Каноническая система уравнений движения

Уравнение Гамильтона-Якоби. Теория канонических преобразований приводит нас к методу Якоби интегрирования канонической системы уравнений движения [c.358]

Каноническая система уравнений движения, 12 [c.116]

Таким образом для определения п координат и п количеств движения, как функций от t, мы имеем полную систему 2и диференциальных уравнений п е р в о г о порядка. Их называют канонической формой" уравнений движения консервативной системы i). [c.204]

Пусть характеристическое уравнение, соответствующее линеаризованной системе уравнений движения, задаваемой функцией Гамильтона Я2, имеет только простые чисто мнимые корни (/с = 1, 2,..., п). Тогда, как показано в предыдущем пункте, подходящим выбором канонически сопряженных переменных функцию Н2 можно представить в виде правой части равенства (32). Если еще сделать каноническую замену переменных [c.399]

Приближенное решение исходных уравнений получится из равенств (56) при помощи формул указанного выше канонического преобразования Биркгофа, выражающих старые переменные через новые. Несложно проверить, что в рассматриваемом случае чисто мнимых корней характеристического уравнения линеаризованной системы уравнений движения величины Л/г к = 1, 2,..., п) также будут чисто мнимыми, Л/г = гП/г (/с = 1, 2,..., п), и, следовательно, старые переменные будут рядами синусов и косинусов аргументов, кратных П/г . [c.402]

Построим теперь периодическое решение системы уравнений движения машинного агрегата с нелинейной муфтой, воспользовавшись указаниями в п. 19 и 22. Для перехода к канонической форме записи системы уравнений движения применим обозначения (19.19). Тогда периодическое решение системы уравнений движения можно записать в виде (19.20). [c.226]

Условия устойчивости при учете сжимаемости рабочей жидкости. Возмуш енное движение следящего привода с учетом сжимаемости рабочей жидкости в трубопроводах, соединяющих насос с гидромотором, описывается выведенной выше канонической системой уравнений (7.96). [c.544]

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики ( функция Гамильтона Н) оказалась, при довольно широких условиях, совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений ( канонические уравнения ) равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование. [c.208]

Следовательно, если при интегрировании системы уравнений (22) мы применим метод вариации произвольных постоянных, вводя эти постоянные по формулам (26), связанным с канонической системой невозмущенного движения (19), то и введенные постоянные будут удовлетворять канонической J0 системе уравнений. Выполненный здесь переход от системы уравнений [c.16]

Если построена обобщенная функция Гамильтона и уравнения движения непотенциальной системы приведены к гамильтоновой форме, то для таких систем справедливы все основные теоремы и методы гамильтоновой механики потенциальных систем, в частности теорема Остроградского — Гамильтона — Якоби об интегрировании канонической системы уравнений. На доказательстве этих утверждений не останавливаемся, поскольку оно проводится так же, как указано, например, в работе [16]. [c.169]

Таким образом, функция распределения может быть функцией постоянных движения канонической системы уравнений. [c.176]

Вид спектра колебаний решетки кристалла определяется теоремой Блоха (1.2), которая обеспечивает переход от уравнений (1.42) к конечной системе уравнений движения с помощью преобразования Фурье. Используемое при этом представление в обратном пространстве служит также важной составной частью математического аппарата теории систем с беспорядком замещения ( 9.2), хотя задача и не сводится автоматически в этом представлении к конечной системе. Но, как мы выяснили в гл. 2, в случае более чем одного измерения топологически неупорядоченная система не эквивалентна однозначно определенной, регулярной решетке, так что канонический базис для упомянутого представления отсутствует. [c.515]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

Ясно, что если е = О, то величины Qi и Д в силу уравнений движения будут постоянными. Тем самым мы еще раз доказали теорему 9.4.2 Якоби. Закон движения, соответствующий функции Гамильтона Но, имеет вид преобразования координат, в котором изменяется только 1, а величины а,-, Д, г = 1,..., 71 принимаются постоянными. Закон движения с функцией Гамильтона Я дается точно такими же формулами, что и закон движения с функцией Гамильтона Но, но координаты 1,..., о , Д,..., Д заменяются решением системы канонических уравнений с функцией Гамильтона еНх. [c.696]

ДИМ к системе канонических уравнении движения механических систем [c.103]

Точки, тела, масса, движение, уравнения движения, возможное (действительное, виртуальное) перемещение, равновесие, уравнения равновесия, внутренние силы, кинетическая энергия, потенциальная энергия, полная энергия, центр тяжести, центр масс, состояния покоя, отклонение (из положения покоя), положение, характеристика. .. системы. Неразличимость. .. инерционных систем. Канонические уравнения. .. стационарной системы. [c.43]

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [c.145]

Рассмотрим теперь дифференциальные уравнения движения системы в канонических переменных. [c.145]

Канонические уравнения движения материальной системы [c.145]

Полученные таким способом уравнения называются каноническими уравнениями движения системы, так как они решены относительно старших (первых) производных от искомых функций. Этим объясняется также введение термина канонические переменные. [c.147]

Если система движется в консервативном поле, то 0 - = 0 канонические уравнения движения принимают вид [c.147]

Рассмотрим теперь канонические уравнения движения голо-номной системы материальных точек в неголономной системе координат. Как и выше, введем обобщенные импульсы [c.161]

При доказательствах интегральных принципов вводятся частные предположения о свойствах сил, действующих на точки системы, и свойствах связей. Но и здесь были получены из принципов М. В. Остроградского уравнения движения систем с голо-номными связями в форме уравнений Лагранжа второго рода, а из принципа Гамильтона — Остроградского — система канонических уравнений движения. [c.210]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Напомним, что первым интегралом канонической системы дифференциальных уравнений движения называется функция времени и канонических переменных, превращающаяся в постоянную величину на основании дифференциальных уравнений движения, т. е. после замены q, . ... р, . ... pN функциями [c.366]

Примечания, а) Множитель Якоби системы канонических уравнений движения равен единице. [c.395]

Предположим теперь, что система линейна, то есть дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид уравнений (4.2) или в канонических переменных — уравнений (4.7). В сделанных предположениях (корни характеристического уравнения простые) диффе- [c.99]

Дифференциальные уравнения движения механической системы имеют в новых переменных каноническую форму, так как принцип наименьшего действия в них имеет такой же вид, что и в исходных переменных, [c.279]

Это и будут канонические уравнения движения, данные Гамильтоном. Они будут первого порядка и число их равно шести. Они определяют шесть переменных д,, д , дз, р, Рз, />з в функции времени и шести произвольных постоянных. Для определения движения системы достаточно найти значения параметров д , д , д% в функции времени, так как только они участвуют в определении положения точки. [c.468]

Точка массы т движется в поле, потенциал которого зависит только от 2 и от л = Найдите производящую функцию, осуществляющую переход к системе координат, равномерно вращающейся вокруг оси z со скоростью со. Каков физический смысл нового гамильтониана Сравните полученный результат с результатом задачи 4 главы 7. Выведите новые канонические уравнения движения и объясните физический смысл каждого члена этих уравнений. [c.297]

Говоря о применении канонических преобразований к решению задач механики, мы указывали на два метода. Один из них относится к тому случаю, когда гамильтониан системы остается постоянным. В этом случае существует такое преобразование, при котором новые канонические координаты являются циклическими, и тогда интегрирование новых уравнений движения становится тривиальным. Другой метод состоит в отыскании такого канонического преобразования, которое осуществляет переход от координат q t) и импульсов p t) к начальным координатам q to) и начальным импульсам p to). Уравнения преобразования, связывающие старые и новые канонические переменные, будут при этом иметь вид [c.301]

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. [c.304]

Предстапление функции Гамильтона в виде (53) можно эффективно использовать для приближенного интегрирования канонических дифференциальных уравнений движения. Для этого пренебрежем в (53) членами Я, которые имеют более высокую степень относительно Ph, не кели функция И. Тогда Н — П. Замечательно, что система канонических уравнений с функцией Гамильтона /7 = Я (g pi,. . ., (7 р ) сразу интегрируется. Действительно положим Tk = qhPh- Тогда уравнения с функцией Гамильтона и запишутся в виде [c.323]

В этой главе описываются некоторые методы, приложимые к системам, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но вместе с тем некоторая упрощенная задача — называемая невозмущеиной задачей — допускает точное решение. При этом предполагается, что различие между интересующей нас возмущенной системой и упрощенной невозмущенной системой может рассматриваться как малое возмущение. В первом параграфе рассматриваются прямые методы трактовки возмущений эти методы используются для исследования ангармонического осциллятора. Во втором параграфе излагается каноническая теория возмущений, на которой основывается кваи-товомехаинческая теория возмущений. Рассмотрен также кратко вопрос о секуляриых и периодических возмущениях. [c.182]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

Считая произвольными постоянными иевозмущенного движения элементы Якобн, мы определим последние в возмущенном движении следующей канонической системой уравнений [c.690]

Уравнения движения л-меркого твердого тела и симметризуемые системы. Интересным классом СГТ со многими интегралами движения являются уравнения Эйлера движения -мерных твердых тел. и уравнения входят в один класс с каноническим триплетом —уравнениями движения трехмерного твердого тела с закрепленной точкой dM/dt = [M, О]. Угловые скорости 5 ь евклидовом трехмерном пространстве можно отождествить с кососимметрическими матрицами порядка три, Q = = —О. Векторное произведение [М, Q] соответствует коммутатору матриц [М, 2] = Лi Q —Q JM. Вектор момента М в ортогональном базисе осей инерции тела записывается в виде М = A Q-j-Q А, где Л = (Л,,-) —диагональная матрица, > 0. Угловая скорость /г-мер-ного твердого тела задается кососимметрической матрицей О порядка п, момент М относительно тела равен Л Q + Q Л. Уравнения Эйлера движения п-мерного твердого тела имеют следующий вид [c.305]

Покажем, что интегралы канонической системы дифференциальных уравнений движения можно определить через главную функцию Х. Для этого рассмотрим вариацию функции W, предполагая, что из.иенение этой функции вызвано изменением начальных условий движения. Этот способ варьирования принадлежит М. В. Остроградскому. [c.369]

В равенстве (II. 377а) — (11.378) входит 2М — 2 постоянных и Ь . Кроме них входят к и 1о — всего 2М независимых постоянных. Следовательно, вновь найдено общее решение канонической системы дифференциальных уравнений движения. [c.375]

Практический смысл канопнческих преобразований состоит в упрощении уравнений движения, в выборе таких иовых координат в фазовом нространстве, которые более удобны для решения задачи о движении системы, нежели исходные старые координаты. Метод канонических преобразований является широко распространенным и эффективным методом последования гамильтоновых уравпеиий. [c.286]

О линейных гамильтоновых системах дифференциальных уравнений. Пусть в системе (1) функция Гамильтона не зависит от времени и система допускает решение, для которого величпньс Qi, Pi (г—1, 2,. .., п) постоянны. Это решение отвечает положеппю равновесия механической системы, имеющей уравнения движения (1). Так как перепое начала координат является каноническим [c.316]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...