Жесткость - Матрицы определения

Жесткость - Матрицы определения 80, 94 [c.616]

Более того, если конечные элементы являются совместными и используется согласованная формулировка масс, то матрица жесткости и матрица масс будут неотрицательно определенными в этом случае среди корней уравнения (10.8) не будет ни одного отрицательного. Точнее, для закрепленного тела все корни будут положительными, а для свободной конструкции появятся нулевые корни число последних равно числу степеней свободы тела как жесткого целого. [c.359]

Из (1.44) и (1.45) нетрудно заметить, что однотипные конечные элементы вносят в эти выражения слагаемые одного вида. Поэтому при реализации МКЭ в САПР вклад элемента определенного типа в матрицу жесткости вычисляется только один раз, а затем используется во всех необходимых случаях. При этом алгоритм получения матрицы жесткости несколько отличается от описанного выше и состоит из следующих этапов [c.31]

Недостаток этой модификации состоит в том, что в случае нестабильного материала матрицу жесткости в системе уравнений метода конечных элементов при каждом новом значении следует пересчитывать заново определенные затруднения возникают и в случае сингулярных ядер. Если же материал стабилен, то схема (5.160) может дать. значительный выигрыш во времени в сравнении со схемой (5.156). [c.248]

Определение критических скоростей движения стержня. Рассмотрим матрицу А( ) (2.76) динамических безразмерных жесткостей стержня, из которой следует, что при учете инерции вращения элемента стержня имеются критические скорости движения 1Юо, при которых динамические жесткости обращаются в нуль. Найдем эти критические скорости для стержня, имеющего круглое сечение, из условий обращения в нуль элементов матрицы А< >. Рассмотрим элемент матрицы АЦ [c.45]

Перейдем теперь к определению матрицы жесткости к, устанав-ли ающей связь между перемещениями узлов (вектор б) и сила-ми, действующими в узлах (вектор f), учитывая, что [c.131]

Определяя матрицу В по формуле (5.4.6), а также учитывая то, что площадь каждого конечного элемента равна А = а 2, переходим к определению матриц жесткостей (5.4.31) [c.141]

Из всех возможных методов определения собственных частот многомассовых систем рассмотрим только два метод непосредственного анализа систем дифференциальных уравнений движения и метод матриц переноса. Оба метода поясним на примере трехмассовой динамической модели, состоящей из трех сосредоточенных масс с моментами инерции /2, /з, соединенных упругими элементами, имеющими коэффициенты жесткости l и q (рис. 72). Эта модель может быть использована для анализа крутильных колебаний валов зубчатых механизмов, образующих цепную систему. В последнем случае при определении углов закручивания отдельных элементов надо учитывать передаточные отношения так, как было указано при вычислении [c.243]

Если расположение волокон материала в типичном объеме подчиняется определенному геометрическому закону или известны характеристики его случайного поля, то вычисление средних значений компонент матрицы жесткости (или податливости) материала не представляет труда. Их усреднение по типичному объему АУ осуществляется как среднее интегральное [c.54]

При создании расчетных моделей для определения эффективных значений компонент матрицы жесткостей важно знать те отличительные особенности, которые вносит в решение поставленной задачи выбор одного из отмеченных условий. С этой целью были рассмотрены слои, материал которых обладает моноклинной симметрией, т. е. имеется одна плоскость упругой симметрии, которая совпадает с самой плоскостью слоя. Из этого следует, что в законе состояния для слоя (3.18) и композиционного материала (3.20) выпадают коэффициенты при деформациях е,з, е з. [c.69]

В матрице (15) появляются комбинации элементов массы и жесткости, что приводит к определенным трудностям точного решения задачи о собственных колебаниях. [c.141]

Представляет, в частности, интерес разыскание тех направлений координатных осей, при отнесении к которым матрицы (Vli. 52) в ее верхней левой четверти остаются не равными нулю только элементы, стоящие на главной диагонали. Эти направления являются главными для матрицы поступательных жесткостей, представляющей верхнюю левую четверть полной матрицы (VII.52). Для их определения нужно разыскать корни а, (s 1, 2, 3) кубического уравнения [c.285]

Механический импеданс, комплексную массу и жесткость в многомерном случае измерить неудобно, а часто и невозможно (нужно обеспечить закрепление объекта по всем координатам, кроме одной). Если эти частотные характеристики все же нужны, например, для расчета колебаний составных систем, их получают путем обращения экспериментально определенных матриц первой группы Z = = и т. д. [c.451]

Для определения матрицы жесткости системы рассмотрим балку, показанную на рис. 2, б. [c.342]

Основная трудность при решении подобных задач связана с большим порядком рассчитываемых матриц, составляющим от 40 до 100. Так как процесс построения динамической матрицы жесткости является весьма трудоемким и многоэтапным, возможны ошибки при измерении параметров, необходимых для вычисления элементов матрицы, и при самих вычислениях. Это приводит к тому, что вычисленные матрицы могут оказаться на самом деле неположительно-определенными и при расчете на ЭЦВМ не дают положительного спектра собственных частот, который ожидается теоретически. [c.128]

Для проверки правильности составления матриц жесткости и инерции было предложено проверять матрицы на положительную определенность, прежде чем вычислять спектр собственных частот. Если матрицы не являются положительно-определенными, они нуждаются в уточнении своих элементов. [c.128]

Отдельные элементы матрицы можно рассматривать как коэффициенты влияния динамической жесткости. Из симметричности матрицы вытекает, что к этим коэффициентам также применима теорема о взаимности. Так как матрица динамических коэффициентов влияния будет диагональной, то отдельные движения фундамента будут независимыми друг от друга при этом А впиахви будет диагональной матрицей жесткости, а матрица В—матрицей инерции. Рассмотрим вначале случай статической нагрузки фундамента, так как именно этим случаем накладываются определенные ограничения на устройства опорных пружин. [c.198]

Решение систем линейных уравнений с ленточной матрицей коэффициентов. Рассматриваемый метод решения системы линейных урав.нвний разработан специально для ленточных матриц жесткости. Сама матрица К, симметричная н положительно определенная, может быть разложена на произведение двух треугольных матриц. При этом достаточно иметь дело лишь с нижней половиной матрицы. Кроме того, ленточная форма К позволяет ограничить процесс разложения элементами только внутри полосы. Все элементы вне полосы в течен 1е всего процесса вычисления остаются рав. ными нулю, в частности для организации программы наиболее удобным оказался метод наименьших квадратов. [c.201]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

Основные соотношения МКЭ. Метод конечных элементов основан на предположении, что тело можно представить в виде набора элементов, соединенных друг с другом только в узлах. Связь узловых усилий с узловыми перемещениями задается с помощью матрицы жесткости элемента. Объединение матриц жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости тела позволяет записать условия равновесия тела. При заданных действующих нагрузках или перемещениях и при известной глобальной матрице жесткостзг решение системы алгебраических уравнений равновесия позволяет найти все узловые усилия, а по ним — напряжения и перемещения в пределах каждого элемента. Тем самым напряженно-деформированное состояние тела становится определенным [59]. [c.83]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

Принцип размазывания , использованный в работе [21], отличен от процедуры сглаживания слабоизменя-ющихся функций, примененной в теории армированных сред [5, 6]. Он в большей степени подобен методу усреднения дискретно распределенных свойств армированной среды по всему непрерывному спектру направлений, который применялся в работах [43, 44] для определения эффективных констант композиционного материала. В работе [21], так же как н в работе [44], размазанная сеть волокон эквивалентна такой модели среды, в которой через каждую точку пространства проходят все направления волокон. Л1атрица жесткости такой среды отождествляется с матрицей жесткости однородного линейно-упругого материала. Плотность энергии деформации этого материала равна удельной энергии деформирования четырех стержней (волокон), создающих симметрию упругих свойсгв первой составляющей модели материала 4D. [c.80]

Подводя итоги, можно сказать, что мы описали способ определения эффективных коэффициентов jj, Dap. т. е. матрицы жесткостей на растяжение, матрицы совместного влияния и матрицы жесткостей на изгиб соответственно, а также эффективных коэффициентов расширения для анизотропных слоистых композитов или для материалов, в которых упругие константы меняются по одной координате. Постановка задачи является строгой в рамках трехмерной теории упругости неоднородных тел. Не предполагалось локальной симметрии материала, т. е. в каждой точке среды упругие определяющие соотношения могли содержать 21 независимый модуль. [c.59]

Для исследования напряженного состояния на поверхности раздела были разработаны аналитические методы. К ним относятся методы механики материалов, классической теории упругости и метод конечных элементов. Метод конечных элементов является наиболее универсальным и охватывает разнообразные граничные условия. Предполагаемая величина концентрации напряжений определяется условиями на поверхности раздела. Теоретические данные показывают, что концентрация касательных напряжений на концах волокон зависит от объемной доли волокна и геометрии его конца. Из этих данных также следует, что радиальное напряжение на поверхности раздела изменяется по окружности волокна и может быть растягивающим или сжимающим в зависимости от характера термических напряжений, а также от вида и направления приложенной механической нагрузки. Следовательно, в обеспечении требуемой адгезионной прочности, соответствующей конкретным конструкциям, существует определенная степень свободы. Наличие пор и влаги на поверхности раздела, так же как и повышение температуры, ослабляют адгезионную прочность, в результате чего снижаются жесткость и прочность композитов. Циклическое нагружение почти не сказывается на онижении адгезионной прочности. Показатель расслоения является критерием увеличения локальных сдвиговых деформаций в матрице и модуля сдвига композита. Этот параметр может быть использован при выборе компонентов материалов с заданной адгезионной прочностью на поверхности раздела, И наконец, следует отметить, что состояние данной области материаловедения [c.83]

Для сравнения влияния окружающей среды, в частности воздуха, масла или воды (при 100° С), авторы [2] нанесли на график нормированное начальное напряжение в зависимости от логарифма долговечности для случая, разрушения, определенного различными долями начального напряжения в цикле. Им удалось произвести полное сравнение только при весьма высоких уровнях напряжений, и для этого были выбраны напряжения, равные 75 и 90% от начального. Было найдено, что результаты в случаях масла и воздуха почти совпадают для композитов как с обработанными, так и с необработанными волокнами. В воде при 100 °С повреждения композитов обоих типов были примерно одинаковыми. Были проведены исследования [21 распространения трещины при кручении, из которых следовали аналогичные выводы. Нагружение кручением в виде, представленном в работах [12, 2], едва ли возникает на практике из-за очень низкой крутильной жесткости однонаправленных углепластиков. Однако проведенные исследования подчеркнули значение видов нагружения, при которых матрица и поверхность раздела испытывают существенные деформации. [c.391]

Аналогичные неприятности появляются и в случае, когда выделенная часть системы неустойчивая. G указанными выше трудностями можно бороться, чередуя расчеты с помощью матриц жесткости и податливости на разных участках интервала интегрирования. Однако этот путь может оказаться недостаточно эффективным, если, например, значения резонансных и антире-зонансных частот близки. В этих условиях определенные преимущества имеет изложенный ниже вариант метода прогонки, разра-. ботанный А. А. Абрамовым. [c.477]

Трудности в численных расчетах, встречающиеся при исследовании балки, опертой на жесткие пружины, обсуждались Пестелем и Леки [4.8. Эта проблема становится еще более актуальной при расчете панелей самолетов. Одной из основных возникающих здесь трудностей является цепочка перемножений матриц типа представленных в уравнении (4.125), так как если цепочка становится длинной, а жесткость упругого элемента, определяющая матрицу [Р], существенно превышает жесткость балки на изгиб, определяющую матрицу [U], то возникает неустойчивость процедуры численного счета, что по существу является результатом вычисления малых разностей больших чисел в вычислительных машинах при конечной точности представления чисел. Для задач о свободных колебаниях это означает, что иногда, особенно когда это связано с задачами, описываемыми уравнениями высоких порядков (типа уравнений оболочек), возникают трудности определения частот, при которых частотный определитель достаточно близок к нулю, с тем чтобы с необходимой точностью найти формы колебаний. При решении задач о вынужденных колебаниях может вызвать затруднение процедура численного обращения матрицы (см. уравнение (4.128)). Как было показано Лином и Макданиэлом [4.7], это связано с соотношением [c.186]

А А . .. Ап Uo, Ui Fo, 0 = Ui, U l, 0, 0 , причем A- = = A ( -f- -Й). Здесь в фигурных скобках вектор-столбец U dUldx, Q, М , Aj— обычная переходная матрица (см., например, [3]) участка балки между сечениями xj, Е — единичная матрица четвертого порядка, В — матрица, у которой единственный отличный от нуля элемент r i = к. Численное решение такой задачи не представляет трудности, когда число участков не слишком большое. Таким образом, можно сконструировать модель агрегата, где общ,ая рама представлена в виде комбинации небольшого числа простейших элементов тина балок, пластин, оболочек простейшего вида. К такой модели рамы прикрепляются элементы указанного выше типа. Комплексная функция действительного аргумента к (со) выбирается по данным экспериментального определения жесткостей подсистем в точках соединения их с рамой. Для определения с (р) по известному к (со) необходимо было бы решить интегральное уравнение. Здесь рассматривается простейший случай, когда с (р) задано и решение может быть получено в замкнутой форме или в виде зависимостей между основными безразмерными параметрами задачи. [c.70]

При жсспедовании динамики сложных дискретных пространственных систем одной из основных задач является определение собственных частот и форм колебаний Zj. Для решения этой задачи составляется динамическая матрица жесткости [c.128]

Предложена методика проверки правильности составления динамической матрицы жесткости сложных пространственных дискретных систем с большим числом степеней свободы. С этой целью выполняется исследование матрицы на положительную определенность. Разработаны два алгоритма на языке АЛГОЛ-60, реализующие критерий Сильвестера для положительной определенности симметрических матриц. Приведен пример расчета собственных частот трехмассовой пространственной системы. Библ. 5 назв. [c.221]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...