Малые фазовые колебания

Скорость обращения изображающих точек по фазовым траекториям определяется частотой фазовых колебаний. Частота малых фазовых колебаний Q, отнесенная к частоте ш электромагнитной волны, определяется выражением [c.35]

Малые фазовые колебания [c.164]

QqS (ф — фр) — расталкивающее действие собственного заряда сгустков. Отсюда становится ясным физический смысл параметра S. Этот параметр, пропорциональный плотности заряда в сгустках, представляет собой отношение расталкивающей и фазирующей продольных сил при малых фазовых колебаниях. [c.164]

Построим для малых фазовых колебаний графики зависимости между ф и ф, т. е. фазовые траектории. Согласно уравнениям (8.7) и (8.9), эти фазовые траектории имеют вид эллипсов, оси которых совпадают с осями координат и центр — с началом координат (рис. 59). Такие эллипсы называются соосными. [c.165]

Условие 5 1 означает, что расталкивающие силы не должны превышать фазирующих. Угловая частота малых фазовых колебаний 0 (8.8) имеет наибольшее значение, равное о, при малой плотности заряда в сгустках (при 5 = 0). С увеличением плотности заряда угловая частота 01 уменьшается и при 5=1 обращается в нуль. Рассмотрим характер изменения частоты и амплитуды малых фазовых колебаний вдоль ускорителя. Как видно из выражений (8.8) и (8.3), [c.166]

Изменение величины (1 — 5) л<ь1п фр обычно настолько медленно, что им можно пренебречь. Следовательно, согласно (8.12), частота малых фазовых колебаний убывает вдоль ускорителя из-за роста скорости частиц и релятивистского возрастания их массы. [c.166]

Подставив закон изменения частоты 1 (8.12) в решение (8.7), найдем, что амплитуда малых фазовых колебаний убывает вдоль ускорителя по мере роста импульса частиц. [c.166]

Длина периода малых фазовых колебаний составляет = = 2nv/Qi. Общее число фазовых колебаний частицы вследствие уменьшения их частоты (8.12) на протяжении ускорителя сравнительно невелико. В нерелятивистском приближении и при малых токах (S = 0) оно выражается интегралом [c.167]

Частота малых фазовых колебаний находится из (3.12) [c.20]

Напомним, что этот вывод, как и вышеприведенные оценки для вторичных резонансов, справедлив лишь для малых фазовых колебаний на первичном резонансе. Вблизи сепаратрисы резонанса положение существенно, изменяется (см. п. 4.36).— Прим. ред. [c.134]

Вторичные резонансы. Для получения гамильтониана вторичного резонанса, как и в п. 2.46, перейдем к переменным I, 9 для малых фазовых колебаний. При О находим [c.138]

На рис. 3.12 и 1.14 инвариантные кривые системы (3.4.31), показанные пунктиром, сравниваются с результатами численного моделирования. Отношение частоты малых фазовых колебаний [ср. (2.4.30)] [c.236]

Это отношение можно выразить через частоту малых фазовых колебаний (4.1.28) или локальное число вращения Со = соо/2я [c.256]

Ломаная линия — численные данные для траектории движения, усредненной на интервалах А/ 500 й ЗГо, где Го — период малых фазовых колебаний I, Р — начальная и конечная точки траектории пунктирная линия — линия резонанса. [c.380]

Из фазового портрета видно, что при малых амплитудах колебаний, как и в случае идеального маятника, фазовые траектории близки к эллипсам, т. е. малые движения в нелинейной системе близки к гармоническим колебаниям в линейной системе. [c.33]

Для автоколебательной системы, для которой функцию [ у нельзя считать малой, фазовый портрет системы имеет вид, показанный на рис. 5.16. В такой системе колебания заметно отличаются от гармонических, процесс установления стационарных автоколебаний происходит значительно быстрее, чем в случае, показанном на рис. 5.15. Энергообмен в системе значительно больше, чем в системах томсоновского типа. Автоколебательная система такого типа занимает промежуточное положение между системами томсоновского и релаксационного типов. [c.199]

По данным теории Флетчера и Гельмгольца [4] слух не реагирует на фазу колебаний синусоидальной звуковой волны, регистрируя только ее амплитуду и частоту. В случае сложных колебаний, состоящих из нескольких частотных составляющих, слух непосредственно не реагирует на фазовые сдвиги между ними, воспринимая только амплитуды и частоты колебаний каждой из составляющих, если они не попадают в одну и ту же критическую полоску слуха. Это объясняется тем, что каждая из частотных составляющих звука воспринимается своим участком основной мембраны, а для восприятия фазы колебаний у нее нет аппарата. Сдвиг по фазе может быть замечен, когда он превращается в запаздывание во времени. Малые фазовые сдвиги в ряде случаев могут обнаруживаться слухом из-за его нелинейности (см. 2.10). [c.34]

ФОКУСИРОВКА ЧАСТИЦ в ускорителях — заключается в создании таких условий, когда малые поперечные отклонения ускоряемых частиц от расчетной траектории остаются ограниченными и не нарастают со временем, т, е, в обеспечении поперечной устойчивости движения. Устойчивость движения в продольном направлении — т. и, фазировка частиц (см. Фазовые колебания), существенная для процесса ускорения, в большинстве случаев в циклич, ускорителях не связана с Ф, ч. Это позволяет рассматривать Ф. ч. независимо от ускорения, т, е, при движении частиц в постоянном магнитном поле с постоянной энергией. [c.326]

Хотя фазовое движение частиц в ускорителях может быть описано известными уравнениями фазовых колебаний, использование уравнения фазовых колебаний при исследовании продольного движения частиц в линейных ускорителях электронов мало эффективно. Объясняется это довольно быстрым увеличением массы электрона при ускорении, что приводит к необходимости решения дифференциального уравнения фазовых колебаний с быстро изменяющимися коэффициентами. [c.23]

Формула (2.29) получена в предположении малых амплитуд фазовых колебаний. При увеличении амплитуды фазовых колебаний их частота уменьшается и стремится к нулю при приближении к сепаратрисе. [c.36]

Допустим, что фазовые колебания — гармонические для всех значений амплитуд. Это вполне справедливо для малых амплитуд и примерно выполняется для больших амплитуд при скоростях волны, не очень близких к скорости света. [c.36]

Интересно проследить группировку частиц в окрестности равновесной фазы. Для малых амплитуд фазовых колебаний, т. е. для коротких начальных сгустков, коэффициент группировки зависит линейно от величины равновесной фазы. Результаты вычислений показали, что при небольших амплитудах фазовых колебаний напряженность поля ускоряющей волны мало влияет на группировку. [c.48]

После группировки электроны становятся релятивистскими и далее ускоряются в секциях волновода с фазовой скоростью, равной скорости света. Ввиду малого различия в скоростях волны и электронов фазовые колебания прекращаются и электроны медленно скользят относительно волны. [c.52]

Рис. 59. Эллиптические фазовые траектории, соответствующие малым (линейным) фазовым колебаниям.

При т< 0,8 нелинейность фазовых колебаний уже сравнительно мало заметна. [c.170]

Стоящие здесь интегралы берутся лишь численно. Из-за нелинейности фазовых колебаний их период Т ф и угловая частота Оф = = 2л/Гф зависят от размаха колебаний (от величины С). А именно, угловая частота Оф, будучи для малых колебаний равной с увеличением размаха колебаний убывает и для сепаратрисы обращается в нуль, [c.171]

При малых возмущающих (фазовых) колебаниях параметрические резонансы возникают, как известно, когда отношение частот возмущаемых (радиальных) и возмущающих колебаний равно половине целого числа, [c.223]

Если фазовые колебания не малы, то в окрестности каждого из отношений частот (10.9) имеется целая полоса непрерывного параметрического резонанса (область неустойчивости) радиальных колебаний. С увеличением размаха фазовых колебаний эти области расширяются. [c.223]

Рассмотренные выше малые фазовые колебания (см. 8.2), преобразования пучка в группирователях и разгруппирователях ( 8.5) и переход к более короткой волне, как нетрудно проследить, дают примеры постоянства фазовой площади как при медленных, так и при быстрых преобразованиях пучка. [c.178]

И б при ЩеФо/М = 0,025 и 0,1 соответственно. На рис. 2.10, а видны первичные резонансы, относительная частота малых фазовых колебаний которых равна (о /й = 1/10, что согласуется с формулой (2.4.71). Вторичные резонансы в этом случае слишком малы И поэтому неразличимы. На рис. 2.10, б видны вторичные резо- [c.141]

Сопоставим эти результаты с тем, что получается в случае перпендикулярной волны, который численно исследован Карни [219 J. На рис. 2.11, а и б приведены его результаты для поверхности сечения ф = л при / = — 30. Относительная частота малых фазовых колебаний первичного резонанса а = o /ii it 1/9 для меньшего возмущения и а 1/5 для большего. В первом случае инвариантные кривые почти совпадают с полученными из усредненного гамильтониана (2.4,65) ) при kz = 0. При большем возмущении возникает, как и ожидалось, цепочка из пяти островов и другие уже привычные нам детали. Размер первичных резонансов примерно одинаковый в обоих случаях, поскольку, как было показано выше, этот размер не зависит от возмущения. Как и для косой волны, исследование проводилось при значениях кхР, близких к максимуму fi k p). Аналогичные результаты для другой задачи были получены Фордом и Лансфордом [134]. [c.142]

Возможно, что колебания мало влияют на фазовый переход. Разность энергий представляет собой лишь небольнгую часть полной нулевой энергии колебаний. С другой стороны, возможно, что существенно затрагивается лишь малое число колебаний, однако это маловероятно, так как в переходе, по-видимому, принимает участие большая часть колебаний. Если это заключение правильно, то необходимо иметь возможность рассматривать методами теории возмущений, если не электроны, то колебательные координаты ([120], стр. 913). В этом случае можно было бы соответствующим каноническим -преобразованием заменить электронно-фононное взаимодействие взаимодействием между электронами. Таким образом, можно было бы строго учесть взаимодействие, даваемое (40.11), и попытаться получить хорошее описание электронных волновых функций при помощи гамильтониана, включающего этот тип взаимодействия. (Сохранение только диагональных членов, как это было сделано в теории возмущений, вряд ли может оказаться удовлетворительным приближением.) Тем самым проблема электронно-фонон-ного взаимодействия будет заменена не намного менее трудной проблемой рассмотрения газа Ферми—Дирака с настолько большими взаимодействиями, что к ним нельзя применить методы теории возмущений. [c.778]

Осн. механизмом, ограничивающим П. н. в слабо-турбулентной плазме, является индуциров. рассеяние ленгмюровских волн на ионах, к-рое приводит к перекачке колебаний из резонансной с пучком области в область больших фазовых скоростей. В сильнотурбу-левтной плазме существ, влияние на развитие П. н. оказывает модуляционная неустойчивость, к-рая возникает при достаточно высоком уровне энергии возбуждаемых волн и приводит к перекачке энергии возбуждаемых волн в область малых фазовых скоростей, где происходит их диссипация в результате затухания Ландау. Откачка колебаний из резонансной области может либо вообще сорвать П. н., либо существенно снизить уровень энергии возбуждаемых волн. [c.184]

Возмущения поля. Учёт отклонений поля от идеального приобретает особо важное значение в системах с большой длиной проходимого пути (в кольцевых ускорителях и коллайдерах) или в системах с очень малыми поперечными размерами и малым фазовым объемом пучка (в линейных электрон-позитронных коллайдерах). Исследование неиде-альностей поля приводит к появлению малых дополнит, членов в правой части ур-ний движения. Аналитич. решение этих ур-ний может быть найдено с помощью теории возмущений. При этом решение линеаризованных ур-ний движения в идеальном магн. 1юлс используется в качестве первого приближения, Анализ показывает, что в кольцевых ускорителях нсидеальности поля приводят к раскачке колебаний и возникАОвению поперечных резонансов. Общее условие резонанса имеет вид [c.334]

Решение уравнения (31.21) для изотропной плазмы с максвелловским распределением соответствует волнам поперечной поляризации с фазовой скоростью, большей скорости света, а поэтому практически не отличается от результата, получаемого при полном пренебрежении тепловым движением частиц плазмы. Тот факт, что фазовые скорости поперечных волн превышают скорость света, означает, что невозможно выполнение условия черенксвского излучения. Напротив, продольные волны, определяющиеся корнями уравнения (31.20), могут иметь малые фазовые скорости, а поэтому могут излучаться равномерно движущейся заряженной частицей. В окрестности области прозрачности, где действительная (е ) часть диэлектрической проницаемости обращается в нуль, мнимая (е ) часть также мала, что и соответствует возможности слабозатухающих колебаний. При этом мнимая часть диэлектрической проницаемости имеет тот же знак, что и частота. Поэтому в пределе малой е имеем [c.116]

В (9) учитываются лишь взаимодействия иа расстоянии iS D, соответствующие парным столкновениям. Кроме того, частицы могут возбуждать собств. колебания П. с цлинами волн, значительно большими D. В частности, это относится к электронам с большой скоростью, к-рые могут возбуждать колебания П черенковским механизмом. Благодаря существованию в П. замедленных волн с малой фазовой скоростью (к ним относятся, напр., ленгмюровские волны) в П. часто выполняется условие черепковского излучения — превышение скорости частицы над фазовой скоростью волн [17, т. 2]. Волны в П. также дают вклад в процесс максвеллизацни частиц, причем даже в термодинамически равновесной П. этот вклад всего лишь в кулоновский логарифм раз меньше, чем (9). В неравновесной П. с сильно развитыми шумами эффект взаимодействия частиц с волнами становится преобладаю1Цим. При этом П. переходит в турбулентное состояние. [c.18]

Фазовый интервал а — I (см. рис. 9), который занимают частицы в начальный момент времени, будет при движении электронов относительно волны сокращаться до некоторого минимума, а затем начнет вновь увеличиваться. Интересно определить ближайший момент, когда в минимальный интервал фаз соберется наибольшее число частиц. Положение частиц через отрезок времени, несколько больший 1/4 периода фазовых колебаний (для малых входных фаз), показано на рис. 9 (а — ). При этом частица с крайней входной фазой 2. двигаясь по фазовой траектории, достигает фазы11)з одновременно с частицей, имевшей входную фазу Полагая фазовые колебания гармоническими, можно найти соотношение между тремя величинами орх, 2 и 3. К сожалению, это соотношение не может быть разрешено в явном виде относительно входящих в него величин. На основании численных расчетов найдена связь между числом частиц и величиной фазового интервала, на котором они сгруппированы. Эта связь представлена кривой 2 на рис. 8, которая показыва- ет, что группирующие свойства волновода с постоянной фазовой скоростью лучше, чем у резонатора. Например, с помощью волноводного группирователя в том же фазовом интервале, равном одному радиану, может быть сгруппировано около 75% частиц. Как и для резонаторного группирователя, чем меньше выбирается фазовый интервал на выходе волноводного группирователя, тем большую плотность частиц получают, но одновременно число электронов в этом интервале сокращается. Важным вопросом является нахождение длины L группирующей секции такого волновода для получения сгустка электронов с заданной фазовой протяженностью. Длина секции связана с временем пролета секции равновесной частицей ip выражением [c.37]

Гораздо более сложно учесть влияние фазовых колебаний при малых энергиях частиц, когда колебания эти сравнительно быстры ( ф < Ьрад)- Воспользуемся соотношением (9.57). При каждом изменении коэффициента v = от периода к периоду размах радиальных колебаний изменяется пропорционально Уф. Величина % заключена между нулем и единицей и зависит от фаз радиальных колебаний в местах изменения Уф. В наихудшем случае, который можно себе представить, х = О при увеличениях Уф и х = 1 при уменьшениях Vф. Это случай максимально выраженного параметрического резонанса. Размах радиальных колебаний возрастает при таком резонансе в А>ф J,aJ,(,/vф раз за период изменения Уф. Как видно из диаграммы устойчивости (см. рис. 70), при Gg = 10 12 и приближении к границам устойчивости вплоть до линии v = 1/2 отношение может достигать 1, 2, причем величина Vф v [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...