точка в фазовом иространстве, а движение системы ((/ = (I), Р1 = Р1 (г)) происходит вдоль иек-рой линии — фазовой траектории, В дальнейшем точка в фазовом пространстве будет обозначаться просто, как д, р, а траектория д (1), р (/), [c.72]

В 1.13—1.19 были приведены канонические формы уравнений абсолютного и относительного движения задачи п тел. Интегрирование канонических уравнений движения механической схемы с k степенями свободы тесно связано с интегрированием одного уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона — Якоби. Оно имеет вид [c.318]

Другие системы канонических уравнений движения тела вокруг его центра масс связаны с выбором невозмущенного движения, интегрированием надлежащего уравнения Гамильтона — Якоби и каноническими преобразованиями. [c.755]

Рассмотрим несколько простейших примеров на составление гамильтониана и канонических уравнений движения Функция Лагранжа свободной частицы массой т, движущейся в поле И = [c.189]

Аналогичным образом функцию Гамильтона и канонические уравнения движения той же частицы в сферических координатах можно представить в виде [c.190]

В 28 показано, что уравнения Лагранжа (28.11) инвариантны относительно точечного преобразования (28.17), связывающего любые два набора обобщенных координат системы д, Q. Разумеется, что при любом преобразовании (28.17) сохраняют свою форму и канонические уравнения движения (33.4). Однако уравнения Гамильтона допускают более широкий класс преобразований. Это связано с тем, что в методе Гамильтона роль независимых переменных наряду с обобщенными координатами выполняют и обобщенные импульсы р . Поэтому преобразования, сохраняющие форму канонических уравнений движения (33.4), относятся к классу преобразований [c.198]

Покажем, что канонические преобразования сохраняют форму канонических уравнений движения Гамильтона (10.1). Перепишем тождество (10.3) в виде [c.168]

Гамильтон нредло5кил записывать уравнения движения в переменных qi. Pi, 1. И этих переменных уравнения Лагранжа (1) переходят в ра.зрешенную относительно производных систему 2п уран-нений первого норядка, имеющую замечательно симметричную с орму записи. Эти уравнения называют уравнениями Гамильтона Дилн каноническими уравнениями). Переменные qt и pi (i=l,2,...., п) называются канонически сопряженными. [c.241]

КАНДЕЛА (от лат. andela — свеча) (кд, d), единица СИ силы света К. — сила света, испускаемого с площади 1/600000 м сечения полного излучателя (см. Световые эталоны) в перпендикулярном к этому сечению направлении при темп-ре излучателя, равной темп-ре затвердевания платины (2042 К), и давлении 101 325 Па. КАНДЁЛА НА КВАДРАТНЫЙ МЕТР (кд/м , d/m ), единица СИ яркости равна яркости светящейся плоской поверхности площадью 1 м в перпендикулярном к ней направлении при силе света 1 кд. 1 кд/м —10 стильб— Л Л0 ламберт. Прежнее наименование ед.— нит. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ (уравнения Гамильтона), дифференциальные ур-ния движения механич. системы (выведенные ирланд. учёным У. Гамильтоном в 1834), в к-рых переменными, кроме обобщённых координат q , явл. обобщённые импульсы Pi, совокупность qi и Pi наз. канонич. переменными. К- у. м. имеют вид дН [c.241]

Следствие 9.5.4. Существование интегрального инварианта Пуанкаре-Картана есть необходимое и достаточное условие того, чтобы движение еистемы опиеывалось каноническими уравнениями с функцией Гамильтона, входящей в выражение инварианта. Инва-риантноеть интеграла Пуанкаре-Картана может быть положена в основу механики голономных еистем е потенциальными силами. [c.666]

Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения для математического маятнн а массы т н длины /, положение которого определяется углом ф отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному дифференциальному уравнению движения математического маятника. [c.374]

Это — не что иное, как канонические уравнения движения, если переменный параметр t отождествить со временем, а функцию В с функцией Гамильтона Н. Чтобы лучше понять получившийся результат, представим себе, что мы следим за движением фазовой жидкости в течение некоторого интервала времени А . Предположим, что частицы жидкости помечены, так что можно определять положение каждой из них. В какой-то момент времени / сделаем моментальный снимок движущейся жидкости затем в момент t At — второй моментальный снимок. Все частицы жидкости сдвинулись со своих прежних мест, но их перемещения бесконеч- [c.253]

Уравнения (29) описывают движение системы при Н = h = onst и называются уравнениями Уиттекера, Они имеют форму канонических уравнений роль функции Гамильтона играет функция К из (23), а роль времени — координата q. [c.290]

Могут спросить, в чем значение канонических уравнений движения. Здесь можно сослаться на два обстоятельства. Первое из них заключается в том, что квантовая механика (как старая квантовая механика, так и современная — волновая или матричная) основывается скорее на гамильтоновом формализме, чем на лагранжевом следует отметить, однако, что лагранжев формализм оказывается чрезвычайно полезным для полевой теории. Второе же обстоятельство состоит в том, что формализм Гамильтона особенно удобен для теории возмущений, т. е. для рассмотрения таких систем, для которых невозможно получить точные решения уравнений движения. Поскольку такие системы являются скорее правилом, чем исключением, то очевидно, что для теории возмущений имеется необъятная область применения — как в классической, так и в квантовой механике. Мы вернемся к теории возмущений в гл. 7, но в оставшейся части этой главы и в следующей главе мы подготовим весь формальный аппарат, необходимый для того, чтобы перейти к теории возмущен и1. Наконец, нельзя не упомянуть и тот факт, что статистическая механика широко использует гамильтонов подход 2s-Mepnoe (р, (7)-простраиство в статистической механике называется фазовым пространством. [c.126]

Для того чтобы найти функцию W (с/, р), мы пот ажем сначала, как получа10тся канонические уравнения движения из модифигифованного принципа Гамильтона, а именно ii3 условия [c.128]

Однако, если для голономных систем теорема Гамильтона — Якоби в неголономных координатах доказывается совершенно гладко, то в применении к системам с неголономными связями встречается затруднение, состоящее в том, что в канонических уравнениях движения в неголономных координатах число членов с коэффициентами Риччи — Гамеля уменьшается. Вследствие такой неполноты доказательство теоремы Гамильтона непосредственно не проходит. Мы попытались обойти данное затруднение, применяя все исследование к системам типа Чаплыгина с циклическими координатами для независимости же результатов от порядка преобразований, о чем говорилось выше, кинетическая энергия пересчитывалась в нормальных координатах. При всех перечисленных условиях теорема Гамильтона — Якоби доказывается. Однако следует помнить, что даже классическая теорема Гамильтона — Якоби в голономных координатах для голономных же систем далеко не всегда приводит к решению задачи о нахождении всех интегралов уравнений движения, в силу затруднительности интегрирования самого уравнения в частных производных Г амильто а — Якоби. [c.8]

Излагается одно видоизменение известного метода Якоби для решения канонических уравнений движения динамических систем, основанное на свойстве переместимости канонических переменных в уравнении Гамильтона—Якоби. Устанавливается связь производяш,ей функции V с функцией действия по Гамильтону. [c.119]

Задаем вид преобразования переменных, коэффициентами которого являются неизвестные функции, подлежащие определению. Затем, предполагая, что канонические уравнения движения непотенциальной системы в новых переменных имеют гамильтонову форму, находим обобщенный гамильтониан, зависящий от искомых функций. Эти функции определяем из системы дифференциальных уравнений, полученных при отождествлении канонических уравнений движения рассматриваемой непотенциальной системы и канонических уравнений движения, соответствующих построенной функции Гамильтона, после перехода в этих уравнениях к старым переменным. Таким образом находим явный вид преобразования, обобщенную функцию Гамильтона, которая позволяет привести канонические уравнения движения непотенциальной системы к гамильтоновой форме, и обобщенную функцию Лагранжа, которая дает возможность привести уравнения движения непотенциаль- [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...