Плотность вероятностей перехода

Функция 1] , определяемая соотношением (7.151), есть плотность вероятности найти систему в момент времени t в состоянии, в котором переменная у имеет значение у при условии, что в начальный момент времени она имела значение у. Функцию if, следовательно, можно рассматривать как плотность вероятности перехода системы из состояния у в состояние <су за промежуток времени t. [c.181]

Функции F х, t , т) называются также функциями перехода, а илотности ф х, til, т) — плотностями вероятности перехода (от значений к значению х). [c.206]

Статистич. характеристики М. с. п. находят, исследуя решения кинетич. ур-ний с темн или иными начальными и граничными условиями. Так, плотность вероятности переходов процесса Орнштейна — Уленбека, удовлетворяющая ур-нию (1) с начальным условием W x,0 y) = б(з — у) равна [c.47]

Марковские процессы (процессы без последействия), для них многоточечные вероятности выражаются через одномерные плотности распределения и двухточечные плотности вероятности перехода. [c.565]

Имея данные по плотностям вероятностей переходов Я,,, можно рассчитать вероятности всех состояний системы в разные моменты времени, т. е. определить вероятность первого состояния Pi t), второго Рг(0 и т. Д. [c.46]

Ввиду того, что каждая частица одновременно взаимодействует с очень большим числом соседей, влияние ее на распределение остальных частиц крайне незначительно. Тем самым нахождение функции распределения частиц системы сводится к задаче о движении одной частицы в поле, созданном остальными частицами. Благодаря движению частиц это поле флуктуирует, и движение выбранной частицы является стохастическим (вероятностным). Для таких случайных процессов можно ввести понятие вероятности перехода частицы из точки X в элемент объема dy вблизи точки у за время г. Символами х и у мы обозначаем точки, символом с1у — элемент объема г-пространст-ва. Обозначая И (у,х т,() плотность вероятности перехода из точки х в точку у за время г, для вероятности перехода получим [c.453]

Выясним, как связана плотность вероятности перехода W(y,x т, t) с функцией распределения f(r,p, t) - f x, i). Пусть при t = Q функция распределения в точке х / -пространства равна/ (х, 0). Для изменения числа частиц в объеме dx за время t, т. е. разности между числом частиц, ушедших из объема dx за время t и пришедших в объем dx за то же время, имеем [c.458]

Рассмотрим газ в отсутствие внешнего поля. В этом случае вследствие однородности пространства и времени плотность вероятности перехода может зависеть только от расстояния между точками и не должна зависеть от времени [c.459]

Разложим плотность вероятности перехода ( (у,х т,1) при малых г по степеням г. Ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получаем [c.461]

Используя (84.4), получим выражение для плотности вероятности перехода [c.462]

В этом случае выражение для плотности вероятности перехода молекулы газа из состояния со скоростью v в состояние со скоростью v равно (см. (68.52)) [c.542]

Стохастические дифференциальные уравнения (5.14) описывают эволюцию компонент двумерного марковского процесса. Плотность вероятности перехода или совместная плотность вероятности компонент р (xi, ух, t) подчиняется прямому уравнению Колмогорова (уравнению Фоккера—Планка—Колмогорова) [c.139]

Уравнение (4.9) в математической литературе называют уравнением Чепмена—Колмогорова, в литературе по физике — уравнением Смолуховского, который получил его при исследовании броуновского движения частицы. Уравнение (4.9) накладывает весьма жесткие ограничения на вид условной плотности вероятности перехода, а именно, интегрирование по z должно привести к исключению z, причем вид функции / должен остаться неизменным. [c.126]

Обозначим через р ( , i о) плотность вероятности перехода за время t из первоначальной точки в интервал ( , dB) для реализаций процесса, ни разу не коснувшихся границы с или d. Вероятность того, что частица, выйдя из точки ни разу не достигнув границ с и d, будет ко времени Г О находиться [c.182]

Таким образом, все статистические характеристики марковского процесса 2 ( 5) описываются всего двумя функциями — плотностью вероятностей перехода р (2, 2д, о) и одноточечной плотностью вероятностей Р (2). При этом величина р (2, t 2о, <о), как функция своих аргументов, удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению, называемому уравнением Смолуховского (или уравнением Колмогорова — Чепмена). Для его вывода заметим, что если процесс 2 ( ) принимает значение в фиксированные моменты времени о < 1(1 < соответственно я (1 ) = 2о, 2 1- = 21, 2 ( ) = 2, то имеет место условие согласованности [c.31]

Рассмотрим дискретный марковский процесс 2 ( ), который может принимать только дискретные значения 21,. . ., 2 , причем переход с одного значения на другое происходит в случайные моменты времени. Введем плотность вероятностей перехода [c.32]

Отметим, что для данного процесса формулы (4.19) можно объединить в одну формулу, а именно, согласно определению плотности вероятностей перехода (4.4) [c.34]

Таким образом, плотность вероятностей перехода телеграфного процесса р z, t Zo, о) удовлетворяет линейному операторному уравнению [c.35]

Отметим, что это обш,ео свойство всех марковских процессов. Однако записать уравнение для плотности вероятностей перехода в такой компактной форме, как уравнение (4.23), пе всегда удается. Так, в общем случае произвольного марковского процесса с конечным числом состояний роль оператора играет матрица [c.35]

Выше мы говорили о том, что все статистические характеристики марковского процесса г ( ) описываются только двумя функциями — плотностью вероятностей перехода р (г, г го> о) и одноточечной плотностью вероятностей РДг). Однако, как мы увидим далее, для статистического анализа стохастических уравнений нам надо все-таки знать характеристический функционал случайного процесса. [c.38]

Плотность вероятностей перехода [c.80]

Так крк все дифференциальные операции в (2.2) относятся к Хщ, Ьт, подставляя (2.4) в (2.2) и (2.3), находим следующее уравнение для плотности вероятностей перехода р (обозначаем Хщ, [c.80]

В этом случае, как легко видеть, гауссовское распределение вероятностей с параметрами (4.4) удовлетворяет УЭФ для плотности вероятностей перехода р[х, I х , 1 ), соответствующему стохастической системе (4.1) [c.83]

Для однороднйх Процессов без последействия исчерпывающймй теоретическими характеристиками являются совокупности функций перехода F (х, tl , t — т), плотность вероятности перехода Ф (х, / — т) или совокупность функций распределения двухмерной величины F х, // , т) не для всех возможных сочетаний t и т, а только для их разности t — т). [c.207]

Si), ремонтироваться (S3), ожидать работы после ремонта (S4) и снова работать (S ). Плотности вероятности переходов будут соответственно >42, 23, > 34, >ь41. Для предельных вероятностей, т. е. dP/dt — 0, и при переходе из первого во второе состояние имеем Х23Я2 —Л12Я1, далее 3 Рл = 2яР2] k—l.kP/1-l =Xk.k+ Pk, при переходе в последнее состояние /1 — I. пРп— 1 Рп, [c.50]

Обозначим qn — иятеноивность перехода из состояния i в состояние / (/, ( = 1, 2... 6) или плотность вероятности перехода из состояния i в /. [c.194]

Фазовый портрет этих уравнений при = О изображен на рис. 3.1. К окружности Г, состоящей из состояний равновесий, асимптотически приближаются все остальные фазовые точки, за исключением точки неустойчивого равновесия О. Наличие малых случайных воздействий ( Ф 0) приводит к случайным блужданиям фазовой точки в окрестности Г, т. е. амплитуда колебаний А близка к двум, а фаза медлеппо меняется и может накапливать свои изменения. В установившемся состоянии плотность вероятностей р А, ф) не зависит от угла ф и изображается поверхностью вида, показанного на рис. 3.2. Таким образом, входное случайное воздействие преобразуется в осцилляторе Ван-дер-Поля в выходные флуктуации амплитуды колебаний и случайный дрейф фазы ф. Для отыскания соответствующей плотности вероятностей может быть составлено широко известное уравнение в частных производных Эйнштейна — Фоккера — Планка. С помощью этого уравнепия может быть найдено не только установившееся распределение вероятностей, т. е. уравнение изображенной на рис. 3.2 поверхности, но и процесс ее установления, а также плотности вероятностей перехода из одного состояния Л, ф в другое А, ф за р я т [216, 310, 320, 342]. Эта плотность вероятностей р А, ф А, ф т) при тимеет пределом установившуюся плотность вероятностей р А). [c.59]

Зспомнпм, что р (I, t I о) есть плотность вероятности перехода 113 первоначальной точки (с, й) в какую-либо внутреннюю точку интервала (с, й) для тех траекторий процесса ( ), которые до момента времени 1 ни разу не достигли границ и, следовательно, находятся внутри интервала в любой предыдущий момент времени. Для этих траекторий справедливы уравнение Фоккера— Планка—Колмогорова и обратное уравнение Колмогорова. Применительно к рассматриваемолху однородному во времени одномерному марковскому процессу они соответственно имеют впд [80] [c.185]

Пусть значение стохастич. неременной х (() может измеряться через сколь угодно малые промежутки времени (( — непрерывный параметр). Тогда о процессе х ( ) говорят 1 ак о марковском (плп как о цепи Маркова), если монаю ввести веронт-ность перехода у (/о, ж /, ж) йх из состояния Хо = х ((о) в состояние х, расположенное между ж и ж + йх к моменту (, к-рая полностью определяется заданием нач. состояния х в любой момент (о и пе. зависит от предыстории процесса. Плотность вероятности перехода w (( , ж /, ж) для непрерывной цепп Маркова удовлетворяет рштегральпому уравнению Смолуховского [c.436]

Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовскими флуктуациями параметров, используемый метод приводит к приближению марковского случайного процесса соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Эйнштейна — Фоккера. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частнь[х производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Эйнштейна — Фоккера в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи, в связи с чем он может быть назван приближением диффузионного случайного процесса. Для динамических систем с не-гаусровскими флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к приближению марковского процесса. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющими пуассоновский характер, получаются интегро-диффе-ренциальные уравнения типа уравнения Колмогорова — Феллера. [c.6]

Рассмотрим теперь случай непрерывных марковских процессов. В этом случае следствием уравнения Смолуховского (4.9) явл.чется следующее операторное уравнение для плотности вероятностей перехода р (г, t Zo, о) (см. [39]) [c.35]

В качестве другого прилюра скачкообразного процесса рассмотрим обобщенный телеграфный процесс, описанный в преды-дущб1г параграфе. Этот процесс определяется формулой (3.33). Вычислим плотность вероятностей перехода [c.37]

Уравнения Эйнштейна — Фоккера для одноточечной плотности вероятностей (1.10) и для плотности вероятностей перехода (2.5) относятся к параболическому тину уравлспий в частных производных, и для их решения можпо испо.льзовать методы теории уравнений математической физики. Основными методами при этом [c.82]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...