Определение перемещений узловых элементов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.69]

Для определения перемещений узловых элементов используем метод перемещений в форме, предложенной А. В. Александровым [1 ]. В отличие от МКЭ в стандартном виде А. В. Александров ввел понятия узловой линии и узлового элемента. Основное преимущество такого подхода состоит в том, что вместо большого [c.144]

Описанный алгоритм решения реализуется для самых разнообразных задач, включая задачи теории упругости и теплопроводности. Метод конечных элементов в обычной постановке предполагает решение задачи теории упругости в перемещениях, при этом неизвестными, подлежащими, определению, являются перемещения узловых точек. Уравнения равновесия разбитой на элементы конструкции под действием внутренних и внешних сил представляют собой систему линейных алгебраических уравнений, причем все силы приводятся к узловым точкам, а соотношение между узловыми силами и перемещениями представляется матрицей жесткости. [c.10]

Естественно, что между узловыми силами и узловыми перемещениями существует определенная зависимость. Д [я установления этой вависимости воспользуемся принципом возможных перемещений. Придадим узлам конечного элемента некоторые кинематически возмож-йые перемещения би , которым будут соответствовать вариации компонент деформации бе . Тогда работа внешних сил R , равная сумме произведений компонент узловых сил на соответствующие компоненты узловых перемещений, в матричной форме запишется в виде [c.333]

Если применять метод перемещений, то для всех узловых точек необходимо составить уравнения равновесия. В уравнения равновесия войдут эквивалентные внешние силы и внутренние усилия Для определения эквивалентных внешних сил применим начало возможных перемещений. При этом приравняем работу, совершаемую узловыми эквивалентными силами Р, на возможных узловых перемещениях 6 1, работе внешней поверхностной нагрузки д х,у), действующей на конечный элемент, на перемещении бю. [c.223]

Естественно, возникает вопрос нельзя ли представить сложную конструкцию как совокупность простых элементов, для которых можно рекомендовать надежные функции и с определенным числом членов ряда Оказывается, можно. Причем для дискретных конструкций, физически представляющих элементы, связанные в отдельных узлах, такой подход достаточно очевиден и хорошо известен в строительной механике. Если известна математическая связь между силами и перемещениями в граничных узловых точках для каждого отдельного элемента, то описать свойства и исследовать поведение конструкции в целом не представляет трудностей. [c.34]

Процесс формирования разрешающей системы алгебраических уравнений для определения узловых смещений системы, если известны значения узловых нагрузок, матрицы и векторы реакций для каждого элемента, а также ограничения, наложенные на перемещения некоторых узлов, подробно изложен в п. 3.4 при описании процесса формирования этой системы для стержневых конструкций. Поэтому сразу перейдем к описанию процедуры формирования файла разрешающей системы уравнений применительно к пластинчатым конечным элементам. [c.174]

После того, как определены узловые перемещения пластинчатой системы, можно перейти к определению напряженного состояния в каждом пластинчатом элементе этой системы. Для плоской пластинчатой системы, испытывающей мембранные деформации, напряжения в центре треугольного элемента определяются по (4.54), а для плоской пластинчатой системы, испытывающей изгиб-ные деформации, — по (4.109)—(4.110). После этого главные напряжения, их направления и интенсивность напряжений определяются по (4.153)—(4.155). [c.180]

Для удобства сопряжения элементов перейдем к обобщенным узловым перемещениям, которые (в отличие от неопределенных коэффициентов С ) имеют наглядное геометрическое представление амплитудные значения гармоник разложения перемещений и углов поворота нормали к плоскости меридиана (рис. 4.11). Согласно определению запишем обобщенные перемещения в узловых сечениях [c.137]

Можно выделить пять основных этапов решения задач по МКЭ расчленение системы на КЭ и выбор координатных функций построение матриц жесткости и приведение местной нагрузки к узловой для каждого КЭ построение канонических уравнений решение канонических уравнений и определение значений степеней свободы определение компонентов напряженно-деформированного состояния (перемещений, напряжений) по области элемента. [c.28]

Составление общей матрицы жесткости при этом имеет некоторые особенности. Прежде чем проводить стыковку элементов, необходимо для каждого элемента от локальной координатной системы перейти к общей. В остальном последовательность определения узловых перемещений и усилий аналогична рассмотренной. [c.180]

Для начала рассмотрим двумерную область . В этом случае область можно рассматривать в качестве плоской, которую дискретизируют с помощью конечных элементов основных типов (треугольных, четырехугольных). С каждым элементом связана интерполяционная функция или функция формы по перемещениям, т. е. мы имеем возможность связать внутренние значения перемещений и с узловыми значениями и (узлы элементов размещают в его вершинах, а иногда и на гранях в определенных [c.343]

Для узловой точки л = I перемещение и угол поворота, определенные по методу конечных элементов, дают точные значения. [c.93]

Решение уравнений дает точные значения для узловых перемещений w , Oj Wg О3. Эпюры моментов и перерезывающих сил, изображенные на рис. 3.13, показывают, что в этом варианте расчета определенные по МКЭ усилия и моменты ближе к точным. Очевидно, что при большем числе элементов усилия и перемещения будут еще точнее. [c.94]

При рассмотрении оболочек вращения с криволинейной образующей хорошие результаты получаются для конических элементов и при аппроксимации поля перемещений вида (9.48), Составление общей матрицы жесткости при этом имеет некоторые особенности. Необходимо для каждого элемента перейти от локальной к общей координатной системе, прежде чем проводить стыковку элементов. В остальном последовательность определения узловых перемещений и усилий остается той же. [c.267]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

В результате решения системы уравнений (7.96) с учетом граничных условий задачи определяются скорости узловых перемещений в глобальной системе координат. Для определения напряжений в каждом элементе осуществляется переход к локальным координатам. Затем по соотношениям (7.85) и (7.88) вычисляются скорости деформаций и компоненты напряжений во множестве точек деформируемой мембраны. В конце интервала времени координаты узлов сетки конечных элементов изменяются и расчет продолжается далее. Для выхода из нуля необходимо задать первоначальную форму мембраны одним из возможных способов. Наиболее просто начальная форма задается приблизительно таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия. [c.191]

Матрица каа. как и ранее, получается из матрицы жесткости К вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих известным перемещениям. После определения узловых перемещений можно по формулам (4.8) вычислить напряжения в каждом конечном элементе. [c.117]

Таким образом, мы получаем совместные четырехугольные конечные элементы с восемью степенями свободы. Узловые перемещения, найденные с помощью подобных элементов, будут такими же, как и при самостоятельном применении входящих сюда треугольников. Все же использование составных четырехугольников имеет определенные преимущества Во-пер-вых, сокращается количество исходной информации. В память ЭВМ достаточно ввести координаты х, у всех внешних узлов, а координаты внутренних можно определить для каждого элемента программным путем, пользуясь, например, формулами [c.155]

Сборка отдельных конечных элементов и определение узловых перемещений осуществляется с помощью стандартных процедур метода конечных элементов (приложение 3). [c.134]

После выполнения общих процедур МКЭ и определения узловых обобщенных перемещений q можно вычислить обобщенные деформации S в любой точке конечного элемента = (oH Gq. Например, при выводе результатов в середине элемента ( = 1/2) получим [c.168]

После выполнения общих процедур МКЭ и определения узловых обобщенных перемещений q можно вычислить обобщенные деформации S в любой точке конечного элемента [c.196]

Рис. 7. Пространственный элемент тонкостенного стержня с неоднородными граничными условиями в основной системе а, б — реакции связей от единичной нагрузки, приложенной для определения продольного перемещения 1-й точки при различных условиях закрепления в, д — эпюры секториальных координат с полюсом в точке С г — реакции в узловой точке С от единичной силы, приложенной для определения продольного перемещения точки К

Для анализа поля напрян<ений и деформаций у верщинь трещин длиной менее 0,8 мм использовали обычную решетку с треугольными ячейками, минимальный размер стороны которых был принят равным 0,1 мм (тонкий анализ) или 0,2 мм (грубый анализ). Для трещин длиной более 1 мм применяли решетку из четырех слоев самых малых элементов по обе стороны трещины. Общее число узловых точек в сетке колебалось от 190 до 270. Программу расчета составляли таким образом, чтобы раскрытие или закрытие трещины в каждой из узловых точек сетки по длине трещины обнаруживалось автоматически. Закрытие открытого узла соответствовало переходу от положительного значения перемещения этого узла к нулю, а граничные условия в этот момент изменялись от некоторого свободного перемещения при нулевой нагрузке к определенному перемещению при сжимающей нагрузке. Обратный переход, т. е, открытие закрытого узла, соответствовал переходу от сжимающей нагрузки к нулевой, а граничные условия — соответственно [c.66]

После выполнения стандартных процедур по сборке отдельных элементов с учетом граничных условий получаем линейную систему алгебраических уравнений для определения прирагдений узловых перемещений [c.186]

Это уравнение является основным при расчете конструкций с помощью МКЭ. Оно позволяет найти перемещения и, воспользовавшись соотношением (3.86), определить напряженное состояние в каждом элементе системы. Основная задача расчета конструкций методол, конечных элементов состоит в определении матриц жесткости элементов, общей матрицы жесткости [К и вектора узловых сил F , [c.90]

Метод конечных элементов. Этот метод, как и метод конечных разностей, имеет широкие возможности и хорошо приспособлен для машинной реализации. В основе его лежит идея расчленения конструкций на отдельные элементы. Наибольшее распространение в настоящее время получил метод конечных элементов в перемещениях, имеющий много общего с методом Релея — Ритца и вариационно-разностными методами. В методе конечных элементов, в отличие от метода Релея — Ритца, аппроксимация перемещений производится не по всей области их определения, а в пределах отдельных элементов. Это позволяет оперировать с более простыми функциями. Минимизация потенциальной энергии при этом производится по узловым перемещениям, которые являются основными неизвестными. Возможность аппроксимации перемещений внутри элементов позволяет ограничиться сравнительно небольшим числом узлов, что является одним из преимуществ метода конечных элементов по сравнению с методом конечных разностей. Метод конечных элементов отчасти соединяет в себе преимущества методов конечных разностей и Релея — Ритца и в некоторой степени свободен от их недостатков. [c.82]

Управляющая программа исследования НДС осесимметричных конструкций, регламентирующая взаимодействие совокупности составляющих процедур, описанных ранее, имеет имя R00A21. Ее текст приведен в приложении. Она обеспечивает ввод исходной информации во внутреннем или внешнем представлении формирование разрешающей системы линейных алгебраических уравнений метода перемещений решение этой системы методом LDU-факторизации и определение компонент узловых перемещений для заданных вариантов нагружения конструкции вычитание при необходимости (при заданных единичных значениях соответствующих параметров) характеристик напряженного состояния в центрах тяжести конечных элементов и реакций в жестких и упругих опорах вывод на печать исходной информации вывод на печать узловых перемещений и (или) параметров напряженного состояния в центрах тяжести элементов, и (или) реакций в опорах. [c.132]

Следует отметить одно важное обстоятельство. Как говорилось в гл. 2, аппроксимирующие функции в методе Ритца должны удовлетворять всем геометрическим связям. Это означает, в частности, что они должны быть непрерывными функциями координат. Следовательно, метод конечных элементов можно рассматривать как метод Ритца лишь в том случае, если на границах между конечными элементами обеспечивается непрерывность перемещений. Конечные элементы, которые дают непрерывное поле перемещений, называются совместными (или согласованными). Не всегда, однако, удается выполнить условие совместности, вследствие чего в практике нередко используются несовместные элементы. При переходе от одного элемента к другому перемещения будут тогда претерпевать разрывы, и поэтому нельзя утверждать, что найденные узловые перемещения соответствуют минимуму полной энергии системы.Тем не менее при выполнении определенных условий (о которых будет сказано в 6.4) решение в пределе снова будет стремиться к точному, а в некоторых случаях несовместные элементы позволяют получить даже более точные результаты, нежели совместные. [c.124]

Функционал потенциальной энергии принимался в форме (1.15). В качестве конечного элемента выбирался четырехточечный элемент первого порядка с постоянным значением функции гидростатического давления в пределах элемента. Рассматривался лишь один луч звездочки (рис. 6.4), который разбивался на 150 конечных элементов. Граничные условия задавались в перемещениях. При этом полагалось, что перемещения узловых точек, принадлежащих прямым оа и о/, равны нулю как в направлении оси X, так и в направлении оси У. Нулевыми задавались и вертикальные перемещения узловых точек, лежащих на оси луча звездочки. На перемещения узловых точек, принадлежащих дугам аЬ, е и ей, ограничений не накладывалось. Для узловых точек, принадлежащих прямым Ьс и ей, перемещения вдоль оси У принимались равными перемещениям кулачков при повороте полумуфт на угол ф. Задать перемещения этих точек в направлении оси X на начальном этапе расчета не представлялось возможным. Программой расчета предусмотрена следующая итерационная процедура уточнения граничных условий на рассматриваемых поверхностях звездочки. На первом шаге итергщии перемещения точек вдоль оси X задаются нулевыми (привулканизация). По обычной процедуре метода конечных элементов отыскивается напряженное состояние луча звездочки и проверяется выполнение условия Тпу<1 а4 Те точки, в которых это условие не выполняется, освобождаются от связей в направлении оси X. Вновь решается задача по определению напряжений, но уже с новыми граничными условиями, и так до тех пор, пока для всех точек этой поверхности не будет выполнено заданное условие (касательные напряжения не должны быть больше, чем максимально реализуемые силы трения на этой поверхности). [c.126]

Основные соотношения МКЭ. Метод конечных элементов основан на предположении, что тело можно представить в виде набора элементов, соединенных друг с другом только в узлах. Связь узловых усилий с узловыми перемещениями задается с помощью матрицы жесткости элемента. Объединение матриц жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости тела позволяет записать условия равновесия тела. При заданных действующих нагрузках или перемещениях и при известной глобальной матрице жесткостзг решение системы алгебраических уравнений равновесия позволяет найти все узловые усилия, а по ним — напряжения и перемещения в пределах каждого элемента. Тем самым напряженно-деформированное состояние тела становится определенным [59]. [c.83]

Перейдем к определению отпосптельных перемещений в узловых точках, которые сообщают минимальное значение дискретным функционалам (26.18) и (26.19). Воспользуемся численным методом локальных вариаций [311]. Алгоритм решения с помощью этого метода состоит в следующем. Зададим начальное приближение для компонент смещений ы, и во всех внутренних узлах области и для тех граничных точек, где смещения подлежат определению. В качестве начального приближения можно принять распределение перемещений, полученное из решения упругой задачи. Выбирая достаточно малый шаг h, произведем варьирование смещений во всех внутренних точках. Отметим, что изменение перемещений в одной точке приводит к изменению только части слагаемых в суммах (26.18) и (26.19), а именно тех, которые связаны с элементами, окружающими данный узел. [c.225]

Здесь представим только общие соображения по расчету нелинейных систем, поскольку эта тема выходит за рамки данной работы. Нелинейные задачи деформирования стержней, пластин и оболочек весьма разнообразны и каждая задача требует индивидуального подхода. Однако, если нелинейные модули образуют целостную систему, то для узловых точек (линий) всегда будут справедливы уравнения равновесия между статическими параметрами и уравнения совместности перемещений между кинематическими параметрами. Это значит, что топологическая матрица С в алгоритме МГЭ для нелинейных систем будет формироваться из анализа матриц X ж Y точно так же, как для упругих систем. Основные же трудности решения нелинейных задач заключаются в определении внутреннего содержания матриц А В, т.к. построить фундаментальные функции нелинейных дифференциальных уравнений за небольшим исключением не удается. В этой связи получили развитие различные подходы к решению нелинейных краевых задач [83]. К первому направлению относятся проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. Этими методами нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных [c.512]

Структура программы. Процедура расчета методом конечных элементов сводится к нескольким основным этапам. Меридиональное сечение диска разбивают на элементы и определяют координаты узловых точек, силы или перемещения, заданные в узлах и на границах (рис. 5.2). От способа разбиения области на элементы зависит вид матрицы жесткости, а следовательно, объем информации и скорость счета, поэтому он не должен быть произвольным. Существуют различные способы выделения элементов с помощью регулярных сеток, в частности использование изопараметриче-ских элементов [3, 46]. В осесимметричной задаче наиболее простым является построение сечений кольцевых элементов путем соединения узловых точек, выделенных на прямых линиях, параллельных оси вращения. Разбиение вдоль линии делают равной длины при необходимости неравномерного деления вводят весовой коэффициент и узловые точки нумеруют в определенной последовательности. Такой принцип позволяет осуществить автоматизацию определения геометрических параметров треугольника при задании минимальной исходной информации, например координат двух точек на границах одной прямой и числа узловых точек на этой прямой. Усилия многих исследователей направлены на создание оптимальной системы автоматического разбиения расчетной области (см., например, 123]). [c.163]

Для определения 10 значений (Х в каждом из треугольников задается 10 узловых перемещений зто значения W Wx Wy в трех вершинах и значение 9(лГ/5п на внешней стороне. Заметим, что из них лишь 7 являются истинныни степенями свободы элемента (это перемещения узлов, лежащих на границе четырехугольника), а значения i Гу в точке пересечения диагоналей являют- [c.75]

При определении размеров глобальной матрицы жесткости [К ] следует иметь в виду, что ширине ленты матрицы [R3 будет больше-чем в матрице [К]. В самом деле, узловые перемещения 1-го и 4 -го узлов злементов А и В рис. 1.27, не связанные в [К], связаны в матрице [R.]. Это следует из того, что выражается через все перемещения злемента А, а - элемента В, поэтому в матрице [R.] получаются взаимосвязанными все перемещения обоих злементов. Как следствие этoгo , ширина матрицы [К ] будет больше, чем у первоначальной матрицы [К]. [c.118]

Для определения деформированного состояния конечного элемента необходимо выполнить аппроксимацию перемещений срединной поверхности и угла поворота нормали через узловые перемещения. При этом возможны два пути. В одном варианте аппрок-нормали осуществляется незави-перемещений срединной поверхности. Другой подход заключается в использовании допущения о том, что нормаль и после деформации остается нормалью к деформированной срединной поверхности. Такое предположение оправдано для достаточно тонких пластин и оболочек в этом случае выполняется аппроксимация только перемещений срединной поверхности, а угол поворота нормали выражается через производные от этих перемещений. Ниже будут представлены конечные элементы, полученные на основе обоих вариантов. [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...