Теория упругости Условия граничные

Чтобы использовать конформное отображение (6.116) при решении основных задач и вообще задач плоской теории упругости, преобразуем граничные условия (6.109), (6.111) к переменному [c.133]

Изложенное выше относится к реализации решения интегральных уравнений, соответствующих основным задачам теории упругости, когда граничная поверхность является достаточно гладкой. Обратимся к случаю, когда поверхность является кусочно-гладкой, т. е. состоит из совокупности разомкнутых гладких поверхностей, имеющих общие границы вдоль определенных линий, которые в свою очередь могут иметь угловые точки. Внутри каждой из таких поверхностей задано краевое условие того или иного типа, краевые же условия на угловых линиях или в угловых точках следует рассматривать как предельные со стороны той или иной поверхности. Предполагается, что в нерегулярных точках не приложены сосредоточенные воздействия ). [c.581]

Система уравнений теории упругости и граничные условия представляют собою уравнения Эйлера и естественные граничные условия некоторой вариационной задачи. Построим следующий функционал [c.253]

Рассмотрим частный случай задачи теории упругости, когда граничные условия задаются в виде [c.75]

Здесь Г — разрез, а dQ — внешний контур области В случае гладкого контура в качестве статически допустимого набора выберем набор а, i, определяемый по формулам (3.1.14) парой ф, if), где it) = 0, а ф — решение классической плоской задачи теории упругости с граничными условиями в напряжениях, соответствующими [c.112]

Однородные решения U/ и UJ классической теории упругости с граничными условиями (3.8.3) на сторонах угла Go имеют вид [c.133]

Вариационное уравнение (13) эквивалентно полной системе дифференциальных уравнений теории упругости и граничным условиям задачи. [c.518]

Термодинамика деформирования (235). Соотношения линейной теории упругости (238). Условия совместности деформаций для линейных задач (239). Система уравнений теории упругости (240). Граничные условия (242). Принцип Сен-Венана (243). [c.8]

Метод тот же, выбор решения в такой форме, что бы удовлетворялись уравнения теории упругости и граничные условия. Представим тензор напряжения в виде [c.245]

В этой главе нас будут интересовать классические решения задач теории упругости с граничными и начальными условиями эти решения входят [c.312]

Нужно исследовать, какими должны быть силы, действующие на концах бруса, в предположении, что составляющие напряженного состояния (4) удовлетворяют дифференциальным уравнениям теории упругости и граничным условиям. [c.401]

Нормальный точечный контакт проволок. Так как длина пролета V несоизмеримо мала по сравнению с практически применяемой длиной каната (величина V в большинстве конструкций спиральных канатов не превышает 1,—длины проволоки на шаге свивки), то здесь допускается, что крайние сечения каната совпадают с началом (или концом) пролета для данной проволоки. Таким образом, длина проволоки равна целому числу пролетов. Это допущение не выходит за пределы общепринятых в теории упругости упрощений граничных условий, основанных на известном принципе Сен-Венана. [c.127]

В данном параграфе в основном пойдет речь о решении ряда сложных собственно смешанных задач теории упругости методом кусочно-однородных решений [193]. Он основан, как и метод однородных решений, на построении функций, точно удовлетворяющих уравнениям теории упругости и граничным условиям в полосе, клине, цилиндре и конусе, причем в данном случае рассматриваются собственно смешанные условия. При помощи системы указанных функций можно удовлетворять граничным условиям на торцах перечисленных бесконечных областей, не внося изменений в смешанные условия иа боковых поверхностях, и решать задачи для полуполосы и прямоугольника, для клина и круговой арки, для полубесконечного и конечного цилиндра, усеченного конуса и сферического кольца. Эти задачи имеют важные приложения в технике и являются элементами, на которые благодаря симметрии расчленяются различные более сложные смешанные задачи для конечных и бесконечных упругих областей с несколькими или периодически расположенными линиями раздела граничных условий. [c.238]

Если, кроме значений и при х = О, л, задать значения ее вторых частных производных по X, то только в этом случае в уравнении (19.27) будет содержаться единственная неизвестная и (п, у). В противном случае остаются еще неизвестные граничные функции. Аналогичная трудность возникает и при решении уравнений теории упругости, если граничные условия заданы только в напряжениях или только в перемещениях. Неизвестные граничные функции не входят в преобразованные уравнения лишь в двух случаях если заданы нормальные напряжения и касательные смещения и если заданы касательные напряжения и нормальные смещения [4]. [c.90]

Таким образом, в общем случае волна, возникающая вследствие присутствия тела, определяется перемещениями его поверхности, отсчитываемыми от движущейся поверхности фиктивного тела — части среды, ограниченной (мысленно) поверхностью тела. При этом движение поверхности фиктивного тела полностью определяется падающей волной, распространяющейся в сплошной среде при отсутствии рассматриваемого реального тела. Если абсолютные перемещения поверхности тела Ui не заданы, а определяются, например, напряжениями, то явно не определено и граничное условие (34.3). При ЭТОМ к уравнениям теории упругости с граничным условием [c.208]

Краевая задача трёхмерной теории упругости, содержащая граничные условия только указанных двух типов, называется задачей с граничными условиями на перемещения и напряжения ( 5.1). Тем не менее на практике часто приходится иметь дело и с другими граничными условиями, например нелокальными или же условиями, частично задающими положения и напряжения ( 5.2). Особенно важными являются так называемые односторонние граничные условия на положения ( 5.3), которые можно записать в виде [c.226]

Однородная анизотропная упругая среда характеризуется тензором модулей упругости Суы, компоненты которого (при заданной плотности среды) определяют скорости трех независимых упругих волн, способных распространяться в любом заданном направлении в такой среде [1]. Наличие трещины приводит к появлению дополнительных напряжений и деформаций среды [2-6], дифракции волн на её краях и трансформации продольных и поперечных волн друг в друга [7]. Для одиночной трещины решения этих задач сводятся к решению дифференциальных уравнений статической или динамической теории упругости с граничными условиями, заданными на краях трещины [8]. [c.9]

На границе тела должны быть заданы краевые (граничные) условия, наложенные на напряжения и перемещения, а также краевое начальное условие для температуры Т. Краевые задачи теории упругости классифицируют по типу этих краевых условий [c.118]

Вследствие того что в линейной теории упругости основные уравнения и граничные условия линейны, можно использовать принцип суперпозиции для получения новых решений из ранее найденных. Если, например решение задачи при объ- [c.120]

В теории упругости большинство задач сводится к решению дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Их решение часто связано с большими математическими трудностями. Обойти эти трудности позволяют прямые вариационные методы. Вместо того, чтобы решать основные дифференциальные уравнения теории упругости, ставится задача об определении искомых функций Ui, Zij, ац, удовлетворяющих граничным условиям и минимизирующих некоторый функционал Ф(щ, гц. оц). например полную потенциальную энергию П или дополнительную энергию П. [c.127]

Функции ф, удовлетворяющие уравнению (7.18), носят название бигармонических функций. Пользуясь бигармоническими функциями с однозначными вторыми производными, можно строить многочисленные решения плоских задач теории упругости, которые автоматически удовлетворяют уравнениям равновесия и условиям совместности деформаций. Эти решения следует лишь удовлетворить заданным граничным условиям. Такой метод решения задач, когда решение задается, а граничные условия определяют характер внешнего воздействия, носит название обратного. [c.134]

Прямой метод решения задач теории упругости, заключающийся в интегрировании основных уравнений при заданных граничных условиях, не всегда возможен. Обратный метод, примененный в гл. 7 для плоских задач, часто не соответствует практической постановке задачи. Сен-Венаном был предложен так называемый полуобратный метод решения задач теории упругости, который заключается в том, что часть перемещений и напряжений задается, а остальные неизвестные определяются из уравнений теории упругости при заданных граничных условиях. Полуобратный метод не является общим. Однако он оказался одним из самых эффективных методов решения задач теории упругости. [c.172]

Уравнения (1.26) называются уравнениями Ляме. Задача теории упругости свелась к совместному интегрированию уравнений (1.26) и удовлетворению конкретным граничным условиям (1.3). [c.22]

Получение решения общего уравнения (1.26), отвечающего граничным условиям для напряжений или перемещений — основная задача теории упругости. Однако найти такое рещение обще системы уравнений часто оказывается сложным. Это вынуждает вводить во многих практически важных задачах ряд упрощающих предположении распределения напряжений или деформаций. [c.25]

Уравнение (II.8) называется бигармоническим. Решение задач плоской деформации теории упругости сводится во многих случаях к интегрированию бигармонического уравнения (П.6) при соответствующих граничных условиях и условиях однозначности для функции (р(х, у). [c.28]

Как и в теории упругости, задачи теории пластичности реша-ются в перемещениях или в напряжениях. При решении задач в перемещениях за неизвестные принимаются три компонента перемещения и, и, т, которые вводятся в уравнения равновесия ( 111.20), и граничные условия с помощью зависимостей (1.9), ( 111.5), ( 111.6), 111.17), ( 111.19). [c.107]

Принцип Сен-Венана хотя и не имеет строгого доказательства, но подтверждается опытом решения многочисленных задач. Им пользуются для получения приближенных решений, заменяя заданные условия на поверхности статически эквивалентными, по такими, для которых решение задачи теории упругости упрощается. Это называют иногда смягчением граничных условий но принципу Сен-Венана. [c.48]

Пятнадцать уравнений теории упругости (2.40) и условия на поверхности тела (2.10) являются уравнениями Эйлера этого функционала и их граничными условиями. [c.69]

Для получения точного решения зада ш теории упругости надо найти такие функции, которые помимо удовлетворения дифференциальным уравнениям задачи, например бигармоническому уравнению (4.29), так же строго удовлетворяли бы условиям равновесия в каждой точке поверхности тела. Часто это сделать не удается. Тогда вместо строгого выполнения граничного условия в каждой точке поверхности составляют приближенное условие в отношении главного вектора и главного момента сил, возникающих на определенной части поверхности тела. Например, если известно, что на данной грани пластины напряжения отсутствуют, то вместо требования [c.86]

После этого сами напряжения и перемещения определяются по формулам (4.41) и (4.47). С использованием ЭВМ подобные вычисления легко могут быть проделаны для очень большого числа членов ряда (при необходимости несколько сотен) так, что для указанных граничных условий можно получить практически точное решение задачи теории упругости. [c.97]

Этот функционал совершенно аналогичен известному функционалу Хеллингера — Вашизу варьируя напряжения, перемещения и мгновенные значения деформаций, мы получим уравнения наследственной теории упругости и граничные условия как уравнения Эйлера и естественные граничные условия для функционала (17.11.4). [c.604]

Сеп-Венаиом был предло кеп так называемый полуобрат-пый метод (1853 г.), суть которого состоит в том, что при решении задачи теории упругости задаются частью компонент перемещений и частью компонент напряжений, а недостающие компоненты определяются из уравнений теории упругости так, чтобы удовлетворялись все уравнения теории упругости и граничные условия. Этим методом Сеп-Венан решил задачи о кручении бруса некруглого сечения и об изгибе бруса. [c.58]

Таким образом, в случае плоской деформации решение задачи теории упругости существенно упрощается, так как от трехмерной задачи мы переходим к двумерной. В самом деле, поскольку Ег = Цхг = Ууг = О, а следовательно, и Ххг = = Хуг — д z/дz = 0, а таклге 2 = 0, то из трех уравнений равновесия Навье (1.16) остаются только первые два, а из шести условий совместности деформаций Сен-Венана (1.29) — только одно первое. Все остальные уравнения удовлетворяются тождественно. Задача сводится к отысканию напряжений щ, Оу, Хху, деформаций Ех, Еу, Уху из уравнений теории упругости, удовлетворяющих граничным условиям. Затем во вторую очередь определяется напряжение Ог = = р(о1 + щ). [c.64]

Для решения эадачи, описываемой уравнениями теории упругости с граничными условиями (44)—(46), используем полуобрат-ный метод Сен-Венана. Исходя из граничных условий (44а) и (446) примем [c.28]

В отличие от задач без трения, которые могут быть сведены к решению вариационных неравенств или к задаче минимизации выпуклого функционала на вьшуклом множестве ограничений, содержащем ограничения в виде неравенств, контактная задача с трением сводится к решению квазива-риационного неравенства. В работе [29] приведен итерационный процесс решения такого неравенства, а также дан алгоритм практического решения задачи, основанный на идее двойственности. Решение задачи проводится с помощью алгоритма типа Удзавы. На каждой итерации решается задача, эквивалентная обычной задаче теории упругости с граничными статическими условиями на Гк, причем последовательно уточняются как напряжения а , так и напряжения а . Для определения этих напряжений по данным предьщущей итерации применяются операторы ортогонального проектирования на множество Стр<0, Эти операторы имеют вид [c.152]

Доказать теорему единственности для динамической задачи теории упругости с граничными условием Ти+ <У (у) и (задача VI), где а (у) — заданная на S матрица класса Гёльдера. [c.122]

Граничные условия в задачах об - изгибе пластинок при упругопластических деформациях совпадают с обычными в теории упругости условиями. На краю могут быть заданы (рис. 63) либо перемещение п> и его производная по иормали у [c.198]

Единственность решения статической задачи линейной теории упругости может быть установлена также с помошью принципа суперпозиции. Предположим, что при одних и тех же объемных силах и одинаковых граничных условиях (2.88) имеют место два различных решения а ц. е ц, u i и а",/, г"ц, и",-. Разность этих решений а,/ = а //—а",ь е , = е /—е" у, ui = u i—u"i удовлетворяет всем уравнениям (2.85), (6.2), (3.67) при Ri = 0. [c.120]

МДТТ и теории упругости, который в дальнейшем широко использовался для решения задач Б. Г. Галеркиным. Если функции в выражениях перемещений (6.57) выбраны так, чтобы заранее удовлетворялись не только геометрические, но и статические (2.88) граничные условия, то в уравнении (6.43) исчезает поверхностный интеграл и уравнение принимает вид [c.128]

Решение первой основной задачи теории упругости будем искать в виде нотенциала двойного слоя. Тогда, учитывая граничное условие (14.2), получим от1госительно пеизвестпой функции q (/ ) нтпегральноо уравнение [c.96]

Строгая математическая модель деформаций дЛя всей конструкции ЭМУ, состоящей из п тел, в соответствии с теорией упругости представляет совокупность п систем известных уравнений физических (закон Гука) для составляющих напряжений в точке, геометрических (условия совместности) для деформаций в точке от перемещений и статических (уравнения равновесия) для связи напряжений с проекциями объемных сил совместно со взаимосвязанными геометрическими и граничными условиями [3]. При этом предполагается, что нагрузки на элементы конструкции заданы. Это существенно, например, при рассмотрении температурных полей и деформаций и их взаимовлияршя. [c.120]

Общие решения основных уравнений теории упругости — Га-леркина, Папковича, Нейбера и др. (см. [1], глава 4), в которые входят произвольные гармонические, бигармонические и тригармо-нические функции, трудно использовать при решении конкретных задач, так как не найдено общего метода определения указанных функций из рассмотрения граничных условий. [c.8]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...