Колебания стержней переменного поперечного сечения

В гл. 4 приведена теория колебаний упругих тел. Рассмотрены следующие задачи продольные, крутильные и поперечные колебания стержней и балок, колебания стержней переменного поперечного сечения, колебания мостов, турбинных лопаток и корпусов судов, а также обсуждена теория колебаний тел круговой формы — колец, мембран, пластин и турбинных дисков. [c.15]

КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ [c.420]

В предыдущих параграфах были рассмотрены различные задачи, относящиеся к колебаниям стержней постоянного поперечного сечения. Однако некоторые важные для техники задачи, такие, как колебания турбинных лопаток, корпусов судов и мостовых балок переменной высоты, требуют применения теории колебаний стержней переменного поперечного сечения. Дифференциальное уравнение движения такого стержня при колебаниях было получено выше 1см. уравнение (5.8)1 и имело вид [c.420]

Перейдем теперь к изучению колебаний систем с непрерывным распределением масс. Простейшим примером здесь может служить задача о продольных колебаниях стержня постоянного поперечного сечения. На рис. 6.6.1 показан элемент стержня, который в недеформированном состоянии был заключен между сечениями тп ш pq с, координатами х и х + dx соответственно. Фиксируя некоторый момент времени t, когда сечение тп занимает положение т п, сечение pq — положение p q, обозначим перемещение левого сечения, первоначальная координата которого была X, через и. Смещение и является функцией двух переменных — времени t и координаты в недеформированном состоянии X, поэтому смещение сечения с координатой x + dx будет [c.187]

Другие случаи консольно закрепленных стержней переменного поперечного сечения. В общем случае частоты поперечных колебаний консольно закрепленных стержней можно определить по формуле [c.425]

Для количественного описания процесса продольных колебаний стержней переменно о сечения принимаю ряд допущений, позволяющих значительно упростить вывод расчетных зависимостей [И 172—174]. Так, принимают, что продольная деформация не сопровождается поперечным движением элементов [c.174]

Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Бубновым и Б. Г. Галеркиным, получил широкое распространение для приближенного решения различных задач статики н динамики упругих тел. Для большей наглядности рассмотрим применение этого способа на примере решения задачи о поперечных колебаниях стержня переменного сечения, описываемых дифференциальным уравнением [c.586]

Расчетную модель опорной конструкции можно представить в виде двух продольных балок или плоских рам переменного поперечного сечения, связанных поперечными связями в виде балок или колец (рис. 1). В частности, такими связями служат корпуса механизмов, установленные на раме. Рама соединяется с фундаментом амортизаторами, каждый из которых в расчете рассматривается как сосредоточенный упруго-вязкий элемент. Балки рамы могут совершать вертикальные и крутильные колебания. Ротор и балки опорной конструкции разбиваются на участки. Расчетная модель участка представляется стержнем постоянного поперечного сечения с распределенными параметрами. К концу стержня присоединяется жестко сосредоточенная масса т -, обладающая моментами инерции к повороту и кручению ll, I]. Масса соединяется упруго с абсолютно жестким фундаментом и сосредоточенной массой т , обладающей моментами инерции /ф, (рис. 2). Упругие связи характеризуются жесткостями Св, Сф, v (/с = 1, 2) в вертикальном, поворотном и крутильном направлениях (на рис. 2 Z = Ь, г з, 7). Демпфирование в системе учитывается комплексными модулями упругости материала стержня и комплексными жесткостями амортизаторов. [c.6]

Дюамель занимался также теорией колебаний упругих тел. Свободные колебания струны и стержней постоянного поперечного сечения получили к тому времени уже достаточное освещение. Дюамель перешел к более сложным случаям. Он поставил, например, задачу о колебаниях струны с присоединенными к ней сосредоточенными массами и не только дал полное решение этой задачи, но и провел большое количество опытов, результаты которых хорошо согласовались с теорией ). Он дал общий метод исследования вынужденных колебаний упругих тел ). Применив принцип наложения, он показал, что перемещения, произведенные переменной силой, могут быть получены в виде некоторого интеграла (см. стр. 277). Этот метод был затем использован Сен-Вена- [c.294]

Поперечные колебания стержня переменного сечения исследовал Н. Н. Бабаев [1.4] (1955). Были учтены деформации сдвига и рассеяние энергии, обусловленное изгибом и сдвигом. В качестве примера рассматривается призматический стержень с шарнирно опертыми концами. [c.94]

Лопатки турбин (рис. В. 15), несмотря на сложную форму поперечного сечения, приближенно могут быть рассмотрены как стержни прямолинейные, нагруженные центробежными силами Яг, переменными по оси х (зависящими от угловой скорости вращения ш), которые оказывают существенное влияние на частотные характеристики лопатки. Кроме того, в лопатках линии, соединяющие центры тяжести сечений (ось Х1< ) и центры жесткости (ось ЛГ]), не совпадают, что приводит к возникновению совместных изгибно-крутильных колебаний. [c.8]

Из системы уравнений (8.71) определяем векторы и MW, компоненты которых являются элементами матриц Aq и Ам, входящих в уравнения малых колебаний (8.66) — (8.69). Приведенные уравнения (8.66) — (8.69) приближенно справедливы и для стержня переменного сечения, если размеры его поперечного сечения меняются не слишком сильно. [c.254]

Возбуждение колебаний МСВ и ПЭВ в колебательных системах испытательных машин. МСВ и ПЭВ свойственны весьма малые амплитуды вибросмещения, измеряемые сотыми долями миллиметра. Поэтому эти возбудители колебаний обычно применяют в сочетании с трансформаторами механического движения, согласующими выход возбудителя колебаний со входом возбуждаемой колебательной системы. Такой трансформатор представляет собой брус (стержень) переменного сечения, характеристики которого зависят от закона изменения площади поперечного сечения стержня. Для экспоненциального закона 5 = [c.276]

Поперечные колебания стержней и критические скорости валов переменного сечения. Для определения частот собственных колебаний стержней и критических скоростей валов переменного сечения применяется энергетический метод и методы последовательных приближений. [c.369]

Уравнение (5) и ряд других уравнений поперечных колебаний стержней и валов переменного сечения допускают решения в виде обобщенных гипергеометрических функций [2], определяемых степенными рядами типа [c.6]

Уравнение крутильных колебаний. Рассмотрим лопатку переменного сечения (см. рис. 73). Полагая, что центры кручения поперечных сечений лопатки образуют прямую линию, направим ось z вдоль этой прямой. Начало координат поместим в центре кручения корневого сечения, а оси хну проведем, как и ранее, в осевом и тангенциальном направлениях. Для прямого стержня переменного сечения крутящий момент относительно оси z, действующий в сечении на расстоянии z от корневого сечения, выражается через угол поворота следующим образом [c.130]

Вывод дифференциального уравнения. Предположим, что приложенные к стержню силы направлены вдоль его оси. Обозначим /п (л ) — погонную плотность стержня, —модуль Юнга и S x) — площадь поперечного сечения. Будем характеризовать процесс продольных колебаний функцией (л , t), представляющей в момент времени t смещение частиц стержня, имевших в положении равновесия координату X. Выбранная здесь геометрическая переменная называется переменной Лагранжа. [c.111]

Поперечные колебания стержней и критические скорости валов переменного сечения [c.269]

Для определения частот собственных колебаний стержней и критических скоростей валов переменного сечения применяется энергетический метод и ряд методов последовательных приближений. Критическими называются скорости, при которых движение вала становится динамически неустойчивым и возникают большие поперечные отклонения от положения равновесия, как при резонансе. Такие состояния получаются при совпадении угловой скорости вала с угловыми частотами его собственных поперечных колебаний. [c.269]

Четвертая глава содержит теорию колебаний упругих тел. Рассмотрены задачи о продольных, крутильных и поперечных колебаниях призматических стержней, о колебаниях стержней переменного поперечного сечения, о колебаниях мостов, турбиниых лопаток и изложена теория колебаний круговых колец, мембран, пластин и турбинных дисков. [c.6]

В заключение необходимо упомянуть и о статье Кирхгоффа, в которой дается исследование колебаний стержней переменного поперечцого сечения ). Общее уравнение поперечных колебаний таких стержней было уже известно, и Кирхгофф показывает, что в определенных случаях оно поддается точному интегрированию. В частности, он рассматривает стержень, имеющий форму тонкого клина или весьма острого конуса, и вычисляет для обоих этих случаев частоты основной формы колебаний. [c.308]

Аналогичные результаты получаются и в случае стержней с иными концевыми условиями. Решения уравнений (е) и (ж) при этом усложняются, но можно найти приближенные значения частот связанных колебаний, если использовать метод Релея—Ритца . В случае стержня, не имеющего плоскости симметрии, задача становится более сложной . Крутильные колебания здесь сочетаются с изгибными в двух главных плоскостях, поэтому система уравнений содержит не два, а три дифференциальных уравнения. На практике можно также встретиться с еще более сложной задачей связанных крутильных и изгибных колебаний несимметричных стержней переменного поперечного сечения. Подобные задачи возникают, например, при исследованиях колебаний турбинных лопаток, крыльев самолетов и воздушных винтов. При решении указанных задач обычно применяют численные методы. [c.430]

Л. 5г1(1агошзку [1.3Г9] (1960) получил уравнение изгибных колебаний стержня с учетом только деформации сдвига при действии осевой силы. Отсутствие четвертой производной по времени дает возможность применить метод разделения переменных. Рассмотрены колебания шарнирно опертого стержня при действии постоянной сжимающей силы, для которого определены со(бственные частоты и критические силы. На примере колебаний стержня двутаврового поперечного сечения показано, что учет деформации поперечного сдвига снижает частоты и тем больше, чем выше номер частоты. [c.77]

В. А. Барвинок и Г. М. Козлов определяли коэффициент Пуассона плазменных покрытий звуковым методом, путем возбуждения в образце стоячей волны первого тона [89]. Этот динамический способ выгодно отличается от статических испытаний, так как усиление переменного сигнала от тензорезисторов не составляет особых затруднений. В основе метода лежит особенность деформации стержня постоянного поперечного сечения при возбуждении в нем стоячей волны первого тона. Периодические продольные деформации растяжения я сжатия с частотой собственных колебаний стержня вызывают поперечные сокращения слоев материала, величина которых зависит от коэффициента Пуассона. Эти деформации измеряются тензорезисто-рами типа 2ФКПА с базой 5 мм и сопротивлением 200 Ом, которые наклеиваются на образец прямоугольного сечения. Схема для измерения коэффициента Пуассона состоит из двух мостов Уитстона, один из которых служит для определения продольной деформации, другой — для измерения поперечной деформации. Коэффициент Пуассона находится по формуле [c.53]

Минимальные собственные частоты колебаний стержня обычно связаны с его деформациями изгиба. Максимальные перемещения и деформации при гармонической внешней нагрузке часто возникают при поперечных колебаниях стержня. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня переменной жесткости EJ(x) и распредеяенной массы т х) без учета сдвигов поперечных сечений имеет вид (рис. 8,13.5) [c.100]

Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромнз роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения. [c.6]

Бабаев Н. Н. О поперечных колебаниях стержня переменного сечения с учетом деформации сдвига и сил внутреннего неупругого сопротивления. Инженерный сб,, 1955, 22, 17—25 — РЖМех, 1956, Мо 11, 7788, [c.230]

Применение интегральных уравнений к исследованию поперечн колебаний стержней с переменным поперечным сечением было д Шверином ). [c.380]

Колебания судовых корпусов. — В качестве другого п мера приложения теории колебаний стержней переменного сечен рассмотрим задачу о колебаниях судового корпуса ). В дайн случае возмущающая сила обычно возникает от неуравновещеннос двигателя или действия гребного винта ), н если частота воз щаюшей силы совпадает с частотой одной из нормальных фо колебаний корпуса, то могут возникнуть больщие колебания. Ес принять корпус судна за балку переменного поперечного сечения свободными концами и использовать метод Ритца (см. 61), то уравнения (158) всегда можно с достаточной степенью точное определить частоты различных форм колебаний. [c.380]

Чусленные методы определения частот поперечных колебаний.—замечания. Мы вядели, что определение собственных частот поперечных колебаний стержней с переменным поперечным сечением требует решения дифференциального уравнения [c.383]

Дальнейшим развитием метода Галеркина является мето предложенный В. М. Фридманом [120] для приближенного ра чета поперечных колебаний стержней переменного сечени удачно сочетающий простоту вычислений с высокой точность результатов. Мы ограничимся лишь самым кратким описание содержания этого метода, отсылая за подробностями к ванной работе В. М. Фридмана. [c.330]

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФОРМАМИ ROJlg БАНИЙ. Метод последовательных приближений формами колеба ний в применении к расчету поперечных (а также продольных а крутильных) колебаний неоднородных стержней является естественным обобщением метода итераций для систем с конечным числом степеней свободы. Рассмотрим, например, уравневве форм поперечных колебаний стержня переменного сечения [c.338]

Функции ф( )(е) характеризуют изменение по координате е амплитудных значений перемещений точек осевой линии стержня для каждой из чаетот стержня. Производные функций ф< >(е) характеризуют изменение амплитудных значений угла наклона касательной к осевой линии стержня ( зо ( )). изгибающего момента (ДМ о , (е)) и перерезывающей силы (Д(31, о е)) для каждой из частот 7,о/. Полученные собственные функции для наиболее простого уравнения поперечных колебаний стержня постоянного сечения (7.66) могут быть эффективно использованы при приближенных решениях более сложных уравнений поперечных колебаний стержней с переменным сечением, нагруженных сосредоточенными динамическими силами, стержней, находящихся в потоке воздуха или жидкости, и т. д. [c.182]

На преобразователь подается с электрической стороны переменное напряжение такой частоты, что длина волны механических колебаний кристалла на этой частоте сравнима с длиной стержня (размер /1) или меньше ее, но много больше двух других размеров. Естественно ожидать появления механических волн сжатия—растяжения в пьезоэлектрическом стержне вдоль ребра /1 на этой частоте и, следовательно, появления инерционных напряжений в кристалле. В этом случае для определения смещений поперечных сечений стержня 2, /з придется к местным ур-ниям (3.101а) присоединить еще динамические уравнения движения стержня. Задача упрощена благодаря тому, что ребра /2 и 4 настолько малы, что в направлении их все рассматриваемые величины Л ( , а, не меняются. Так как, кроме тою, все размеры стержня (в том числе и 1 ) столь малы, что выравнивание электрического потенциала вдоль обкладок можно считать происходящим мгновенно, то напряженность поля ( не зависит от кооодинаты л , отсчитываемой вдоль ребра /1. Остальные величины будут функциями координат х 0 = 0(х), о=о(х), 1 = 1(х). [c.80]

Ильюшин А. А. К вопросу о поперечных колебаниях и продолыюй устойчивости стержней переменного сечения. Ученые записки Московского государственного университета. Механика. Вып. 7. Изд. МГУ, 1937. [c.513]

Для этого необходимо было исследовать собственные частоты рамных конструкций. После того как впервые Гейгером были опубликованы формулы для собственных частот поперечных рам фундаментов, расчеты подобных рам были выполнены Элерсом и распространены также на случай стержней переменного сечения. Одновременно ряд статей и книга по общим вопросам колебаний стержневых систем были опубликованы Прагером. Автором настоящей книги были проведены исследования по выяснению сил, действующих на фундамент, с тем чтобы более точно установить расчетные нагрузки им было предложено рассматривать момент короткого замыкания как внезапно прикладываемую нагрузку, вводя в расчет соответственно его двойную величину. Далее было предложено величину центробежной силы считать равной утроенному весу вращающихся частей и статическую силу, эквивалентную ей, получать умножением этой величины на динамический коэффициент (зависящий от частоты) и на коэффициент усталости 2. Автором впервые было отмечено, что при определении частот собственных колебаний рам фундаментов, имеющих относительно короткие элементы со значительными размерами поперечных сечений, нельзя ограничиваться Зачетом только изгибных деформаций, а необходимо учитывать также сжатие колонн, так как при этом значения частот уменьшаются, как правило, на 20—30%- [c.233]

Этот способ использован Релеем ) при приближенном определении самой низкой частоты поперечных колебаний стержня. Он исходил при этом из общей теоремы о том, 410 частота колебания динамической системы при смещениях частного вида пе может быть меньше, чем наиболее низкая частота нормальных колебаний системы. Он показал, что для стержня, закрепленного на одном конце и свободного на другом, пол/чается хорошее приближенное значение частоты прн следующем допущении при колебании смещение стержня будет таким же, как при статическом прогибе под действием поперечной силы, приложенной со стороны свободного конца на расстоянии, равном 1/4 длины стержня. Этот метод недавно был предметом некоторой дискуссии ). Была показана его применимость к определению низшей частоты поперечных колебаний стержня неодинакового сечения ). Далее, было показано, что при применении метода последовательных приближений для определения собственных функций и соответствующих частот в задачах о стержнях переменного сечения можно пользоваться решением Релея, как первым приближением ). [c.461]

J. Lipka [1.239] (1960) для решения уточненных по Тимошенко уравнений поперечных колебаний вращающихся стержней переменного сечения применил следующий метод. Решение для прогиба записывается в виде бесконечного ряда [c.92]

В работе Л. И. Картошкина [1.31] (1961) приведено интегральное уравнение поперечных сдвиговых колебаний стержня, имеющего переменное по длине поперечное сечение и переменный по длине модуль сдвига. Это уравнение соответствует частному случаю волнового уравнения Тимошенко, если в последнем пренебречь изгибной деформацией. В отличие от уравнения Тимошенко, описывающего распространение волн с дисперсией, что хорошо согласуется с результатами трехмерной теории упругости, полученное уравнение описывает распространение волн без дисперсии и применимо в узкой области недлинных волн (при правильном выборе величины коэффициента сдвига). Исследуется распространение волн сдвига в ступенчатом стержне. Использованная автором замена отношения площадей сечений ступенчатого стержня отношением модулей сдвига или отношением плотностей материала необоснованна. [c.94]

ШИ относительных перемещений точек при деформации можно пренебречь. Остальные гипотезы, к-рыми пользуется С. м., здесь устранены первоначально в развитии теории упругости они или подтверждаются вполне, или частью, с известным приближением, или отвергаются в связи с анализом отдельных деформаций. Элементарные теории растяжения, кручения круглых брусков, чистого изгиба вполне согласуются с теорией упругости. Изгиб в присутствии срезывающих сил, как оказывается, подчиняется закону прямой линии гипотеза Навье), но не закону плоскости (гипотеза Бернулли). Касательные напряжения при изгибе распределяются по закону параболы, но только в тех сечениях, которые имеют незначительную толщину при большой высоте (узкие прямоугольники). В других сечениях закон распределения касательных напряжений совершенно иной. Для балок переменного сечения, к к-рым в элементарной теории прилагают закон прямой линии и параболы, теория -упругости дает другие решения в этих решениях значения напряжений и деформаций гораздо выше, чем по элементарной теории следует. Общепринятый способ расчета пластин по Баху как обыкновенных балок не оправдывается теорией упругости. Ф-лы С. м. для кручения некруглых стержней не соответствуют таковым в теории упругости. Теория изгиба кривых стержней решительно не совпадает с элементарной теорией Баха-Баумана, но результаты расчета по строгой теории и на основании гипотезы плоских сечений достаточно близки. Поставлена и разрешена для ряда случаев задача о распределении местных напряжений (в местах приложения нагрузки или изменения сечения), к-рая совершенно недоступна теории С. м. Вопрос об устойчивости деформированного состояния, элементарную форму которого представляет в С.м. продольный изгиб, получил в теории упругости общее решение Бриана (Bryan), Тимошенко и Динника. Помимо многочисленных форм устойчивости стержня, сжатого сосредоточенной силой, изучены также явления устойчивости стержней переменного сечения под действием равномерно распределенных сил и другие явления устойчивости балок при изгибе, равномерно сжатой трубы, кольца, оболочек, длинного стержня при скручивании и пр. Теория упругого удара— долевого, поперечного—занимает большое место в теории упругости и включает все большее и большее чис-чо технически важных случаев. Теория колебаний получила настолько прочное положение в теории упругости и в практи-тсе, что методы расчета на ко.чебания проникают область С. м., конечно в элементарном виде. Изучены распространение волны в неограниченной упругой среде (решение Пуассона и Кирхгофа), движение волны по поверхности изотропной среды (решение Релея), волны в всесторонне ограниченных упругих системах с одной, конечно многими и бесконечно многими степенями свободы. В связи с этим находятся решения, относящиеся к колебаниям струн, мембран и оболочек, различной формы стержней, пружин и пластин. [c.208]

Подстановкой других значений тип будем иметь частоты 2, 3,... порядки. Разрешены таким путем задачи о продольных колебаниях стержней постоянного и переменного сечений, также о поперечных колебаниях при различных способах закрепления рассмотрены колебания колец, мембран, дисков и различных оболочек. Сделаны попытки оп1)одолпть величину напряжений при колебаниях Л ером (Lehr). Все жо в технических расчетах делают проверку только на частоту колебаний. В табл. 6 приведены частоты колебаний для различных случаев. С теорией колебаний тесно связано [c.221]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...