Фазовые колебания при малых амплитудах

Фазовые колебания при малых амплитудах [c.44]

Формула (2.29) получена в предположении малых амплитуд фазовых колебаний. При увеличении амплитуды фазовых колебаний их частота уменьшается и стремится к нулю при приближении к сепаратрисе. [c.36]

Из фазового портрета видно, что при малых амплитудах колебаний, как и в случае идеального маятника, фазовые траектории близки к эллипсам, т. е. малые движения в нелинейной системе близки к гармоническим колебаниям в линейной системе. [c.33]

Как показывает анализ, при малых значениях отрезка времени приведенное выше представление р (t) как кусочно-постоянной функции может быть использовано не только в механизмах переменной структуры, но и в качестве достаточно хорошей аппроксимации соответствующих функций, полученных для механизмов с плавным изменением собственной частоты. Для описания амплитуд колебаний воспользуемся точным решением, приведенным в п. 15. Сначала исследуем поведение системы на фазовой плоскости z (2) (рис. 94, б). При этом, как и в п. 32, примем [c.312]

Зависимость коэффициента относительного демпфирования (х) от установившегося значения входной координаты х = х, относительно которой происходит изменение управляющего сигнала при колебании привода в малом (рис. 6.19), показывает, что демпфирование привода с увеличением координаты х = х увеличивается. На рис. 6.19, кроме того, представлены графики условных коэффициентов относительного демпфирования амплитудной 1а и фазовой характеристик дроссельного привода (см. рис. 6.17 и 6.18) при его гармонических колебаниях в большом , т. е. при входных амплитудах, изменяющихся в пределах О < л- Хт. Коэффиииент определялся по величине амплитудного всплеска на частоте резонанса амплитудно-частотной характеристики, а коэффициент —по крутизне измене-882 [c.382]

В момент времени 2 достаточное условие (4.50) не выполняется, а условие (4.42) является истинным. Как видно из рис. 4.106, с течением времени фазовая траектория покидает малую окрестность положения равновесия, но остаётся внутри сепаратрисы в пределах области колебательного движения. При этом тело совершает колебания с возрастающей амплитудой. Такой резонансный режим движения устойчив. [c.136]

Допустим, что фазовые колебания — гармонические для всех значений амплитуд. Это вполне справедливо для малых амплитуд и примерно выполняется для больших амплитуд при скоростях волны, не очень близких к скорости света. [c.36]

Интересно проследить группировку частиц в окрестности равновесной фазы. Для малых амплитуд фазовых колебаний, т. е. для коротких начальных сгустков, коэффициент группировки зависит линейно от величины равновесной фазы. Результаты вычислений показали, что при небольших амплитудах фазовых колебаний напряженность поля ускоряющей волны мало влияет на группировку. [c.48]

Условие 5 1 означает, что расталкивающие силы не должны превышать фазирующих. Угловая частота малых фазовых колебаний 0 (8.8) имеет наибольшее значение, равное о, при малой плотности заряда в сгустках (при 5 = 0). С увеличением плотности заряда угловая частота 01 уменьшается и при 5=1 обращается в нуль. Рассмотрим характер изменения частоты и амплитуды малых фазовых колебаний вдоль ускорителя. Как видно из выражений (8.8) и (8.3), [c.166]

При /X = О мы про этот осциллятор все знаем (см. рис. 15.1). Рассмотрим его поведение при /х <С 1 в трехмерном фазовом пространстве, где третьей координатой является время 1. Физически кажется очевидным, что качественное отличие неавтономных движений от автономных появится в том случае, когда под действием внешней силы осциллятор в разные моменты времени попадает в области с качественно различным характером поведения (на фазовой плоскости этим разным движениям соответствуют области внутри или вне сепаратрисы). Проще всего это увидеть, если синусоиду в (15.9) заменить периодической последовательностью прямоугольных импульсов. Два раза за период фазовый портрет (см. рис. 15.1д) сдвигается то влево, то вправо на величину порядка ц. Для колебаний малой амплитуды эти пульсации пройдут почти незамеченными — движения останутся простыми. Движения же, близкие к сепаратрисе, могут оказаться сложными (см. гл. 13). Эта сложность связана с существованием в пространстве системы (15.8) [c.324]

Под действием вибраций в гидравлическом тракте насоса и в подсоединенных к нему трубопроводах возникают колебания дав. ления, частота которых соответствует частоте механических коле, баний. Наибольшие амплитуды колебаний давления (б/ 1=0,05 0,7 МПа) наблюдались перед насосами (рис. 4), в тракте насоса (за колесом) и за насосом величина колебаний давления значительно меньше (бр2=0,02- 0,2 МПа). Колебания давления на вы. ходе из насоса регистрировались без фазового сдвига по отношению к колебаниям давления на входе в насос. Амплитуды колебаний давления возрастают с увеличением перегрузок пропорциональ. но квадрату частоты колебаний. При амплитудах колебаний давления, примерно равных уровню давления на входе в насос, возникали разрывные колебания жидкости. Ниже проведен анализ гармонической формы колебаний, при этом нижний предел исследований ограничен частотами 20 Гц, так как колебания давления при малых перегрузках соизмеримы с шумами. [c.232]

Форма рельефа не изменяется в течение одного или нескольких периодов, если не считать колебаний малой амплитуды с частотой вибраций. Однако в течение времени, большого по сравнению с 1/0, происходит перемещение холмов вдоль оси вибраций из центра к боковым сторонам полости. Наблюдения в стробоскопическом освещении показывают, что, как правило, один или несколько холмов в центре полости остаются неподвижными. Периодически от них отрываются и начинают движение в ту или другую сторону холмы меньшего размера. При движении эти холмы могут делиться, в результате чего длина волны рельефа понижается. Таким образом, чем ближе к стенке, тем короче длина волны рельефа и тем выше фазовая скорость движения холмов. Наиболее сильно этот эффект проявляется в интервале 0.3 < < 1. В случае XV < 0.3 высота и длина волны рельефа малы по сравнению с размером полости, и он остается практически неподвижным, за исключением небольших областей, граничащих с боковыми стенками полости. В случае интенсивных вибраций ( У 1.5), когда лишь один или два холма занимают всю полость (фиг. 2, ж), движение рельефа также отсутствует, наблюдаются лишь слабые осцилляции его формы с частотой, на несколько порядков меньшей частоты вибраций. Эти колебания исчезают при XV > 2, когда в полости умещается лишь один холм, или его часть (фиг. 2, з). [c.124]

При наличии сложного инвариантного множества, если бы фазовая точка могла оставаться в его малой окрестности, или, еще лучше, к нему асимптотически приближаться, появляется новая возможность хаотического изменения разности фаз и, в соответствии с этим, амплитуды колебаний. Такой синхронизм естественно назвать стохастическим синхронизмом. Стохастичность его проявляется на фазовом портрете отображения в медленном хаотическом блуждании фазовой точки в окрестности точек О1, О2,. .., Ор и кривых 8 и (рис. 6.41). [c.157]

Это можно установить следующим образом. Если амплитуда X < 1, то 7 — х > О, и поэтому в системе при х < 1 действует отрицательное вязкое трение. Вследствие этого при х < 1 амплитуда колебаний возрастает, а в системе происходит накопление энергии. Если же х> 1, то 1—х < О, и трение делается положительным. Поэтому колебания большой амплитуды будут затухать, а малой нарастать. В системе должны установиться незатухающие колебания, к которым будут стремиться при ->оо все соседние движения. На фазовой плоскости будем иметь изолированную замкнутую траекторию — устойчивый предельный цикл, на который будут наматываться остальные траектории. [c.229]

Круговая частота со = к к АВу -, период Т = 2л/со. В фазовом пространстве X, У траектории движения такого осциллятора представляют собой концентрические эллипсы в окрестности точки Х°, У°. Для конечной амплитуды колебаний около точки X , К траектории деформируются, но остаются замкнутыми с непрерывно изменяющимся периодом. Таким образом, модель Лотка — Вольтерра связана с существованием бесконечного числа периодических траекторий, из чего следует отсутствие затухания флуктуаций. Наложение малых возмущений приводит к переходу системы от одной орбиты к другой с разными частотами, при этом отсутствует какая-либо предпочтительная орбита. [c.79]

Фаза поля (27) при фиксированном времени уменьшается с ростом г, и при Ф 1 расположен первый горб возмущения для того, чтобы были пространственные колебания, фаза должна меняться на величину порядка 2тг, при Ф 1 колебаний нет. Положение этого горба определяется формулой г 2 др/А, оп движется с ускорением д/2. На самом деле из (28) следует, что амплитуда этого горба очень быстро оказывается настолько малой, что оп становится практически незаметным. Затем то же самое происходит со следующим горбом, и т.д. Каждый горб движется с локальной фазовой скоростью, которая вдвое превышает групповую скорость пакета. Отдельные горбы рождаются вблизи внутренней границы круга, пробегают по области возмущения и, постепенно уменьшаясь но амплитуде, исчезают вблизи внешней границы области. В фиксированным момент времени при увеличении радиуса значение локального волнового числа уменьшается, следовательно длина волн растет. Поэтому ширина горбов увеличивается по мере того, как он продвигается от внутренней границы области возмущения к внешней. Картина такого [c.103]

Искажения при измерении колебаний, состоящих из многих гармонических составляющих, могут возникнуть, во-первых, за счет изменений отношения амплитуд составляющих колебаний (амплитудное искажение) и, во-вторых, за счет сдвигов их фаз, которые не пропорциональны соответствующим частотам составляющих колебаний (фазовые искажения). Как было указано, амплитудные искажения могут оставаться малыми, если при D 0,6 частоты всех составляющих колебаний меньше собственной частоты ю измерительного прибора. При наличии демпфирования сдвиги фаз для составляющих колебаний, как видно на рис. 146, всегда различны. Для определения искажения используются не сами сдвиги фазы г1), а вызываемые ими сдвиги по времени Дт. Так как if 2я= = Дт (2я/т)), сдвиг по времени будет равен [c.218]

Ультразвуковая колебательная система, изображенная на рис. 55, состоит из ферритовых стержней с обмоткой, постоянных магнитов концентратора в виде двух цилиндров, соединенных конусной частью, крепежного кольца и сменных инструментов. Применение преобразователей с малыми потерями позволило отказаться от принудительной системы охлаждения и уменьшить выходную мощность генератора до 40 вт. Постоянные магниты дали возможность исключить систему подмагничивания. Некоторое уменьшение коэффициента усиления по сравнению с обычным ступенчатым концентратором компенсируется в данном концентраторе лучшей частотной характеристикой. На его конец привинчиваются сменные инструменты, площадь которых не должна быть более 20 мм , так как при такой площади нагрузка не сказывается на режиме резания. Крепление колебательной системы осуществляется в трех точках в узловой плоскости концентратора с помощью винтов, которые ввинчены в крепежное кольцо, укрепленное на станине станка. Такая система обеспечивает достаточную жесткость при минимуме потерь. Высокая добротность колебательной системы привела к необходимости автоматической подстройки частоты генератора на резонансную частоту колебательной системы. В Акустическом институте был разработан макет генератора с фазовой автоподстройкой [70]. Это позволило сохранять постоянную амплитуду колебаний инструмента в широком диапазоне изменения длины инструмента и некоторых других факторов. [c.66]

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяет модуль отношения амплитуды колебаний данного парамера в определенной точке системы к амплитуде возмущающего воздействия, а фазово-частотная характеристика (ФЧХ)—сдвиг по фазе между колебаниями исследуемого параметра и возмущающего воздействия. При линейной системе АЧХ и ФЧХ не зависят от абсолютного значения амплитуды возмущения (если амплитуда возмущения достаточно мала). [c.91]

Ф ( ), О <С t а Т, воздействующий на механическую колебательную систему. Детальный анализ такой задачи сложен и мало надежен, так как требует учета люфтов и нелинейного характера потерь, т. е. введения ряда параметров, которые априорно неизвестны и подлежат экспериментальному определению. К тому же временная зависимость должна быть такой, чтобы не только обеспечить необходимое уменьшение амплитуды колебаний, но и позволить простую реализацию ее в системе управления. Это указывает на целесообразность применения гармонического анализа, основанного на аппроксимации механической колебательной системы упрощенной эквивалентной системой, передаточная функция которой вычисляется по амплитудно-частотной характеристике координаты, полученной экспериментально (рис. 45). При этом нелинейные эффекты будут учтены, поскольку измерения дают эквивалентную гармоническую функцию что касается фазовой информации, которая теряется, и неучитываемых высших гармоник, то ни первый, ни второй фактор в нашем случае несуществен, так как обратных связей по рабочему органу в промышленном роботе нет. [c.103]

МОДУЛЯЦИЯ КОЛЕБАНИЙ, медленное по сравнению с периодом колебаний изменение амплитуды, частоты или фазы колебаний по определ. закону. Соответственно различаются амплитудная, частотная и фазовая М. к. (рис. 1). Возможна и смешанная модуляция (напр., амплитудно-фазо-вая). При любом способе М. к. скорость изменения амплитуды, частоты или фазы должна быть достаточно малой, чтобы за период Т колебания модулируемый параметр почти не изменился. [c.428]

Если решается задача о колебаниях турбулентного потока несжимаемой среды при малых амплитудах расхода и перёпада давления, то амплитудно-фазовую частотную характеристику можно определять по формуле (10.29) в тех случаях, когда по условию (9.114) частоты колебаний являются большими. При этом корректив ХрР получается близким к единице, а корректив вычисляется по формуле (9.91). Для более низких частот, а также для приближенных расчетов амплитудно-фазовая частотная характеристика линии при малых колебаниях турбулентного потока может быть определена по линеаризованному уравнению (10.24). Безразмерную скорость Vq в этом уравнении удобно заменить числом Rey, характеризующим установившееся движение среды, на которое накладываются малые колебания потока. Принимая Rey == vod/v и учитывая соотношение (9.50), имеем [c.222]

На рис. 9 показаны изображенные на фазовой плоскости численные решения уравнений Нолтинга — Непайраса (15) при различных амплитудах давления (цифры около каждой кривой указаны в атм) на частоте / = 500 кгц при / о — 5 10 см. По оси абсцисс отложены относительные значения радиуса пузырька Д/До> а по оси ординат — значение скорости (Ийх (Д/До) где т = 0) . Фазовые портреты построены для некоторых решений, показанных в системе координат (/ // о, со ) на рис. 4. Как видно из фазового портрета, при малых значениях амплитуды изображающая точка, выйдя из соответствующих начальным условиям координат, движется в дальнейшем по замкнутой кривой, близкой к окружности. Следовательно, в этом случае решением являются колебания, близкие к синусоидальным [21]. [c.148]

Нагрузки малой амплитуды, как и выдержка материала под нагрузкой, не являются достаточным условием для разрушения материала по меж-фазовым границам. Они только способствуют проявлению факта ослабленного состояния этих границ, которое материал имеет изначально. Если границы фаз материала не ослаблены, то он не проявляет чувствительности как к выдержке под нагрузкой, так и к нагрузкам малой амплитуды при высокой и, тем более, при низкой асимметрии цикла нагружения. Следует уточнить, что здесь речь идет не о высокочастотных колебаниях, когда единичное приращение трещины не может отвечать каждому акту приложения внешней нагрузкой. В случае высокочастотного нагружения могут играть роль резонансные явления, когда отдельные элементы структуры (например, сами пластины) могут входить в резонанс, вызывая потерю когезивной прочности по межфазовым границам. [c.305]

Это соотношение является уравнением траекторий на фазовой плоскости. Если энергия колебаний очень мала 2кх 1), то фазовая траектория близка по форме к эллипсу т дкх + х /2) = С. Следовательно период малых колебаний совпадает с периодом колебаний на эллипсе. Если же амплитуда колебаний велика, то фазовая траектория лежит внутри эллипса, соответствуюгцего колебанию гармонического осциллятора с той же энергией, и касается его в точках пересечения с осями координат (см. рис. 2.2). При любом значении координаты ж, кроме точек максимального отклонения и нуля, скорость бусинки меньше, чем [c.51]

Зависимость интенсивности второй гармоники от интенсивности основной волны, как видно из этого выражения, является квадратичной. При А = 0 величина /г с ростом длины пути света в кристалле увеличивается по квадратичному закону. (Такой закон преобразования, конечно, имеет место при условии, что коэффициент преобразования мал.) Условие kk = 0 означает, что нелинейные волны поляризации и напряженности поля с частотами 2 oi распространяются с одинаковыми фазовыми скоростями, так что на всем пути фазовые соотношения между поляризацией и напряженностью поля сохраняются. При интенсивность второй гармоники в зависимости от г совершает периодические колебания (рис. 8.2). На пути длиной Lk = = п/А , называемом длиной когерентности фаз, она нарастает до максимума. Вследствие изменившихся фазовых соотношений между поляризацией и напряженностью поля при дальнейшем увеличении пути знак производной амплитуды по г меняется, так что энергия второй гармоники перекачивается обратно в основную волну. На длине пути 2Lk интенсивность второй гармоники падает вновь до нуля. Для сравнения на рис. 8.2 показано нарастание интенсивности (2/i oi)/2 при А = 0 (кривая 1). Это монотонно нарастающая пропорциональна 2 функ- [c.279]

Фазовый портрет этих уравнений при = О изображен на рис. 3.1. К окружности Г, состоящей из состояний равновесий, асимптотически приближаются все остальные фазовые точки, за исключением точки неустойчивого равновесия О. Наличие малых случайных воздействий ( Ф 0) приводит к случайным блужданиям фазовой точки в окрестности Г, т. е. амплитуда колебаний А близка к двум, а фаза медлеппо меняется и может накапливать свои изменения. В установившемся состоянии плотность вероятностей р А, ф) не зависит от угла ф и изображается поверхностью вида, показанного на рис. 3.2. Таким образом, входное случайное воздействие преобразуется в осцилляторе Ван-дер-Поля в выходные флуктуации амплитуды колебаний и случайный дрейф фазы ф. Для отыскания соответствующей плотности вероятностей может быть составлено широко известное уравнение в частных производных Эйнштейна — Фоккера — Планка. С помощью этого уравнепия может быть найдено не только установившееся распределение вероятностей, т. е. уравнение изображенной на рис. 3.2 поверхности, но и процесс ее установления, а также плотности вероятностей перехода из одного состояния Л, ф в другое А, ф за р я т [216, 310, 320, 342]. Эта плотность вероятностей р А, ф А, ф т) при тимеет пределом установившуюся плотность вероятностей р А). [c.59]

Ф(—Q), причем при значениях Q > Qe > О выполняется условие sign Ф(Р) = —sign Q = —1 (см. например, рис. 1.13,а). Если амплитуда колебания достаточно велика, то очевидно, что накопление энергии в интервале О < Q < Qe будет меньше, чем рассеяние ее на полупрямых Q < —Qa и Q > Qe- Поэтому колебания большой амплитуды будут затухать, а малой нарастать, причем в системе установится одно устойчивое периодическое движение. На фазовой плоскости этому движению будет соответствовать состояние равновесия типа неустойчивого фокуса или узла и один устойчивый предельный цикл, на который изнутри и извне наматываются все соседние траектории (рис. 1.13, б). [c.49]

Величина А — Be является медленно меняющейся функцией по сравнению с фазовым множителем ехр (t ooi). Поэтому вынужденные колебания осциллятора вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания с переменной (или модулированной) амплитудой, при этом выражение (39.16) можно переписать в виде [c.222]

Если осциллятор линейный, т. е. в разложении ш х) = + ах+ +Рх +. .. мы ограничиваемся только первым членом, то при действии на осциллятор внешней периодической силы наблюдается, по существу, единственный основной эффект — линейный резонанс (см. гл. 1). Чем меньше потери в осцилляторе, тем острее и выше резонансная кривая (см. рис. 1.9). Что изменится в случае, когда частота зависит от амплитуды Пусть частота внешнего воздействия равна частоте вращения по одной из фазовых траекторий вблизи центра (см. рис. 13.4). Тогда система черпает энергию от внешнего источника и малые вначале колебания нарастают. Это означает, что изображающая точка как бы перемещается последовательно на те фазовые траектории, которым соответствует большая энергия, но, так как осциллятор неизохронный, большим энергиям соответствует уже другая частота. В результате система выходит из резонанса и, начиная с некоторой амплитуды, осцилля- [c.284]

Более детальный анализ показывает, что это предположение обосновано для анизотропной среды ( ор(Маль-пые волны которой имеют -определенные направления поляризаций), но для изотропной среды выполняется лишь в частных случаях, поскольку здесь поляризации нормальных волн произвольны, В общем же случае нелинейного взаимодействия в оптически изотропной среде (например, генер-ации второй гармоники в кристалле типа ОаАз, вынужденном -комбинацианно-м рассея-нии или вынужденном рассеянии Мандельштама — Бриллюэна в жидкостях) уравнения первого порядка являются векторными и описывают одновременно изменение амплитуд и поляризаций -взаимодействующих волн. Более детально этот вопрос рассмотрен в работе [41]. Заметим, кстати, что в теории нелинейных -волновых явлений в диспергирующих средах плодотворным оказывается использование идей, а в ряде случаев и конкретных методов нелинейной теории колебаний (например,. при анализе системы уравнений для связанных волн полезным оказывается метод фазовой плоскости и т. п.). Эта сторона нелинейной оптики подробно обсуждается в работе [41] там же можно найти и -соответствующую библиографию. [c.20]

Кавитационный срыв работы насоса. На рис. 2 показаны переходные процессы, полученные при кавитационном срыве насоса. До срыва насос работал н режиме с коэффициентом напора, близким к номинальному (Я/л2=1) и частотой вращения 10 000 об/мин, биение конца вала составляло 0,2—0,4 мм, вибрация корпуса не превышала 4 g, радиальное усилие было равно 200—400 Н и направлено в сторону меньших сечений спирального ствола. Фазы колебаний по различным направлениям движения ротора достаточно стабильны и характеризуются устойчиво повторяющимися замкнутыми траекториями (ри З,/). При кавитационном срыве коэффициент напора упал до Н1п =0,1 и частота вращения возросла до 33000 об/мин. После прекращения кавитации произошло восстановление исходного режима работы насоса. Общая картина динамического состояния ротора при кавитационном срыве напора существенно изменилась радиальное биение вала увеличилось до 0,7 мм, радиальное усилие достигло 600 Н, причем его направление изменилось на 90°, перепад температуры на подшипнике возрос с до 3°. Сравнительно мало изменялись осевое перемещение ротора и уровень вибраций корпуса насоса. Пульсации давления на входе и выходе из насоса при кавитационном срыве практически полностью исчезли и снова восстановились только после выхода насоса из кавитации. Существенно изменились (см. рис. 3) фазовые траектории колебаний конца вала — произошло увеличение диаметральных размеров замкнутых кривых, свидетельствующее об увеличении амплитуд колебаний по обоим радиальным направлениям, и их расслоение с образованием двойных траекторий, указывающее на появление новой формы колебаний. Кинограммы траекторий движения вала, полученные в условиях [c.316]

Волны типа (5.12) представляют собой колебательное движение среды, бегуш,ее вдоль поверхности. Амплитуда этих колебаний затухает при удалении от плоскости г = О по экспоненциальному закону. Такие волны называются неоднородными. Скорость их распространения всегда меньше скорости звука в среде. На больших расстояниях от поверхности ку > 1) роль этих волн весьма мала, и вклада в диаграмму направленности они не вносят. Отсюда следует, что волна колебательной скорости, бегущая вдоль поверхности с фазовой скоростью с с с, не излучает звука в дальнее поле. Поэтому волновое движение, существующее при таких колебаниях, сосредоточено вблизи поверхности. [c.34]

Общие закономерности Р. р. Скорость Р. р. в свободном пространстве в вакууме равна скорости света с. Полная энергия, переносимая радиоволной, остаётся постоянной, а плотность потока энергии убывает с увеличением расстояния г от источника обратно пропорционально г . Р. р. в др. средах происходит с фазовой скоростью, отличающейся от е и в равновесной среде сопровождается поглощением эл.-магн. энергии. Оба эффекта объясняются возбуждением колебаний эл-нов и ионов среды под действием электрич. поля волны. Если напряжённость поля Е гармонич. волны мала по сравнению с напряжённостью поля, действующего на заряды в самой среде (напр., на эл-н в атоме), то колебания происходят также по гармонич. закону с частотой со пришедшей волны. Колеблющиеся эл-ны излучают вторичные радиоволны той же частоты, но с др. амплитудами и фазами. В результате сложения вторичных волн с приходящей формируется результирующая волна с новой амплитудой и фазой. Сдвиг фаз между первичной и переизлучён-ными волнами приводит к изменению фазовой скорости. Потери энергии при взаимодействии волны с атомами явл. причиной поглощения радиоволн. [c.616]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...