Продольные колебания простого стержня

Продольные колебания простого стержня [c.62]

Рассмотрим простой пример продольные колебания прямого стержня с малой нелинейной добавкой в соотношениях упругости [c.250]

Уравнение (5.54) и формула (5.55) совпадут по форме с уравнением (5.1) и формулой (5.2), если в последних величины и, а п Е заменить соответственно на 9,, 6дИ G. Поэтому все полученные результаты для задачи о продольных колебаниях призматических стержней можно распространить и на задачи о крутильных колебаниях валов кругового поперечного сечения путем простой замены обозначений. Например, в случае вала с незакрепленными концами частоты и нормальные функции для соответствующих собственных форм крутильных колебаний имеют вид [c.360]

Поясним вышесказанное на простом примере продольных колебаний консольного стержня постоянного сечения. [c.139]

Мы предполагали, что скорость распространения бегущей волны совпадает со скоростью распространения отдельного импульса. Основанием для этого предположения служило то обстоятельство, что в рассматриваемых простейших случаях продольных колебаний стержня и колебаний струны скорость распространения импульса не зависит от формы и характера и.мпульса и для импульсов любого типа оказывается одной и той же. Поэтому мы могли считать, что скорость распространения бегущей волны, которая представляет собой од у из разновидностей импульса, совпадает со скоростью импульса. Однако это справедливо не всегда. В некоторых случаях скорость распространения бегущей волны не совпадает со скоростью импульса. Поэтому, вообще говоря, следует различать скорость распространения импульса и скорость распространения гармонической волны. Эту последнюю называют фазовой скоростью, с этой скоростью движется фаза распространяющегося колебания. [c.682]

В гл. 5 рассматриваются некоторые общие свойства упругих и пластических стержневых систем. Существенно заметить, что вариационные принципы теории упругости, ассоциированный закон течения, свойство выпуклости поверхности нагружения для пластической системы доказываются здесь совершенно элементарно. Все эти теоремы будут сформулированы и доказаны впоследствии при более общих предположениях. Автору представляется по опыту его педагогической работы, что иллюстрация общих принципов на простейших примерах, где эти общие принципы совершенно очевидны, способствует лучшему их пониманию и усвоению. Гл. 6 посвящена теории колебаний, которая должна занять подобающее место как во втузовских, так и в университетских программах. Кроме собственно задач о колебаниях здесь излагается метод характеристик для решения задач о продольных волнах в стержнях. Этот метод настолько прост И ясен, что им можно пользоваться и его легко понять, не прослушав общего курса дифференциальных уравнений математи- [c.12]

Перейдем теперь к изучению колебаний систем с непрерывным распределением масс. Простейшим примером здесь может служить задача о продольных колебаниях стержня постоянного поперечного сечения. На рис. 6.6.1 показан элемент стержня, который в недеформированном состоянии был заключен между сечениями тп ш pq с, координатами х и х + dx соответственно. Фиксируя некоторый момент времени t, когда сечение тп занимает положение т п, сечение pq — положение p q, обозначим перемещение левого сечения, первоначальная координата которого была X, через и. Смещение и является функцией двух переменных — времени t и координаты в недеформированном состоянии X, поэтому смещение сечения с координатой x + dx будет [c.187]

В качестве простого примера применения полученных уравнений рассмотрим снова продольные колебания длинного упругого стержня. В этом случае й будет определяться формулой [c.385]

Такое дифференциальное уравнение мы рассматривали неоднократно, последний раз — при исследовании продольных и крутильных колебании упругого стержня. Среди рассмотренных там случаев находится также случай, в котором должны быть выполнены такие же граничные условия, как и здесь определенное уже частное решение, а также все, что было сказано о возможных простых тонах и соответственных узлах, годится и здесь. Из указанных там частных решений мы составим теперь более общее для поперечных колебаний струны. Чтобы несколько сократить формулы, введем такие единицы длины и времени, чтобы / = л и продолжительность простого колебания при основном тоне была равна я. Тогда одним частным решением будет [c.368]

Исследование продольных колебаний стержня, размеры сечения которого по сравнению с длиной стержня, а также по сравнению с длиной волны колебаний, относительно малы, представляет одну из наиболее простых задач колебаний упругих тел. Этот вопрос [c.224]

Если а очень мало, то массой стержня можно пренебречь и в качестве оценки принять, что продолжительность удара будет равна половине периода простых гармонических колебаний стержня с прикрепленной на его конце массой ударяющего тела. Чтобы показать это, надо только вспомнить, что коэффициент упругости в продольном направлении сплошного стержня определяется соотношением [c.525]

С другой стороны, эксперименты по продольным колебаниям стержней были достаточно простыми и понятными, чтобы на их основе определять константы материала. [c.246]

То, что использование Вертгеймом скорости продольных волн в стержнях в формуле Дюамеля (3.2) было ошибочным, лучше всего может быть увидено в ретроспективном освещении проблемы сороковых лет XIX века. По очевидным причинам мы не приводим здесь ни данных Вертгейма, ни их коррекцию Клаузиусом. Критика Клаузиуса экспериментов Вебера была просто неверной. Экспериментальный источник неправильности производимого Вертгеймом сравнения динамических и квазистатических модулей возникает из факта, первоначально замеченного Кулоном в 1784 г. и состоящего в том, что значение модуля уменьшается с возрастанием остаточной деформации отсюда среднее значение модуля, найденное из квазистатических опытов при различных значениях остаточных деформаций, возникающих при относительно большой общей деформации, меньше, чем значение динамического модуля, вычисленного по продольным или поперечным колебаниям, происходящим при чрезвычайно малых деформациях. Амплитуда деформаций в динамических измерениях Вертгейма всегда была ниже, чем минимальная наблюдаемая квазистатическая деформация. Грюнайзен в первом десятилетии XX века проверил этот вопрос сопоставления адиабатических и изотермических модулей в той же области деформаций е= = 10 , рассмотрев как динамическую, так и квазистатическую ситуации, и показал для металлов, изучавшихся Вертгеймом, что разница в значениях модулей Е была чрезвычайно малой — в четвертом знаке после запятой ). [c.303]

Исследование колебаний стержней начнем с простейшей задачи — с продольных колебаний, при которых поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и параллельными друг другу, совершают перемещения по оси стержня. Те растяжения и сжатия, которые при этом испытывает стержень, будут, конечно, сопровождаться соответствующими изменениями поперечных размеров и потому лишь точки оси стержня будут совершать при этих колебаниях прямолинейное движение. Движение точек, не совпадающих с осью, будет более сложным, но, если поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной, можно [c.320]

Упрощенная схема цепного рабочего органа многоковшового экскаватора получена из предпосылки, что жесткость препятствия существенно меньше жесткости даже наиболее податливых элементов рассматриваемой системы. В тех случаях, когда это условие не соблюдается, приходится цепной рабочий орган заменять эквивалентным упругим стержнем, продольные колебания которого описываются дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Однако в некоторых случаях, например, при решении динамических задач энергетическим методом, может быть предложен более простой путь. [c.106]

Входящие сюда неопределенные постоянные следует искать из граничных и начальных условий стержня. Ход рассуждений поясним на простом примере. Пусть мы имеем стержень длиною I, заделанный нижним концом и совершающий продольные колебания. Заделка [c.103]

Приведем некоторые сведения, относящиеся к простейшей задаче о колебаниях опертого стержня, сжатого периодической продольной силой. [c.367]

Магнитострикционные излучатели и приёмники. Простейший магнитострикционный излучатель — это стержень, изготовленный из металла, обладающего магнитострикцией на этот стержень надевается катушка. Когда по обмотке катушки пропускается переменный ток, в ней возникает переменное магнитное поле, и стержень в такт с колебаниями тока периодически сжимается и расширяется, т. е. совершает механические колебания преимущественно в продольном направлении ). Торец стержня при таких колебаниях излучает звуковые или ультразвуковые волны. [c.183]

Колебания твердых тел, ограниченных свободными поверхностями, имеющими плоскую, цилиндрическую или сферическую форму, можно исследовать без больших затруднений однако этот вопрос относится скорее к теории упругости. Искомые функции координат для бесконечной пластинки постоянной толщины являются просто круговыми и экспоненциальными функциями ). Решение задачи для бесконечного цилиндра 2) связано с функциями Бесселя и представляет интерес, так как дает более полный обзор продольных и изгибных колебаний тонкого стержня. [c.414]

Среди различных типов собственных колебаний, возникающих в упругом стержне, продольные колебания являются наиболее простыми для исследования. В стержне могут возникнуть крутильные и поперечные колебания, которые рассматриваются в соответствующих параграфах. При исследовании продольных колебаний предполагаем, что поперечные сечения стержня остаются плоскими и что каждая точка поперечного сечения совершает только осевые перемещения. Продольные растяжения и сжатия, имеющие место при таких колебаниях стержня, сопровождаются возникновением той или иной величины поперечных деформаций. Однако в последующем обсуждении рассмотрим только те случаи, для которых длина продольных волн колебаний велика по сравнению с размерами поперечных сечений стержня. В этих случаях , не совершая существенной ошибки, можно пренебречь влиянием поперечных перемещений на характер продольных движений [c.323]

Уточненными будем называть теории, которые отличаются от обычных классических наличием в дифференциальных уравнениях дополнительных членов, расширяющих в некотором смысле области применения классических теории. Классические теории стержней основаны на гипотезе плоских сечений, пластин — на гипотезах Кирхгофа и оболочек — на гипотезах Кирхгофа—Лява. По существу, в этих теориях применяются простейшие — линейные по поперечной координате аппроксимации и не учитываются упругие поперечные взаимодействия. Классическая теория продольных колебании стержней и теория обобщенного плоского напряженного состояния пластин также являются простейшими аппроксимациями, основанными на предположениях о постоянстве характерных функций по сечению (толщине) и малости поперечных эффектов. Появление уточненных теорий обусловлено тем, что классические теории при решении ряда задач современной техники приводили к заметным погрешностям. Можно сказать, что это является следствием физического и математического несовершенства классических динамических теорий. Эти теории предсказывают, например, бесконечные скорости распространения фронтов возмущений и не улавливают элементарных упругих толщинных эффектов. [c.5]

Разберем сначала простейший пример стержень, рассматриваемый как непрерывное тело, как это делается в феноменологической теории упругости. Рассмотрим малые продольные колебания в этом стержне. [c.226]

В этой и других подобных задачах со сравнительно разреженным спектром взаимное влияние гасителей, настроенных на разные частоты, невелико. Это позволяет часто ограничиваться рассмотрением простейших расчетных моделей конструкций — в виде систем с одной степенью свободы. Применение ДГК при продольных колебаниях стержней снижает также возможность возникновения параметрического резонанса, так как вследствие увеличения демпфирования системы размеры областей динамической неустойчивости уменьшаются [44]. [c.162]

Рассмотренные в разделе 3.1 случаи распространения волн в средах, ограниченных в поперечном по отношению к направлению распространения волны направлении, могут в известном приближении служить основой для расчета форм и частот собственных колебаний тел, ограниченных во всех направлениях. Наиболее просто это осуществляется для длинных стержней, у которых длина много больше поперечных размеров, и тонких пластин, имеющих размеры, во много раз превышающие их толщину. При этом низшие частоты и формы собственных колебаний определяются наибольшим размером тела, в направлении которого устанавливается стоячая волна, так что на границе исчезают механические напряжения. В простейшем случае тонкого стержня длиной /, совершающего продольные колебания, скорость упругих волн равна Со = - /ЁТр. Значения собственных частот равны [c.70]

Расчету колебаний стержней — простейших элементов многих машинных и инженерных конструкций — посвящена обширная литература [144, 191, 212, 282, 300, 325, 360]. Целью настояш ей главы является изложение наиболее важных с акустической точки зрения приближенных теорий колебаний стержней — продольных, изгибных и крутильных. Главное внимание уделено вопросам, не освещенным в литературе систематически основным допущениям этих теорий, пределам их применимости, сравнительному анализу дисперсионных зависимостей, [c.136]

В каждом конкретном случае для заданных параметров пружины (г з, с, К, [X и др.) решение можно реализовать с помощью ЦВМ. Наиболее просто такое решение получается для условного шарнирного опирания концов, когда поворот концов разрешен только относительно нормали. На рис. 8 показаны графики частотного уравнения для этого случая [9]. При решении уравнения не учтены инерция поворота сечений проволоки, сжатие и срез проволоки, т. е. параметры, практически не оказывающие заметного влияния на частоту. Две сплошные кривые 1 на рисунке соответствуют двум сериям частот винтового пространственного стержня при г з = 5° две прямые линии 2 и 3 в левой части рисунка соответствуют частотам продольных и крутильных колебаний эквивалентного бруса в правой части штриховыми линиями 4 ц 5 показаны две серии поперечных частот эквивалентного бруса две кривые (ij) = 0) соответствуют частотам кольца в продольном направлении и в собственной плоскости. [c.58]

Отметим, что приближенные уравнения продольных и изгибных колебаний стержней были получены значительно раньше (Эйлер (1744), Бернулли (1751)), исходя из простейших гипотез. После этого задача заключалась в получении и уточнении этих уравнений с использованием трехмерных соотношений теории упругости, что составило предмет обш,ей проблемы приведения. Данная задача решалась в основном двумя путями. [c.14]

Рассмотрим изгибные колебания стержня (см. рис. 1.3). При этом будем предполагать, что поперечные сечения стержня в процессе движения остаются плоскими и нормальными к срединной линии, а продольные волокна при растяжении сжимаются в поперечном направлении так, что выполнены условия простого одноосного растяжения [1.1,1.23]. В соответствии с принятыми предположениями, смещения точек стержня будут равны [c.38]

Большое число работ было посвящено в XIX в. исследованию колебаний струн и стержней. Для струн были рассмотрены задачи с различными специальными начальными условиями, задачи вынужденных колебаний, колебаний конечной амплитуды и пр. (М. Дюамель, Дж. Г. Стокс, Г. Гельмгольц, Г. Кирхгоф, Рэлей). Теория продольных и крутильных колебаний стержней оказалась достаточно простой благодаря наличию в этом случае определенной скорости распространения произвольных возмущений для поперечных колебаний единой скорости распространения волн не существует, и это сильно осложняет расчеты. Обстоятельные исследования различных колебаний стержней были начаты Пуассоном и продолжались на протяжении всего века. [c.60]

Описанные колебания имеют беспорядочный характер. В отличие от них колебания, обусловленные вращением неуравновешенных элементов какого-либо механизма, регулярны они вызывают периодическое смещение механизма в целом. Простейший пример — груз, расположенный на конце вращающегося стержня. Центробежная сила действует в направлении стержня если стержень вращается с постоянной скоростью, а механизм в целом может свободно колебаться только в одном направлении, например вверх-вниз, то под действием центробежной силы он будет смещаться из положения покоя на расстояние, пропорциональное косинусу угла между стержнем и направлением смещения. Поскольку косинус равнозначен синусу, сдвинутому по фазе на 90°, то в этом случае результирующее колебание создает чистый тон , так как колебания давления при чистом тоне образуют синусоидальную волну. Разумеется, у многих механизмов силы, обусловленные неуравновешенностью, значительно сложнее, чем силы, возникающие при вращении одного ротора. Одна из причин их сложности состоит в том, что реальный механизм никогда не совершает колебаний только вверх-вниз он обычно колеблется в шести различных направлениях вверх-вниз, из стороны в сторону, вперед-назад, вращаясь вокруг вертикальной и двух горизонтальных осей (с боку на бок и в продольном направлении). По- [c.104]

В простейших случаях, например в однородной и одномерной ) сплошной колебательной системе, рассмотрение нормальных колебаний, вынужденных колебаний и резонанса не представляет трудностей (мы убедились в этом при рассмотрении продольных колебаний стержня). Однако полученные при этом результаты нельзя безогово- [c.693]

Рассмотрим в качестве простого np jMopa задачу оптимизация стержня неременного сечения S (х) с жесткой. заделкой па одном конце и с массой Мо на другом конце, совершающего продольные колебания (рис. 7.37). Требуется при заданной низшей частоте собственных колебаний найти такую форму сте г кпя S(x), чтобы его масса [c.261]

Теория крутильных колебаний достаточно проста и по применяемым методам вычислений она мало отличается от теории продольных колебаний. Для практического применения большее значение имеют случаи колебания валов с сосредоточенными массами, чел с непрерывным распределениехМ масс. Именно поэтому основное внимание будет уделено системам с сосредоточенными массами. При решении задач с распределенными массами можно будет применять, как это будет показано ниже, те же рассуждения и выводы, которые применялись в главе о продольных колебаниях стержня. , I [c.257]

Для вывода уравнений вибрации многослойных конструкций воспользуемся методом динамических жесткостей. ytb метода поясним на простом примере. Рассмотрим продольные колебания стержня с массами на концах. Уравнение продольных колебаний и его общее решение имеют вид [c.251]

Получаемое таким путем решение оказывается неудобный для приложений, так как из него очень трудно найти выражение для наибольших напряжений. Поэтому Сен-Венан, много поработавший над исследованием продольного удара стержней, обратился к решению соот-ветствуюш их уравнений в замкнутой форме и получил сравнительно простые формулы для случая продольного удара двух стержней со свободными концами, а также для стержня с одним заделанным и другим свободным концами. В дальнейшем эти решения были упрощены благодаря трудам Буссинэ Гюгонио и Себерта . Мы приводим здесь результаты, относящиеся к стержню с одним заделанным и другим свободным концом (рис. 83). Сохранив прежние обозначения ( 36), будем иметь для продольных колебаний уравнение [c.362]

В качестве примера рассмотрим простой прямоугольный стержень (см. рис. 3.4). Один конец стержня жестко закреплен, а другой погружен в воду. Все другие поверхности изолированы от акустического поля в воде. На электроды стержня подается переменное напряжение, вызываю1цее продольные колебания, создающие акустическое поле в воде. [c.80]

Для измерений резонансным методом на низких частотах образцы вырезаются в виде стержней, диаметр (или поперечные размеры) которых мал по сравнению с длиной. Измерения проводятся на продольных колебаниях, как описано в 6, п. 1. Ось образца обычно ориентируют в направлении одной на кристаллографических осей. Резонансная частота определяется модулем Юнга (l/s,- ), соответствующим данной оси. Проведя достаточное количество измерений, можно определить все независимые модули. Как показал ] эди [188], модуль Юнга для произвольного направления (для обра.эца, ориентированного под любым углом к кристаллографическим осям) можно в].1разить через компоненты матрицы s (т. е. через модули для кристаллографических осей). Для крутильных волн зависимость резонансной частоты от модулей упругости имеет весьма сложный вид, за исключением некоторых простейших случаев (см. [188], стр. 61 и ИЗ). Поэтому обычно предпочитают применять высокочастотные импульсные методы, которые, кроме того, имеют то преимущество, что позволяют проводить измерения на образцах значительно меньших размеров. Рассмотрим с этой точки зрения распространение упругих волн. [c.387]

Во многих случаях непосредственное использование общщ формул (6.45) для гармонических коэффициентов представляет более простой путь составления уравнений крутильных (продольных) колебаний стержней, несущих сосредоточенные массы. Ддя приведенного на рис. 64 вала, несущего в точках О, х, I сосредоточенные маховые массы с моментами инерции 1 , /3, /д, отнеся инерционные моменты крайних масс to2(p(0) и к гранич- [c.270]

Потери в конструкциях. Выше говорилось о потерях в материалах и в отдельных однородных упругих элементах. Рассмотрим теперь потери в конструкциях, которые составлены из многих элементов, изготовленных из различных материалов. Очевидно, что общие потери в конструкции складываются из потерь в ее составных элементах. Однако вклад этих элементарных потерь в общие потери различен и существенным образом зависит от формы колебаний конструкции в целол1. Так, потери машины, установленной на амортизаторы, зависят от того, насколько близко к пучностям или узлам собственной формы колебаний машины расположены амортизаторы. Потери в простейшей конструкции — однородном стержне — зависят от того, совершает он из-гибные, продольные или крутильные колебания. На одной и той же частоте потери этих трех форм движения различны, так как обусловлены разными физическими механизмами демпфирования. Для расчета общих потерь в конструкции, таким образом, требуется знать не только потери в отдельных ее элементах, но и форму колебаний всей конструкции. Ниже приводятся примеры расчета потерь в двух типичных составных машинных конструкциях и обсуждаются полученные результаты. Такие расчеты необходимы при проектировании машинных конструкций с оптимальными демпфирующими свойствами. [c.218]

Подавляющее большинство исследований рассеяния энергии колебаний было выполнено в условиях неоднородного напряженного состояния материала. Рассмотрим сначала более простой случай — рассеяние. энергии колебаний при однородном напряженном состоянии. В. П. Thmohi hko выполнил одн) из таких работ [79]. Исследованию были подвергнуты продольные и крутильные колебания трубчаты.ч стержней из стали Ст. 2. Длина стержней составляла 50 [c.106]

Простейшая система. На рис. 3.1 показана поворотно-симметричная система S идентичных прямых стержней, которые на периферии. недеформируемого жестко закрепленного диска равномерно расположены но окружности с шагом = 2я/5. Стержни ориентированы радиально на их свободных концах размещены 5 масс Af, центры которых совмещены с точками крепления к стержням. Главные моменты инерции масс относительно радиальных направлений —/ = = ЛГгу, 1 де Г] — радиус инерции. Между соседними массами установлены упругие связи, сочлененные с ними шарнирно и имеющие продольную жесткость с . Точки крепления связен отстоят от центров масс в направлении оси системы на расстояниях а и Ь. Предполагается, что каждая масса имеет две степени свободы — возможность перемещения по окружности системы и поворота относительно радиального иаправлен ия Период такой системы имеет две степени свободы, а вся система 2S степеней свободы и соответственно 25 собственных частот, т. е. каждой, из т групп принадлежат две собственные частоты. При свободных колебаниях системы из условий равновесия /г-й массы, если нзгибная жесткость стержня с , а крутильная — Скр, следует [c.40]

Предполагаем, что расчетная схема транспортируемого объекта может рассматриваться как стержень постоянной или переменной жесткости. Условия закрепления стержня на передней и задней тележках могут быть любыми. Скорость движения тележек V постоянна. Вначале рассмотрим наиболее простой случай жесткой тележки, когда отсутствуют рессоры и амортизаторы (рис. 8.8, а). Считаем, что статистические параметры перемещения оси колеса А (или Ву) заданы. Как уже отмечалось, параметры зависят от продольного профиля дороги и радиуса колеса. Для вывода дифференциального уравнения вер-тикJльныx колебаний стержня <4161 возьмем систему отсчета X, у (рис. 8.8,6), которая движется поступательно прямолинейно с постоянной скоростью V х, у — инерционная система отсчета). В этой системе отсчета дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет следующий вид [c.325]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...