Уравнения теории упругости. Граничные и начальные условия

Уравнения теории упругости. Граничные и начальные условия [c.340]

Очевидное преимущество использования моделирующей непрерывной однородной среды состоит в том, что оно сразу дает определяющие уравнения вместе с граничными и начальными условиями. Как только такая модель построена, ее можно применять к изготовленным из композита телам конечных размеров и произвольной формы. В то же время в подходах, использующих уравнения теории упругости для отдельных компонентов композита в сочетании с прямыми методами вариационного исчисления или асимптотическими разложениями, требуется разумный выбор множества базисных функций для каждого конкретного тела. [c.375]

В случае, когда среди звеньев системы содержатся упругие тела, к уравнениям (3)—(6) или (16), (17) необходимо добавить соответствующие уравнения теории упругости для упругих звеньев системы, а также граничные и начальные условия. Тогда в интегралах энергии (19), (21) появятся добавочные члены, обусловленные упругой деформацией элементов системы. При этом соотношение (23) служит для определения стационарных движений [26]. [c.284]

Для того чтобы поставленные выше задачи теории упругости и вязкоупругости имели решения определенной гладкости, необходимо наложить некоторые требования на гладкость границ тела, на гладкость граничных и начальных условий, а также объемных сил. Эти требования формулируются в терминах определенных классов границ и пространств функций. Необходимость в использовании тех или иных классов границ и пространств функций возникает и в рамках метода граничных элементов как при построении граничных интегральных уравнений, так и при исследовании сходимости дискретных методов решения этих уравнений. Ниже описываются используемые в последующих главах классы границ и пространства функций, причем для того, чтобы охватить одновременно различные мерности задач механики деформируемого твердого тела, рассмотрение ведется в пространстве Л ", m l. [c.24]

Если область Gj обладает другой геометрией и/или для нее используется модель, отличная от теории упругости, то уравнения (1), граничные и начальные условия должны быть заменены соответствующими. [c.350]

Постановка задачи теории упругости в перемещениях при граничных условиях состоит в том, чтобы найти три функции перемещений, которые удовлетворяют внутри области К, занимаемой телом, дифференциальным уравнениям равновесия в перемещениях (2.25), а на границе области — граничным условиям (2.26). Динамическая задача ставится аналогично, однако перемещения зависят не только от координат, но и от времени т. е. функции должны удовлетворять дифференциальным уравнениям движения в перемещениях, граничным и начальным условиям. [c.76]

Как известно (см. раздел Д.1), динамическая задача теории упругости сводится к начально-краевой задаче для уравнений движения в перемещениях (Д.4). Применяя преобразование Лапласа (Д.38) к уравнениям движения, граничным и начальным условиям, вместо одной начально-краевой задачи для нестационарной системы уравнений (Д.4) получим бесконечное множество краевых задач для стационарной системы [c.206]

В начале главы в соответствии с требованиями теории подобия однозначно определяется волновая задача для указанной упругой среды. Затем при помощи масштабных преобразований уравнения движения и условия однозначности (граничные и начальные условия) преобразуются к безразмерному виду. При этом выбор масштабов ограничивается уравнениями связи (между масштабами), которые получаются из исходных дифференциальных уравнений при приведении последних к безразмерному виду. Кроме того, в качестве произвольных масштабов выбираются величины с независимыми размерностями, как это требует теория размерностей. [c.45]

Постановка задач в теории упругости. Решения указанных систем уравнений должны удовлетворять для статических задач граничные условия, т. е. условия на поверхности деформируемого тела, а для динамических задач дополнительно и начальные условия, т. е. условия в начальный момент времени. [c.186]

В простейшем и наиболее важном для приложения случае линейной теории однородных изотропных упругих тел задача сводится к разысканию интегралов вырожденной гиперболической системы дифференциальных уравнений теории упругости или системы уравнений термоупругости, которая не относится к классическим каноническим типам, удовлетворяющих в некоторой области D X [О, оо) заданным начальным и граничным условиям (I, 14 и 15). [c.312]

Рассматриваются граничные интегральные уравнения динамических задач для упругих тел с трещинами в пространстве преобразований Лапласа. В связи с этим все излагаемые результаты относятся к дифференциальным и интегральным уравнениям, а также функциям в пространстве преобразований Лапласа. Поэтому в соответствующих местах во избежание повторений слова в пространстве преобразований Лапласа опускаются. Введенные выше поверхностные потенциалы (5-4) удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости везде в области V за исключением внешней границы дУ и поверхностей трещин й. Частные решения, соответствующие действию объемных сил и неоднородным начальным условиям, выражаются объемными потенциалами. В связи с этим решение той или иной задачи динамики упругих т л с трещинами можно представить в виде суммы граничных и объемных потенциалов. Граничные потенциалы должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничным условиям на внешней поверхности тела дУ и поверхностях трещин й. Для нахождения этих неизвестных строятся граничные интегральные уравнения. При этом используются интегральные соотношения (5.51) или (5.58), в которых учтены свойства граничных потенциалов на границе тела (5.39) и на поверхности трещии (5.43). Во избежание повторений ниже будем использовать соотношения (5.58). [c.124]

Рассмотрим две системы сил, вызываемые ими движения и напряжен-но-деформированные состояния. Чтобы различать состояния тела, вызванные этими системами сил, величины, соответствующие второму состоянию, снабдим штрихами. Каждое из этих состояний описывается уравнениями динамической теории упругости с заданными начальными и граничными условиями. Применим к ним интегральное/-преобразование Лапласа [c.201]

Как было показано, решение задач теории упругости сводится к некоторым типовым краевым задачам для систем уравнений с частными производными. Фактическое построение решений этих уравнений с заданными начальными и граничными условиями даже при современном уровне развития математических методов и вычислительной техники не всегда оказывается осуществимым. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть вопрос о возможности такого изменения краевых условий, чтобы модифицированная задача оказалась более доступной для решения, чем исходная, а различие в результатах было пренебрежимо малым (по крайней мере в значительной части [c.257]

В первой и во второй частях книги получены 29 уравнений, содержащие только упомянутые 29 величин, которые характеризуют напряженно-деформированное состояние. Следовательно, получена замкнутая система уравнений теории пластичности. Она представляет собой математическую модель упруго-пластической деформации. Напряженно-деформированное состояние в любом процессе обработки металла давлением (при прокатке, волочении, прессовании и др.) удовлетворяет этой системе уравнений. Поэтому ее недостаточно для достижения указанной цели теории пластичности. При интегрировании системы дифференциальных уравнений появляются новые постоянные и функции координат и времени, для определения которых нужны дополнительные уравнения, конкретизирующие процесс. Это уравнения, описывающие начальное состояние тела в момент времени f (начальные условия), и уравнения, отображающие взаимодействие деформируемого тела с окружающей средой (граничные условия). Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями. Они определяют пространственно-временную область, в пределах которой происходит исследуемый процесс обработки металла давлением, и вместе с замкнутой системой уравнений теории пластичности образуют краевую задачу. Ее решение, т. е. результат интегрирования замкнутой системы уравнений при заданных начальных и граничных условиях, представляет собой математическую модель рассматриваемого процесса (прокатки, волочения, прессования и т. д.) в виде 29 функций координат [c.233]

Приведенная система должна быть проинтегрирована при заданных начальных и граничных условиях. Граничные условия, так же как и в теории упругости, могут быть заданы в напряжениях, в перемещениях, или на части поверхности тела заданы напряжения, а на части Fg — перемещения (смешанные граничные условия). Рассмотрим методы решения этой системы уравнений. [c.97]

На основании теоремы Кирхгофа о единственности решения задачи теории упругости, доказанной в 118, мы можем считать, что раз мы нашли решение уравнений упругости, удовлетворяющее начальным и граничным условиям, то это решение будет единственным, и никакого другого решения найти нельзя. Это относится ко всем проблемам, которые будут рассматриваться в этой книге. Исключение составляют только задачи о равновесии длинных тонких прутьев пли тонких пластинок и тонких оболочек, где возможно несколько решений. [c.94]

В работе [10] проблема существования решения системы уравнений термоупругости рассматривается для анизотропного неоднородного тела. Задача определяется заданием смешанных однородных граничных условий для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока и начальных данных для перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при которых рассматривается существование единственного решения, следующие 1) существенные нижние границы для плотности и удельной теплоемкости больше нуля, 2) выполняется неравенство Клаузиуса—Дюгема о положительности произведения теплового потока на градиент температуры, 3) оператор теории упругости является положительно определенным для принятых граничных условий. Существование единственного обобщенного решения на конечном промежутке времени доказано в пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые производные, температура суммируема с квадратом и суммируем интеграл по времени от квадратов производных температуры по координатам. Вместе с тем показано, при каких условиях решение существует как классическое, т. е. имеет нужное количество непрерывных производных по координатам и времени. [c.239]

Совокупность двух последних слагаемых (7.51) можно трактовать как дифференциальный аналог структурно-усадочной деформации в соотношениях (7.14). Таким образом, если заданы начальные условия, изменение граничных условий во времени, а также система уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями для процессов теплопроводности и термохимической кинетики, то можно, в принципе, с помощью теории течения в сочетании с итерационным уточнением (см. в п. 7.2.1) численно решить плоскую осесимметричную задачу механики твердого деформируемого тела. Причем наращивание числа слоев во времени (намотка) естественным образом включается в алгоритм. В численном решении задачи для тела с произвольным законом деформирования центральным звеном алгоритма является решение однородной линейно-упругой задачи. [c.456]

Метод решения основан на разложении внешнего давления и компонент вектора перемещений в ряды Фурье по окружной координате. Подстановка рядов в уравнения динамической теории упругости, граничные и начальные условия приводит к N взаимонезависимым систе- [c.255]

Уравнение (8.17) вместе с граничными и начальными условиями является основным уравнением пятиконстант-яой теории упругости. Это уравнение нелинейно. Формальными причинами нелинейности являются упомянутая ранее геометрическая нелинейность и нелинейность обобщенного закона Гука (8.16). Последнюю обычно называют физич еской нелинейностью, ибо она связана с нелинейной упругостью конкретного твердого тела. Физическая нелинейность во втором приближении определяется упругими модулями третьего порядка (8.12), Пятиконстантная теория упругости является по существу нелинейной теорией с зачетом величин второго порядка малости. Поэтому естественно вдесь воспользоваться методом малого параметра вектор смещения можно представить в виде [c.298]

В дополнении даны основные уравнения динамической теории упругости, кото]рые использованы в основном тексте монографии. Приведены уравнения движения в перемещениях, сформулированы граничные и начальные условия. Представлено решение в виде скалярного и векторного потенциала. О юрмулирован1 вариационные принципы динамической теории упругости и теорема взаимностн, а также приведена формула Сомилианы. Рассмотрены гармонические колебания [c.7]

Для корректной формулировки динамических задач теории упругости необходимо задавать граничные и начальные условия. В случае, когда упругая среда занимает неограниченную область, решение уравнений движения (3.1) полностью определяется заданием векторов перемещений и скоростей в начальный йомент времени. Предположим, что при t а ta тело находится в недеформированном состоянии, а перемещения и скорости его точек равны нулю. Тогда начальные условия представим в виде [c.63]

Мы видим, что не только дифференциальное уравнение (XV.36) совпадает по виду с уравнением (XII.14), но и условия (XV.37) — (XV.39) совпадают с граничными и начальными условиями аналогичной задачи теории упругого режима. Поскольку поставленная здесь задача должна решаться при помош и уравнения (XV.36), совпада-юш его по виду с уравнением задачи п. 5 ( 5, глава XII) и поскольку граничные и начальные условия в обеих задачах одинаковы, получим одинаковые по виду результаты решений обеих задач. [c.332]

Собственные колебания. Под пими понимается задача на собственные значения собственные частоты) для однородных уравнений теории упругости при однородных граничных условиях (отсутствуют внешние силы, иеремегцепия на поверхности Su равны нулю). Начальные условия не учитываются. Полученные в результате решения этой задачи собственные частоты и формы колебаний, как правило, используются для представления решений нестационарных задач в виде рядов Фурье. [c.270]

В научной литературе встречается много приближенных уравнений, описывающих колебания вырожденных систем [8, 22, 23, 30], которые основаны на тех или иных предпосылках физического характера о поведении продольных и поперечных усилий по сечению в вырожденной системе и других механических величин. Затем появились различные уточнения классических уравнений колебаний, зачастую не согласующиеся между собой. В последние годы для вывода приближенных уравнений колебаний вырожденных систем стали применяться математические подходы, основанные на приближенном решении точной трехмерной задачи теории упругости или вязкоупругости с заданными начальными и граничными условиями, характеризующими как геометрию вырожденной системы, так и условия закрепления границ этих систем [22, 23, 43]. Однако каким бы из подходов не пользоваться, всегда должно выполняться очевидное условие — приближенные дифференциальные или инте-гродифференциальные уравнения колебаний должны принадлежать к уравнениям гиперболического типа [8]. [c.226]

Подробнее остановимся на подходе, предложенном А.Н. ВсСлковым [84]. В этой работе функции смещений и напряжений разлагаются в пределах каждого слоя в ряды по степеням поперечной координаты. Их подстановка в уравнения пространственной задачи теории упругости, отделение поперечной координаты и использование условий межслоевого контакта приводят к выражениям для коэффициентов разложений через начальные функции, определенные на начальной поверхности. Искомые функции выражаются через начальные при помощи матрицы начального преобразования, операторные элементы которой содержат в качестве параметров тепловые члены, механические и геометрические параметры слоев. Система дифференциальных уравнений для определения начальных функций получается путем удовлетворения условиям нагружения на верхней и нижней граничных поверхностях оболочки. Порядок этой системы определяется как числом слоев оболочки, так и числом членов ряда, удерживаемых в разложениях искомых функций, и оказывается достаточно высоким, что ограничивает возможности практического использования метода. Так, если для четырехслойной оболочки в разложениях искомых функций удерживаются члены до третьей степени включительно, то получающаяся при этом система дифференциальных уравнений имеет сороковой порядок. [c.7]

Во второй части излагаются кинематика и теория деформаций сплошной среды в эйлеровом и лагранжевом описаниях, формулируются основные законы динамики и термодинамики, выводятся дифференциальные уравнения движения среды, обсуждаются возможные типы начальных и граничных условий. Рассмотрены вариационные принципы в механике жидкости и газа и в теории упругости, методы теории размерностей и подобия. Теоретический материал сопровождается под-боркой задач с решениями в конце каждого параграфа. Приведены также сведения об ученых, создававших механику сплошной среды. [c.3]

G. Herrmann и А. Е. Armenakas [2.1021 (1960), исходя из принципа Гамильтона—Остроградского, вывели пять уравнений движения упругой однородной пластины при конечных прогибах ее срединной поверхности и граничные условия в рамках теории типа Тимошенко. Затем они рассмотрели пластину под действием начальных напряжений с учетом поперечного сдвига и инерции вращения и получили линеаризованные уравнения движения относительно точки срединной поверхности и двух углов сдвига в ортогональных плоскостях. Решение этих уравнений продемонстрировано на задачах определения частоты колебаний при равномерном начальном сжатии, изгибающем моменте, поперечной сдвигающей силе. [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...