Примеры функций плотности вероятности

Рис. 9.1. Пример функции плотности вероятности и функции распределения для дискретного распределения, (а) функция плотности вероятности (ft) функция распределения.

Примеры функций плотности вероятности [c.222]

Функции плотности вероятности могут быть либо дискретными, либо непрерывными. Примером дискретной функции плотности вероятности является функция [c.320]

Эта дискретная функция плотности вероятности графически может быть изображена, как показано на рис. 9.1 (о). График соответствующей интегральной функции распределения приведен на рис. 9.1(6). Другими примерами (см., например, [1]) дискретных функ- [c.320]

Очень важным примером непрерывной функции плотности вероятности является функция плотности вероятности гауссова, или нормального, распределения, определяемая формулой [c.321]

Численный анализ показывает, что в рассмотренном. простейшем примере степенной ряд (3.13), представляюш,ий приближенное решение, содержит только положительные слагаемые. По величине дисперсии обеспечивается практически равномерная сходимость, приближенная функция плотности вероятности имеет смысл при любом числе членов ряда. На рис. 3.4 представлена функциональная зависимость Uq — g (и) при трех членах и соответствующее распределение. Для сравнения штриховой линией показан график гауссовской плотности дисперсия этого распределения определена по методу статистической линеаризации. Фактическое распределение имеет более островершинный характер, что и проявляется в приближенном решении. [c.66]

Пример расчета по представленной схеме функции плотности вероятностей для нормальных напряжений а-п при различных степенях разупорядоченности волокон к приведен на рис. 3.8, когда модуль Юнга и коэффициент Пуассона матрицы композита равны соответственно 1 ГПа и 0,35 относительное объемное содержание волокон Уо = 0,545, ненулевые компоненты тензора макродеформаций композита = 0,30 10 и = = -0,12-10- [c.148]

В качестве примера дискретной случайной величины Хк рассмотрим выход генератора случайного напряжения. Функция плотности вероятности для N = 5 приведена на рис. 9.1. Отметим, что сумма дискретных вероятностей случайной величины определяется интегралом от функции плотности вероятности и в случае учета всех возможных значений х равна единице [c.215]

В качестве полезного для практики примера рассмотрим случай, когда х и у — статистически независимые гауссовы величины с нулевым средним со следующими функциями плотности вероятности [c.240]

Геометрически двумерные функции плотности распределения вероятностей представляются поверхностями в пространстве х, х2,р , х2) . На рис. 2.10 в качестве примера приведены функции плотности совместного распределения двух вибрационных сигналов, измеренных на испытуемом и нагружающем редукторах стенда [38]. Поверхности здесь изображены в виде линий равного уровня на каждой кривой функция p xi, х ) имеет постоянное значение. Из рис. 2.10 хорошо видно, что при изменении нагружающего момента двумерные функции плотности распределения, как и одномерные (см. рис. 2.1), существенным образом видоизменяются. [c.54]

Пример 4.23. Пусть случайная величина Т — время безотказной работы элемента в часах. Плотность вероятности задается функцией [c.119]

Пример 4.31. Пусть плотность вероятности безотказной работы описывается функцией [c.130]

Как следует из приведенных примеров, в прикладных исследованиях разработка приближенных методов решения нелинейных задач статистической динамики шла в основном по пути преобразования исходных уравнений с целью приведения их к линейному или квазилинейному виду. Между тем, основная проблема заключается в изучении характера распределений неизвестных функций, в определении хотя бы приближенного вида плотностей вероятности и соответствующих соотношений для старших моментных функций. Эти вопросы для определенного класса задач решаются при помощи приближенных методов, осно- [c.37]

Практическая сходимость вариационных методов решения нелинейных задач статистической динамики может быть показана на примере распределения Больцмана с различными типами нелинейных функций. Приведем выражение для плотности вероятности [c.68]

Вывод и анализ моментных соотношений для нелинейных систем при помощи спектрального метода основаны на представлении произведения случайных функций через интегралы типа свертки. Такое представление возможно лишь для рациональных функций, описывающих нелинейные характеристики. Если нелинейные зависимости выражаются через неаналитические функции, то для составления уравнений относительно моментов фазовых переменных может быть использован корреляционный метод в сочетании с подходящей аппроксимацией совместной плотности вероятности исследуемых процессов. Поясним этот подход на примере системы с одной степенью свободы. [c.105]

Пример 5.5. Рассмотрим еще один класс базовых кривых, заданных соотношением (3.66). Подстановка функции (3.66) и плотности вероятности (5.63) в формулу (5.60) дает [c.183]

Простейший пример обобщенной функции — так называемая дельта-функция Дирака, иллюстрирующая плотность вероятности для упомянутого выше случая, когда тг-мерный вектор г имеет достоверное значение 2о. [c.15]

Простейшим примером обобщенной функции является так называемая дельта-функция Дирака, которая иллюстрируется плотностью вероятности для упомянутого выше случая, когда .мерный вектор z имеет достоверное значение zo. [c.15]

Значения какой-либо гидродинамической характеристики в нескольких точках установившегося турбулентного течения или значения нескольких таких характеристик в одной или нескольких точках доставляют нам примеры многомерных стационарных случайных процессов — векторных функций u t) = ui t)y. .., Un t) y таких, что плотность вероятности для любого набора значений [c.199]

Рассматриваемый пример имеет ту особенность, что выражения для t) зависят от значения случайной функции (О в момент времени t, Поскольку плотность вероятности этих значений известна (82), то при вычислении величин (Т) нужно выполнить дополнительную операцию — вероятностное осреднение по % ( ) или 7 ( ). В принципе это осреднение можно производить на любом этапе вычисления Н- (Г). Так, например, осредняя выражение (73), имеем [c.95]

Другой метод нахождения О. с., более совершенный с теоретич. точки зрения,— метод наибольшего правдоподобия. Согласно этому методу рассматривают функцию правдоподобия Ь а), которая представляет собой функцию неизвестного параметра а и получается в результате замены в плотности совместного распределения p xi, j,. .., хп а) аргументов х самими случайными величинами если независимы и одинаково распределены с плотностью вероятности р(х а), то Ца) = p(li а) р 1. а). .. р( а).(Если h распределены дискретно, то в определении функции правдоподобия L следует плотности заменить вероятностями событий %i = Xl ). в качестве О. с. наибольшего правдоподобия для неизвестного параметра а принимают такую величину а, для к-рой L a) достигает наибольшего значения [при этом часто вместо L рассматривают т. н. логарифмическую функцию правдоподобия 1(а) = InL(a) в силу монотонности логарифма, точки максимумов функций Ца) и 1(а) совпадают]. Примерами О. с. наибольшего правдоподобия являются оценки по наименьших квадратов методу. [c.574]

Примером такой функции, которая играет роль, аналогичную плотности вероятности, но может принимать отрицательные значения в квантовомеханическом смысле, является функция распределения Вигнера [13]. [c.90]

Следует отметить, что использование плотности вероятности — не единственный способ полного описания случайных величин или функций. В последнее время при исследовании проблем турбулентности [21] и статистической радиофизики [13, 31] применяется метод описания, основанный на задании случайных объектов при помощи характеристических функций и характеристических функционалов, а также аппарата вариационного (функционального) дифференцирования. Примеры применения такого подхода будут приведены в главе 10. [c.18]

В отличие от [9.2.1] в данном примере исходный уровень сопротивляемости элемента является неслучайным (он равен некоторой постоянной величине Xj, = 60). Плотность распределения сопротивляемости ф- (х) при этом может быть выражена с помощью дельта-функции 8 х — Хо). Тогда формулы (9.14) и (9.29) для определения вероятности отказа и функции надежности данного элемента с учетом свойств дельта-функции [29] примут вид [c.149]

Таким образом, с помощью нашего простого примера нам удалось разобраться в целом ряде вопросов. Прежде всего мы смогли отделить коллапсы волновых функций от коллапсов вероятностей. Как мы установили, одного лишь теплового движения достаточно для разрушения когерентности и коллапса волновой функции в одно из возможных состояний. Пока этот коллапс не наблюдается извне, лучше говорить о превращении чистого ансамбля в смешанный мы имеем необратимый процесс с набором вероятностей в конечном состоянии, и наша частица является представителем этого ансамбля. Можно сказать, что коллапс — это флуктуация, и если мы не имеем специального интереса к флуктуации, то можно использовать усредненное статистическое описание с соответствующими вероятностями, т.е. матрицу плотности смешанного состояния. [c.189]

Показатели Ляпунова и функции распределения. Вычисление показателя Ляпунова (5.4.3) можно рассматривать как усреднение по времени, или итерацию, отображения (5.4.5). Если известна функция плотности вероятности, позволяющая находить вероятность того, что определенные траектории окажутся в заданной области фазового пространства, то усреднение по времени можно заменить усреднением по пространству (в фазовом пространстве). Эту идею использовали несколько исследователей Эверсон [35] Хсу [84]. По-ижем, в чем здесь дело, на примере двумерного отображения (следуя работе Эверсона [35]). [c.205]

Пример 8.1. Проводится определение запаса прочности и вероятности разрушения для определенной детали парка находящихся в эксплуатации однотипных стационарно нагруженных изделий применительно к многоопорному коленчатому валу однорядного четырехцилиндрового двигателя, поставленного как привод стационарно нагруженных насосных, компрессорных и технологических агрегатов. Основным расчетным случаем проверки прочности для этой детали является циклический изтиб колена под действием оил шатунно-лоршневой группы. Эти силы при постоянной мощности и числе оборотов двигателя находятся на одном уровне с незначительными отклонениями, связанными глайным образом с отступлениями в регулировке подачи топлива и компрессии в цилиндрах. Причиной существенных отклонений изгибных усилий является несоосность опор в пределах допуска на размеры вкладышей коренных подшипников и опорные шейки вала, возникающая при сборке двигателя, а также несоосность, накапливающаяся в процессе службы от неравномерного износа в местах опоры вала на коренные подшипники. Соответствующие расчеты допусков и непосредственные измерения на двигателях позволили получить функции плотности распределения несоосности опор и функцию распределения размаха [c.175]

Функции плотности распределения вероятностей а кустичеоких сигналов машин и механизмов представляют собой определенные на всей действительной оси неотрицательные непрерывные и почти всюду дифференцируемые функции. Б качестве примера на рис. 2.1 изображено несколько функций плотности распределения амплитуд вибраций одного из редукторов для различных значений нагружающего момента [37]. Легко видеть, что изменение режима работы редуктора сильно влияет на функции плотности [c.39]

Вычисление многократных интегралов удобно выполнять методом Монте-Карло. Однако проще рассчитывать одностолкновительные течения непосредственно методом Монте-Карло, не выписывая интегралов. -Как и выше, рассчитывается функция ). Зная -Щ на теле, по закону отражения молекул находим функцию I). Из равномерно распределенных по поверхности случайных чисел выбираем два числа, определяющих точку поверхности. Далее, выбирая три случайных числа с плотностью вероятности, соответствующей Щ, выбираем некоторую отраженную молекулу, т. е. определяем ее скорость и направление. Разыгрывая далее случайные, величины, соответствующие вероятностям свободного пробега отраженной молекулы и параметрам столкновения, рассчитываем результат столкновения отраженной и набегающей молекул. Если после столкновения одна или обе молекулы попадают в какие-либо Ячейки на поверхности тела, то в этих ячейках запоминаются приносимые ими импульс и энергия. После этого выбирается новая отраженная молекула, и расчет повторяется. Здесь, как и выше, расчет существенно упрощается для гипертермического течения. Примеры расчетов методом Монте-Карло приведены в следующем параграфе. [c.390]

Сформулируем сразу же вопрос, являющийся центральньш во всем анализе рассматриваемой классической теории может ли быть допущено в теории, целиком опирающейся на классическую механику, существование указанного выше вероятного закона распределения начальных микросостояний (равномерного или даже любого определенного закона распределения) Иначе говоря, может ли в мире, целиком описываемом классической механикой, существовать такой закон Всякий физический закон устанавливает связь двух утверждений. При выполнении комплекса условий А с необходимостью будут осуществляться устанавливаемые законом следствия В. Например, при выполнении условия А — изолированности системы — будет осуществляться устанавливаемое законом сохранения импульса следствие В — постоянство полного количества движения системы. Или — пример совершенно иного характера при условии А — наличии максимально полного опыта над водородным атомом, установившим квантовые числа п, I м т, законы квантовой механики влекут следствие В—плотность вероятности координаты определяется функцией ТпЛ,т - [c.60]

Величина Р (а) по определению обладает рядом свойств функции распределения плотности вероятности в фазовом пространстве, однако она не тождественна ей. Позднее мы обсудим некоторые другие примеры таких функций (которые, по-видимому,, лучше всего называть плотностями квазивероятности) и покажем их связь с Р-представлением. Сначала, однако, вернемся к вопросу о применимости Р-представления вообще. [c.122]

Значения какой-либо гидродинамической характеристики в нескольких точках установивщегося турбулентного потока или значения нескольких таких характеристик в одной или нескольких точках доставляют нам Примеры многомерных стационарных случайных процессов —векторных функций u i) = Ul(t),.... .., ы (/)), таких, что плотность вероятности для любого набора значений иг, (<0, ( г)) , Ul tN) не меняется при одновременном сдвиге всех моментов времени /1, /2, . , на один и тот же произвольный интервал времени к. В этом случае, очевидно, и все смешанные моменты функций Uj t) будут зависеть лишь от разностей соответствующих моментов времени (например, все взаимные корреляционные функции 4) = [c.204]

Случайное поле I (К) можно определить, только задавая его статистические характеристики. По примеру задач о сшшах в решетке ( 1.5 и 1.7) или о распределении атомов в пространстве ( 2.7) введем различные функции распределения для величин (К). Так, функция Р ( , К) определяет плотность вероятности найти случайную величину в интервале в точке К. [c.136]

Анализ характера вырождения и оценка интересующих нас вероятностей в общем случае также достаточно сложны. Оценка вероятности вырождения для многомерной системы выливается в оценку целого набора вероятностей вырождения к видов из п членов сообщества при условии, что п — кне выродились, причем к пробегает значения от 1 до и-(и-1)раз (для каждого из видов). В принципе, такие оценки можно получить, интегрируя многомерную плотность распределения по соответствующим переменным, однако уже получение многомерной функции плотности в общем случае - непростая задача. В качестве примера рассмотрим сравнительно простую задачу о вырождении вольтерровского сообщества. [c.345]

Рассмотрим метод наибольшего правдоподобия на примере логнормального закона распределения (4-5). Обозначил через р (х) плотность распределения вероятностей, а через Х], х ,. .., Хп—наблюденные значения х (расходы реки). Помимо х, функция р зависит от неизвестных параметров распределения с, /и и а, т. е. р(х, о, т, а). [c.93]

Формула для определения конфигурационной энтропии (ее называют также статистической, больцмановской) включает плотность распределения вероятностей z ), которая может иметь произвольный вид. Рассмотрим в качестве примеров простейшие, но имеющие противоположные свойства, распределения (рис. 1.2) -прямоугольное (равномерное) и 5-функцию (импульсную функцию Дирака), и рассчитаем для них значения Д5конф- [c.16]

Пример. Априорные вероятно-II— сти событий 91 = 92=0,5. Условные плотности распределения вероятностей р(у ) и р(у 2) нормальные со средними т.1=, т2 =—1 и среднеквадратичными отклонениями 01=0,71, 02= 1,77. Потери от ошибок составляют Ф(112) = 1, ф(2 1)=3. Весовая функция — экспонента от квадрата дискримнна-ятной функции. При каждом б делалось десять итераций. Использовались для расчета среднего значения вектора а пять последних итераций. 0 искалось в диапазоне О—10. Вначале перебирались целые значения, затем поиск оптимального 0 велся в окрестности локального минимума с уменьшенным з 2 раза шагом. Так повторялось [c.296]

Измерение нестационарных плотностей распределения, как видно из приведенных выражений, представляет собой задачу большой экспериментальной сложности даже для одномерной плотности распределения. Эта сложность обусловлена необходимостью перебора случайных величин по времени и по ансамблю реализаций. В общем случае требуется осреднение по ансамблю выборочных реализаций. Практически нестационарный случайный процесс представляет одна, максимум две-три реализации. В такой ситуации весьма ве шко желание подходить к нестационарному процессу как к эргодическому стационарному. В отдельных случаях осреднение по времени приводит к физически содержательным оценкам. Однако в большинстве случаев осреднение только по времени приводит к сильно искаженным оценкам, в частности при определении плотности распределения вероятности. Проиллюстрируем сказанное Ьледующим примером [2]. Рассмотрим некоторый случайный процесс при этом половина имеющихся реализаций представляет собой выборку из стационарного нормального процесса с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а , а вторая половина реализации отличается от первой только значением дисперсии ст > ст . Другими словами функция p(t) представима в форме ступеньки в диапазоне О-Г [c.19]

Из примера, данного в статье (лекции 9—11), ясно, что Р-представление оператора плотности можно с успехом использовать для описания весьма широкого класса полей, однако до сих пор этот вопрос до конца детально не исследован. Сударшан ) указывал в короткой заметке, что диагональное представление оператора плотности с помощью когерентных состояний можно использовать для представления произвольного поля. Он дал точное выражение для весовой функции такого представления в виде неограниченной суммы производных произвольно высокого порядка от б-функции. Он указал, что при такой записи оператора плотности описание статистических состояний квантовомеханической системы... полностью эквивалентно описанию с помощью классических распределений вероятности . [c.123]

Раздел Задачи и дополнительные вопросы к главе 1 включает 44 задачи, часть из которых действительно является задачами, использующими предложенный в основном тексте формализм. Из дополнительных вопросов отметим примеры, связанные с использованием методов формальной теории вероятностей (1-5), в разделе Канонические распределения и теория флуктуаций — исследование общего вопроса о гауссоюсти распределения по энергии и числу частиц в рамках канонического распределения Гиббса, в разделе Классические системы — задачи 24, 25, а также 44, связанные с использованием величин рк — фурье-компонент плотности числа частиц и их связи с парной корреляционной функцией и флуктуациями плотности, в задачах 28, 29 участвуют системы из гармонических осцилляторов (резонатор, струна равновесному электромагнитному излучению посвящен самостоятельный раздел), и, наконец, задача 43 — традиционная проблема рассеяния света на флуктуациях плотности. [c.42]

Ниже рассмотрены одна из методик определения количественных характеристик вероятностной части остаточной дефектности и примеры их определения для некоторых элементов конструкций реакторов АЭС. Введем функцию интегральной плотности распределения вероятностей существования несплощностей с размерами (а, с) [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...