Определяющие уравнения для упругих и упругопластических тел

Цилиндрическое тело может состоять из слоев различных мате-риалов, тогда при вычислении напряжений для каждого дискретного элемента используются свои определяющие уравнения. Для упругопластического материала и при использовании явной схемы решения уравнений (5,5.6) по времени напряжения определяются через приращения = о" + Ао по упругому закону [c.121]

Механические свойства жидкостей и твердых тел, не обладающих совершенной упругостью и вязкостью, настолько переплетаются, что для тех и других нередко используются одни и те же соотношения между напряжениями и деформациями, и в этих случаях основные дифференциальные уравнения МСС для них совпадают. Важный пример таких сред представляют полимерные материалы (смолы, каучук,. ..). Технология их производства охватывает область жидкого и твердого состояния, причем упругие и вязкие свойства являются существенными. Поведение металлов в технологических процессах и конструкциях в зависимости от диапазона температур определяется вязкими, вязкопластическими, упругопластическими или упругими свойствами. [c.217]

Обычно анализ мощных ударных волн в твердом теле, образование которых сопровождает интенсивные импульсные воздействия, проводится в гидродинамическом приближении. Если развиваемые давления многократно превышают предел текучести материала, то гидродинамическое приближение позволяет с хорошей точностью описывать распады разрывов, определять уравнение состояния вещества, рассчитывать начальные стадии действия взрыва и высокоскоростного удара. Но даже и в этом случае упругопластические свойства среды, как показывают эксперименты, оказывают заметное влияние на режим затухания ударных волн. По мере ослабления импульса ударной нагрузки в веществе влияние упругопластических свойств среды на динамику ее движения становится все более существенным. Поэтому мы сочли целесообразным начать изложение с основных понятий теории упругости. [c.9]

Как следует из схемы, представленной на рис. В.1, информация о НДС является ключевой для анализа прочности и долговечности элементов конструкций. Поэтому правильность оценки работоспособности той или иной конструкции в первую очередь зависит от полноты информации о ее НДС. Аналитические методы позволяют определить НДС в основном только для тел простой формы и с несложным характером нагружения. При этом реологические уравнения деформирования материала используются в упрощенном виде [124, 195, 229]. Анализ НДС реальных конструкций со сложной геометрической формой, механической разнородностью, нагружаемых по сложному термо-силовому закону, возможен только при использовании численных методов, ориентированных на современные ЭВМ. Наибольшее распространение по решению задач о НДС элементов конструкций получили следующие численные методы метод конечных разностей (МКР) [136, 138], метод граничных элементов (МГЭ) [14, 297, 406, 407] и МКЭ [32, 34, 39, 55, 142, 154, 159, 160, 186, 187, 245]. МКР позволяет анализировать НДС конструкции при сложных нагружениях. Трудности применения МКР возникают при составлении конечно-разностных соотношений в многосвязных областях при произвольном расположении аппроксимирующих узлов. Поэтому для расчета НДС в конструкциях со сложной геометрией МКР малоприменим. В отличие от МКР МГЭ позволяет проводить анализ НДС в телах сложной формы, но, к сожалению, возможности МГЭ ограничиваются простой реологией деформирования материала (в основном упругостью) [14]. При решении МГЭ упругопластических задач вычисления становятся очень громоздкими и преимущество метода — снижение мерности задачи на единицу, — практически полностью нивелируется [14]. МКЭ лишен недостатков, присущих МКР и МГЭ он универсален по отношению к геометрии исследуемой области и реологии деформирования материала. Поэтому при создании универсальных методов расчета НДС, не ориентированных на конкретный класс конструкций или вид нагружения, МКЭ обладает несомненным преимуществом по отношению как к аналитическим, так и к альтернативным численным методам. [c.11]

Для определения значений а п е выполняют ряд последовательных итерационных переходов в соответствии с уравнением (2.112) и кривой упругопластического деформирования а = ё", где а = aja и ё = е/е — относительные напряжения и деформации. В первом приближении (при / = 1) задают значение секущего модуля и определяют упругое напряжение Оу = Оу = а . По этому значению из соотношения (2.113) при 7 = 2 вычисляют деформацию = ву и новый секущий модуль E . Процесс последовательных приближений продолжают до тех пор, пока не будет выполнено условие E j j -- где V — заданная погрешность решения. [c.90]

Идея линеаризации уравнений теории пластичности принадлежит А.А.Ильюшину, который предложил метод решения задач теории малых упругопластических деформаций - метод упругих решений [37]. Метод заключается в том, что пластическое тело заменяется упругим, имеющим такие же, как и пластическое, перемещения и деформации. Такая замена возможна при условии, что в теле возникают дополнительные напряжения, приводящие к дополнительным объемным и поверхностным силам. Эти первоначально неизвестные силы определяются путем последовательных приближений. [c.231]

В области, упругих деформаций (р = О и в уравнении (7.106) изменение энтропии определяется только свойствами разностной схемы. В областях пластических и упругопластических деформаций (р о и энтропия изменяется даже при отсутствии ударных волн. В этом случае (йю1 следует сравнивать со скоростью изменения энергии пластической дисторсии. [c.233]

С помощью решения линеаризованной задачи о потере устойчивости конструкций [51] можно достаточно точно определить форму выпучивания. Критическое значение параметра деформирования в интервале времени t, t+At) можно уточнить при достаточно малом шаге интегрирования для конструкций из упругого материала. При решении задачи о выпучивании конструкции из упругопластического материала с помощью линеаризованной задачи о потере устойчивости можно определять только (собственные) формы потери устойчивости. Для уточнения критической нагрузки надо уменьшать шаг интегрирования нелинейных уравнений. [c.228]

Возможность сопротивления хрупкому разрушению зависит от знания распределения напряжений и деформаций и от правильного сопоставления этого распределения со свойствами материала в данных условиях. В этом разделе рассмотрены некоторые из наиболее эффективных методов расчета напряжений и деформаций в крупных вращающихся деталях. Напряжения и деформации прежде всего возникают под действием центробежных сил и температурных градиентов. При некоторых условиях напряжения складываются, а в других случаях они нейтрализуют друг друга. Если комбинированные напряжения и деформации не выходят за предел упругости, которым обладает данный материал, то их можно определять отдельно, а полученные результаты складывать. Если комбинированные нагрузки приводят к напряжениям, превышающим предел упругости материала, то теоретически необходимо решать общую упругопластическую задачу. В основном достаточно использовать только уравнения статики, где [c.85]

Анализ разрушения металлических конструкций и многочисленные экспериментальные данные показывают, что в реальных условиях эксплуатации в нагруженном материале возле трещин могут возникать значительные пластические деформации, охватывающие области, сравнимые с характерными размерами концентратора напряжений (трещины, выреза, включения) или рассматриваемого тела. Описание процесса разрушения при значительных пластических деформациях требует решения соответствующей упругопластической задачи для тела с трещинами. Обстоятельный обзор таких исследований выполнен в работе [12]. Применение классических методов теории пластичности во многих случаях является малоэффективным и не всегда учитывает некоторые характерные особенности протекания процесса пластического деформирования, в частности локализацию деформаций в тонких слоях и полосах. В случае тонких пластин (плоское напряженное состояние) такие деформации локализуются в тонких слоях (полосах пластичности) на продолжении трещин и достаточно хорошо описываются с помощью б -модели, когда полосы пластичности моделируются скачками нормальных смещений [65. При плоской деформации зоны пластичности возле трещин во многих случаях также локализуются в тонких слоях (полосах скольжения), выходящих из вершины трещины под некоторыми углами к ней [45, 120, 159, 180]. Полосы скольжения при этом моделируются скачками касательных смещений. В результате решение упругопластической задачи для тела с трещинами сводится к решению упругой задачи для тела с кусочно-гладкими (ломаными) или ветвящимися разрезами (см. третью главу), на берегах которых заданы разрывные нагрузки. При этом длина зон пластичности и их ориентация заранее неизвестны и должны быть определены в процессе решения задачи. Для таких исследований может быть успешно применен метод сингулярных интегральных уравнений, развитый в предыдущих главах, что и проиллюстрировано на конкретных примерах. [c.219]

Однако в прикладной термопластичности упомянутые трудности не имеют чрезмерного значения. Теплотой пластической Деформации, входящей в множитель уз, обычно можно пренебречь. Поэтому на рис. 3 связи 8 и 9 обозначены пунктирными линиями. При таком упрощении часть Ар свободной энергии (12), например, зависит только от внутреннего параметра X. Тогда для упругопластического материала энтропия и удельная теплота будут иметь тот же вид, что и в случае упругого тела. Далее, сопряженная величина я может быть экспериментально определена путем измерения скорости изменения накопленной энергии благодаря упрощениям, получающимся, если в уравнении (53) положить уз = О и принять, что X не зависит от температуры. [c.219]

Предельные нагрузки Р вне зон концентрации напряжений рассчитывают в предположении упругого или упругопластического деформирования и используют при этом соответствующие интегральные уравнения равновесия и уравнения кривых дефор.миро-вания типа (10)—(18). Наиболее распространены уравнения (11), (15) н (17), 08). Характеристики упрочнения m и Ят определяют экспериментально или расчетом по уравнениям (24) и [c.68]

Цикл работ Д.Д. Ивлева посвящен линеаризированным задачам упругопластического состояния тел. Метод малого параметра, развитый в работах Д.Д. Ивлева, позволил получить решение ряда плоских, осесимметричных, пространственных задач упругопластического состояния тел и определить неизвестную границу, отделяющую область пластического состояния материала, описываемую уравнениями гиперболического типа, от области упругого состояния тела, описываемой уравнениями эллиптического типа. На примере разложения в ряд классических решений Л.А. Галина и Г.П. Черепанова было установлено их совпадение с решениями, полученными непосредственно методом малого параметра, и показана достаточно быстрая сходимость приближений. Дальнейшее развитие получили линеаризированные методы решения задач жесткопластического анализа, в том числе линеаризированные задачи о вдавливании жестких тел в идеально пластическую среду. [c.8]

Поскольку в теории малых упругопластических деформаций принимается допущение о том, что при пластических деформациях объем не изменяется (0 = 0), т. е. материал несжимаемый (е = 0), то в уравнениях (3.62) и (3.63) необходимо положить 8 = 0. В этом случае зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций за пределами упругости, o = Ф (8 ), определяется диаграммой растяжения. Таким образом, принимается гипотеза о существовании единой кривой деформирования для данного материала независимо от вида напряженного состояния. В условиях несжимаемости материала /С оо д, = 0,5 Е = 30. [c.107]

В общем случае для систем уравнений с частными производными, описывающих волновые задачи для упругопластических и упруго/вязкопластических тел, нельзя определить решение в замкнутом виде. Ввиду этого для нахождения решения применяются приближенные методы [115]. Основой этих методов является аппроксимация производных в дифференциальных уравнениях отношениями разностей и решение полученных систем разностных уравнений вместо дифференциальных систем. [c.65]

К сожалению, изменение податливости для упругопластического контакта в точной форме не определено, так что теория упругопластического удара необходимо должна быть приближенной. Поскольку большинство соударений металлических тел приводит к полностью пластическому вдавливанию, сосредоточим внимание на рассмотрение этого режима. В приводимом статическом анализе предполагается, что (а) полное упругое и пластическое сжатие б связано с размерами контактной зоны соотношением б = а /2Я (т. е. ни султан, ни воронка не образуются в зоне контакта) и (Ь) среднее контактное давление Рт постоянно И равно З.ОУ. Эти предположения приводят к соотношению податливости (6.41), которое дает, как показано на рис. 6.17, хорошее соответствие экспериментальным результатам. Делая здесь те же предположения и используя уравнения (11.40), получим [c.410]

Сближение поверхностей в условиях упругопластического контакта удобно определять вторым способом, используя уравнение опорной кривой профиля и разделяя общую деформацию к усредненного выступа на упругую Нуп и пластическую Нпл. Общий порядок расчета следующий. [c.36]

Рептение задачи сводилось к определению составляющих уравнения (5.1). Параметры и v)/ определяли на основе упругого решения /30/. Для подсчета пластичес-кой диссипации энергии при произвольной диаграмме деформирования воспользовались структурной моделью упругопластической среды /29/. Согласно данной модели каждый элементарный объем металла можно представить набором [c.127]

Если упругопластическое тело при его нагружении переходит последовательно состояния, соответствующие процессу активного нагружения, то это тело всегда может быть отождествлено с нелинейно-упругим телом и для него верно введение условной потенциальной энергии и справедлива (только для активного процесса) форма уравнения (9.21) принципа возможных перемещений. Так как потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной (добавляемой прямым суммированием) постоянной С, то эту постоянную всегда можно выбрать так, чтобы в некотором заданном наперед состоянии потенциальная энергия была равна нулю. ТакЬе состояние назовем нуяевьш или с(х)тветствующим нулевому уровню потенциальной энергии. [c.196]

Роджерс и Пипкин [37] рассмотрели задачу о деформации под действием внутреннего давления трубы, зажатой между абсолютно жесткими параллельными плитами. Как мы только что видели, деформация трубы полностью определена, если известен радиус кривизны г(0) ее внутренней границы или если известна величина /(0). Из условий равновесия результирующих усилий было получено нелинейное интегральное уравнение для /(0) нелинейность уравнения обусловлена нелинейной зависимостью 5/(0) от /(6). Это уравнение было представлено в виде интегрального для того, чтобы его было легче решать итерационными методами. В частном случае линейно упругого поведения S k) = Gk уравнение линейно и его решение находится в явном виде. Интегральное уравнение для /(0) можно решить аналитически для жесткопластического и упругопластического поведения, но такие решения в настоящее время не опубликованы. [c.327]

И.А.Биргер в работе [7] предложил другие методы линеаризации уравнений теории малых упругопластических деформащсй метод дополнительных деформаций и метод переменных параметров упругости. При линеаризации уравнений пластичности методом дополнительных деформаций предполагается, что в эквивалентном упругом теле напряжения совпадают с напряжениями пластического тела, а упругие характеристики соответствуют первоначальным упругим характеристикам. Такая замена возможна, если в эквивалентном упругом теле имеются начальные деформации типа температурных деформаций. Эти неизвестные начальные (дополнительные) деформации определяются последовательными приближениями. [c.231]

Ha стадиях упругого (Лу = Лд = Лр = Л) и упругопластического деформирования Кт = рВт, Ьв = hp = Л) уравнение (10.12) после очевидных преобразований совпадает с известными решениями. Получим далее соотношения, позволяющие определить положение границ зоны закритической деформации и ргьспределение напряжений в сечении балки, на следующих стадиях деформирования. [c.229]

Мы можем представить себе воображлемое упругое тело, для которого объемные силы и граничные условия при задании усилий модифицированы согласно уравнениям (12.32) и (12.33). Поле смещений, полученное из решения уравнения (12.32), будет поэтому верным для реального упругопластического тела. Напряжения, соответствующие этому полю смещений, должны определяться соотношениями между напряжениями и деформациями, присущими теории упругости в упругих областях и упругопластической теории в упругопластических областях. [c.342]

Дальнейшие уточнения коэффициентов концентрации осуществлялись путем введения в уравнения (41) поправочных функций и постоянных множителей, определяемых по диаграмм деформирования, а также на базе допущений о равенстве энергий деформаций в зоне концентрация для стадии упругого и упругопластического деформирования. Наибольшее распространение в расчетах максимальных местных напряжений и деформаций получили [2, 3, 7, 9, 11, 16, 2 ) формулы Нейбера и Хардрата—Омана. Анализ этих формул проведен в работах [2, 7, 16, 21 ]. Эти формулы позволяют определить коэффициенты концентрации напряжений Kq и деформаций Ке в упругопластической области по известным значениям коэффициента концентрации напряжений в упругой области [c.22]

Попытки распространить гюлучеиные в теории упругости решения краевых вадач для тел е траншами на случай образования paBjaHiejibHO небольших 80И пластичности, размеры которых меньше размеров трещин, в первую очередь связаны с предложеайсы Д. Ирвина определять фиктивную длину трещины как сумму фактической длины трещины и радиуса пластической зоны. При этом радиус для пластической зоны получают из упругого решения, приравнивая напряжения (в уравнении для описания распределения напряжении у вершины трещины) к пределу текучести для идеально упругопластического материала или материала со степенным упрочнением. Эти подходы к оценке роли местных пластических деформаций в зонах трещин позволили использовать основные соотношения линейной механики разрушения при номинальных напряжениях по неослабленному сечению до 0,7 от предела текучести и о ослабленному — до 0,8—0,9 от предела текучести. [c.35]

Номинальные напряжения возникающие от механических нагрузок вне зон концентрации, обычно находятся в пределах упругости (о < т/ т) Если к этим напряжениям добавляются температурные и остаточные 1 апряжё-ння, которые приводят к образованшр пластических деформаций, то Kf н К определяют по уравнениям линейной механики разрушепия с усложнением вида функции / (/ i). Если суммарные напряжения превышают предел текучести (о > Tj), то необходимо рассчитать относительную номинальную упругопластическую деформацию [c.75]

Так как в общем случае циклическая пластическая деформация изменяется в зависимости от числа нагружений и лишь для циклически стабильных материалов остается постоянной, в уравнении (И) рекомендуется [13, 16] использовать значение 8р, соответствующее 50 % цик.чов нагружения от данной долговечности, когда для большинства материалов достигается состояние, близкое к циклической стабилизации, В ряде случаев в (11) используют значения 8 циклической упругопластической деформации (вместо ер). Зависимости типа (И) были предложены для описания условий разрушения при жестком нагружении в области малых чисел циклов, когда разрушение определяет пластическая составляющая деформации 10 ). Однако с увеличением числа циклов до разрушения пластическая деформация йтановятся соизмеримой с упругой, в связи с чем необходима соответствую щая модификация уравнений. [c.96]

Цоявление ЭЦВМ позволило перейти от поиска решений отдельных упругопластических задач к разработке численны х методов решения широкого класса задач [51. К ним относятся сеточные методы, использующие конечно-разностную аппроксимацию нелинейных дифференциальных уравнений [6], численное интегрирование таких уравнений методом прогонки с ортогона-лизацией решений [71, сведение нелинейных дифференциальных уравнений к интегральным [3, 4, 81, применение метода конечных элементов к физически нелинейным задачам и другие методы [5]. Расчет ведется последовательными прибли,жениями с использованием метода переменных параметров упругости [8]. Каждый из этих методов имеет свои достоинства, однако их реализация для узлов и конструкций в инженерной практике оказывается значительно более сложной по сравнению с упругим расчетом тех же конструкций. Этим объясняется традиционный подход к оценке прочности узлов, работающих в условиях упругопластического деформирования, при котором ограничиваются данными их упругого расчета [1]. При проведении поверочного расчета конструкций нормами рекомендуется определять напряжения в предположении упругого поведения материалов такжё и в том случае, если напряжения,. определенные по расчету, превышают предел текучести. При этом для удобства выполнения расчетов, принятых в инженерной практике, вместо упругопластических деформаций вводятся условные напряжения, определяемые упругим расче том [2]. [c.123]

Так как в упругопластической области исходные дифференциальные уравнения становятся нелинейными, а коэффициенты переменными, методы их решения существенно усложняются. Однако в данной работе применен способ разбиения интервала интегрирования на участки, в пределах которых коэффициенты уравнений считаются постоянными. При этом использование решения в матричной форме метода начальных параметров также дает существенное преимущество [11]. Поскольку соответствующая этому способу физическая дискретизация конструкций, состоящей из разнородных оболочек, пластин и колец, не отличается, по существу, от случая упругого расчета, то матричный метод расчета, изложенный в работе [9], и составленная на ого основе сомпактная программа расчета для ЭЦВМ оказываются полностью пригодными для упругопластического расчета составных конструкций из элементов оболочек, пластин и колец. Эффективность предлагаемого метода упругопластцческого расчета определяется не только этим удобством. Выполненные расчеты показа-, ли значительно более быструю сходимость последовательных приближений по сравнению с методами, основанными на замене дифференциальных уравнений интегральными [3]. Еще в большей мере, чем при упругих расчетах, сказывается экономичность предлагаемого метода расчета на Э1],ВМ по сравнению с методами численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. , [c.124]

Решение проблемы равновесия пластинок и оболочек при упругопластических деформациях, как и при чисто упругих, основывается на двух основных постулатах Кирхгоффа-Лява. Первый состоит в том, что совокупность материальных частиц, расположенных на нормали к серединной поверхности оболочки до деформации, расположена также на нормали к серединной поверхности её после деформации, и потому деформированное состояние оболочки определяется только деформированным состоянием её серединной поверхности. Этот постулат, по существу, говорит о том, что каждый кусок оболочки, размеры серединной поверхности которого малы сравнительно с общими её размерами (и соизмеримы с толщиной), находится в условиях, весьма близких к чистому изгибу и кручению, наложенным на растяжение и сдвиг без изгиба и кручения. Второй постулат состоит в том, чю все компоненты напряжений, имеющие направление нормали к серединной поверхности, весьма малы сравнительно с другими. Оба эти постулата находятся в согласии друг с другом и означают, что всякий тонкий элементарный слой материала, парадлельный серединной поверхности оболочки, находится в условиях плоского напряжённого состояния или, точнее, напряжения, действующие в его плоскости, значительно больше других напряжений. В справедливости такого предположения можно убедиться из анализа порядка различных компонентов напряжений в тонкой оболочке, исходя из уравнений равновесия. [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...