Другие вариационные формулировки

Другие вариационные формулировки [c.118]

В заключение мы коротко рассмотрим другие вариационные формулировки задачи неравновесных стационарных состояний [69, 70]. Возьмем для конкретности случай теплопроводности. Постараемся отыскать такой лагранжиан чтобы интеграл [c.118]

Другие вариационные формулировки 119 [c.119]

С другими вариационными формулировками можно ознакомиться в работах [40, 46]. [c.72]

Укажем другую вариационную формулировку задачи упругопластического кручения [4]. [c.62]

Наша цель —изучить метод, основанный на другой вариационной формулировке бигармонической задачи (подразумевается, что приведенная выше вариационная формулировка — стандартная). Сами такие методы подразделяются на несколько категорий (см. обсуждение в разделе. Дополнительная библиография и комментарии в конце этой главы), и цель этой главы состоит в изучении одного из них —так называемого метола смешанного типа. В своей основе он соответствует вариационной формулировке, где функция — первый аргумент минимума и, ф) нового функционала. Таким образом, мы непосредственно получим аппроксимации не только решения и, но также и второго аргумента ф. Так как в свою очередь в данном случае этой функцией ф будет —Аи, то этот подход, в частности, соответствует изучению двумерных установившихся течений, где —Аи представляет завихренность. [c.370]

Другая вариационная формулировка бигармонической задачи [c.372]

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила Fi моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции LJ qi,. .., ( ). Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием [c.100]

Методами взвешенных невязок удается решать и нелинейные задачи нестационарной теплопроводности, но при этом для определения Вп (t) в (4.48) получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, температурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимостью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений (t) численным интегрированием. Переход к конечным интервалам времени позволяет использовать вариационную формулировку нелинейных задач [13], представляя анализ процесса нестационарной теплопроводности как последовательность решений ряда задач стационарной теплопроводности. [c.166]

Из вариационных принципов теории упругости определяющие уравнения вытекают как условия стационарности, и в этом смысле они эквивалентны определяющим уравнениям. Однако вариационные формулировки имеют ряд преимуществ. Во-первых, функционал, который подлежит варьированию, имеет вполне определенный физический смысл и инвариантен относительно преобразования координат. Следовательно, если вариационный принцип сформулирован в одной системе координат, то можно получить определяющие уравнения в другой системе координат, выписав инвариантную величину в новой системе координат, а затем применив варьирование. [c.19]

Во-вторых, вариационная формулировка является удобной для выполнения обычных математических процедур, а именно преобразования данной задачи к эквивалентной, которая решается проще исходной задачи. В вариационной формулировке с дополнительными условиями это преобразование осуществляется с применением метода множителей Лагранжа — весьма эффективного и систематического средства. Таким образом можно получить целое семейство вариационных принципов, эквивалентных друг другу. [c.20]

Оказалось, что принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы являются очень эффективными для анализа таких упрощенных конструкций. Подход, основанный на принципе минимума потенциальной энергии, обычно называется методом перемещений, а подход, использующий принцип минимума дополнительной энергии, называется методом сил ). Эти два метода являются главными методами анализа конструкций. Из-за недостатка места мы в основном остановимся на анализе ферм и рам, выдвигая на первый план вариационные формулировки. Для более подробного ознакомления с численными примерами и другими видами конструкций читатель отсылается к работам П—14], [c.290]

В статике при разыскании формы равновесия тяжелой однородной цепи с закрепленными в двух точках концами (цепной линии) можно исходить из дифференциальных уравнений этой кривой, получаемых из рассмотрения сил, действующих на мысленно выделяемый элемент цепи. Другое определение основано на том, что центр тяжести искомой кривой должен занимать наинизшее возможное положение. Такова вариационная формулировка задачи о цепной линии. [c.642]

В механике сплошной среды ранее других стали развиваться вариационные методы в теории упругости, в частности в задачах равновесия упругого тела, после того, как В, Ритц опубликовал в 1908 г. свой метод приближенного решения вариационной задачи. Пожалуй, только с середины прошлого века стали разрабатываться вариационные методы в гидромеханике. Весьма интересна вариационная формулировка уравнения баланса и использование ее в задачах термодинамики и задачах переноса, в том числе в задачах [c.439]

В рамках вариационной формулировки задач обнаруживается тесная связь теории жесткопластических сред с рядом современных разделов математики функциональным анализом, интегральной геометрией, выпуклым анализом и т. п. Поэтому в заключение авторам представлялось целесообразным сформулировать ряд вопросов, ответы на которые могут оказать влияние на дальнейшее развитие теории движения жестко- и вязкопластических сред и, с другой стороны, стать источником новых задач в соответствующих разделах математики. [c.10]

Среди других возможных формулировок можно использовать смешанные вариационные формулировки с множителями Лагранжа или штрафные функции. [c.21]

Подчеркнем, что четвертые производные, появляющиеся в члене Л ы в теореме Грина, не требуются для справедливости теоремы о минимуме потенциальной энергии в вариационной формулировке. Обратное тоже верно. Предел функций, имеющих непрерывные четвертые производные и стремящихся к решению, может оказаться функцией другого типа, а идея пополнения состоит в получении допустимого (условиями минимума) пространства функций, удовлетворяющих лишь главным крае- [c.90]

В то же время математические преобразования, которые при других способах могут оказаться трудоемкими, становятся простыми, если использовать функцию Лагранжа I. По-видимому, для отыскания вариационных принципов, отвечающих данной системе уравнений, не существует общего метода, отличного от эмпирического подхода. Однако для многих важных случаев такие вариационные принципы известны. Как это ни странно, по-видимому, соответствующей вариационной формулировки для волн на воде в литературе до сих пор дано не было заведомо, она не является общеизвестной. Волны на воде представляют собой основной пример, рассмотренный в этой статье в качестве типичного примера волн в средах с дисперсией. Первые два раздела статьи содержат изложение соответствующего вариационного принципа и приближений для длинных волн. [c.12]

Задача оптимального проектирования, сформулированная выше, относится к наиболее общим и сложным типам вариационных задач, которые рассматриваются в теории оптимальных процессов [56]. Это обусловлено тем, что часть аргументов целевого функционала зависит от времени, а другая часть неизменна во времени. Обычно для решения подобных задач предлагается исходную формулировку преобразовать к формулировке чистых вариационных задач, у которых все аргументы являются функциями времени. Для этого необходимо векторы Z и К рассматривать в качестве новых векторов-функций времени, производные которых по времени тождественно равны нулю. Это увеличивает размерность и объем задачи и создает дополнительные трудности для применения вариационных методов решения. [c.72]

В свете открытий теории относительности вариационные основы механики заслуживают большего, чем чисто формальной оценки. Это далеко не просто другая формулировка ньютоновых законов движения. Преимущества вариационного метода можно сформулировать в следующих пунктах. [c.23]

Роль принципа Даламбера в механике. Принцип Даламбера дает полное решение задачи механики. Все остальные принципы механики — это просто математически другие формулировки принципа Даламбера. Наиболее развитый вариационный принцип механики, принцип Гамильтона, может быть получен из принципа Даламбера путем некоторого математического преобразования. В тех случаях, когда оба принципа применимы, они эквивалентны. Однако принцип Гамильтона относится лишь к голономным системам, в то время как принцип Даламбера равно применим и к голономным и к неголономным системам. [c.116]

Само по себе равенство (4) ничего не добавляет к условиям непрерывности, которые участвуют в формулировке вариационной задачи для Эт (табл. 3.1) и не помогает при решении задачи, если решение выполняется с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Однако это равенство позволяет переходить к другим функционалам, использование которых может упростить решение. [c.92]

Другие вариационные формулировки выводятся в последующих главах, лосвященных приложениям метода конечных элементов, [c.150]

В данной главе прежде всего позпакомимся с двумя основными принципами — Лагранжа и Кастильяно, а также с некоторыми другими принципами. Укажем на связь этих принципов и вариационной формулировки задачи теории упругости с дифференциальной формой этой задачи. [c.49]

Пример 23.8. Рассмотрим стационарное температурное поле в длинной трубе, поперечное сечение которой показано на рис. 23.10, а. На двух гранях внешней поверхности трубы задано граничное условие первого рода в виде линейиого распределения температуры от О до 200 °С. Поверхности двух других внешних граней и внутреннего цилиндрического отверстия теплоизолированы. Вариационная формулировка задачи может быть получена из (23.25). При отсутствии [c.248]

Эта задача (без учета внутреннего тепловыделения и вязкой диссипации) была рассмотрена Грэтцем и рядом других авторов [1, 2 . Решение находим в виде ряда по собственным функциям задачи. Несколько первых собственных значений и соответствуго-ш их собственных функций были вычислены с достаточно высокой степенью точности. Если температуру находим в виде разложения по соответствующим ортогональным функциям, то точное решение может быть получено также и с помощью приведенного здесь вариационного метода аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе. Однако здесь мы получим только приближенное решение, основанное на вариационной формулировке задачи. Из уравнения (6) получаем выражение для функционала / (0), которое в безразмерной форме имеет вид [c.332]

Bee эти вариационные формулировки теоретически эквивалентны друг другу, и каждую из них удобнее принимать в зависимости от вида используемых определяющих соотношений. Аналогичные вариационные принципы предложены в [88], но сформулированы они относительно приращений, а не скоростей. Отметим, что представленные в настоящем разделе формулировки обобщенного вариационного принципа, данные относительно скоростей, являются аналогом вариационного принципа Ху — Васид-зу [67, 119] в нелинейной теории упругости. Настоящие же вариационные формулировки можно использовать как для упругих, так и для упругопластических тел при произвольной величине деформаций. Сопряженные вариационные формулировки приведены в [98], где определяющие соотношения даны в обращенном виде, т. е. скорости деформаций выражены через скорости напряжений. Сопряженные вариационные формулировки являются аналогом вариационного принципа Хеллингера — Рейсснера [67, 119] [c.116]

Другие вариационные принципы. Кроме рассмотренных выше основных вариационных принципов, существуют различные вариационные формулировки частных задач динамики жидкости. Некоторые из этих вариационных задач мы будем рассматривать ниже в соответствующих разделах нашей статьи. Отметим, в частности, теорему Кельвина о минимуме энергии (п. 24), вариационные принципы Б ейтмена (п. 47), теоремы Гельмгольца и Рэлея (п. 75) и т. п. [c.48]

Аналогичный подход к вариационной формулировке проблемы термоупругости для несколько другого представления системы уравнений был проведен в работах [34а, Ь]. Были получены вариационные принципы, аналогичные принципам Ху—Вашизу, Хеллингера—Рейсснера, минимум потенциальной энергии и другие. В работе [34Ь] показано приложение одного частного вариационного принципа к приближенным вычислениям решения задачи о нагреве полупространства. [c.241]

Эти трудности привели различных авторов к предположению о том, что вариационные формулировки вряд ли окажутся полезными для решения нестационарных задач. Мы присоединяемся к этому мнению в особенности потому, что, как было показано в гл. 3, методом Галеркина можно пользоваться без какого-либо упоминания о вариационных принципах. Единственным оправданием изучения сопряженной задачи является желание рассмотреть диссипативные системы в рамках развитого здесь математического аппарата. Для подобных целей другие авторы предлагают так называемые ограниченные вариационные принципы или квазивариацион-ные принципы такие принципы не имеют большого внутреннего смысла, а просто служат математическим обоснованием для применения метода Галеркина к диссипативным системам. Все формулировки одинаково хороши в этом отношении и одинаково несовершенны в смысле строгости, когда дело касается задач с начальными данными. [c.156]

Условие стационарности функционала 65 = О формулирует континуальную вариационную задачу с бесконечным числом компонент перемещений, определяющих разыскиваемые функции-экстремали. Идея метода, предложенного еще в начале века немецким ученым Ритцем, состоит в том, чтобы от континуальной формулировки перейти к дискретной, когда функционал Э = Э и, v, w), заменяется функцией Э = Э а ) (г = 1, 2,. . ., п), зависящей от конечного числа аргументов После этого задача определения экстремалей функционала перейдет в стандартную задачу исследования указанной функции дискретного числа аргументов на экстремум. Другими словами, от континуальной задачи с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования тела мы переходим к задаче для системы с конечным числолг степеней свободы. [c.58]

I) в некоторых литературных источниках в формулировке теоремы вместо слова работа используется термин возможная работа (см., например, И. М. Рабинович. Курс строительной механики. Часть II. Гос. изд-во литер, по строительству и архитектуре. М. 1954). При этом по смыслу изложения под указанным термином имеется в виду абстракция, отличающаяся от действительной работы тем, что силы, производящие работу, могут относиться к одному состоянию системы, а перемещения им соответствующие — к другому. Вместе с тем дается определение этого понятия в параграфе, посвященном принципу возможных перемещений, как работы сил на возможном перемещении, хотя в самой формулировке указанного здесь принципа термин возможная работа не используется и вместо него применено просто слово работа. Аналогичное последнему дается определение возможной работы и в классическом курсе П. Аппеля (П. Аппель. Теоретическая механика. Том первый. Пер. с пятого французского издания И. Г. М а л к и и а. Физматгиз. 1960). Как правило, в формулировке принципа возможных перемещений не используется термин возможная работа и в других литературных источниках (см., например К. Л а н-ц о ш. Вариационные принципы механики. Пер. с англ. В. Ф. Гантмахера. Под ред. Л. С. По лак а. Мир . 1965 А. И. Лурье. Теория упругости. Наука 1970 В. В. Новожилов. Теория упругос ги. Оборонгиз. 1958 и др.) [c.498]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

В более строгой формулировке Ф. п. представляет собой т.н. вариационный принцип, утверждающий, что реальный луч света распространяется от одной точки к другой по линии, вдоль к-рой время ei o прохождения экстремально или одинаково по сравнению с временами прохождения вдоль всех др. линий, соединяюидих данные точки. Это означает, что оптич. длина пути луча может быть не только минимальной, но и максимальной либо равной всем остальным возможным путям между двумя точками. Условие экстремальности оптич, длины пути сводится к требованию, чтобы была равна нулю [c.281]

Другая идея статистич. физики, оказавшая влияние на Э.Т.,—это вариационный принцип Тиббса, согласно к-ро-му гиббсовская мера характеризуется макс. значением энтропии при фиксиров. средней энергии. Для одномерной решёточной спиновой модели его точная формулировка такова. Пусть X—пространство последовательностей x= xi, — oпреобразование сдвига, т. е. (X, S)—символич. ДС, для к-рой инвариантная мера пока не выбрана. На множестве всех 5-инвариавтных вероятностных мер ц вводится функционал [c.635]

В соответствии с изложенной в гл. 2 теорией, в гл. 3 и 4 построены системы полных и частных функционалов для формулировки вариационных принципов теории упругости и теории оболочек. В книге принят вариант теории тонких оболочек, выбранный в [4.12] в качестве наилучщего показана возможность перехода к вариационным принципам для других вариантов. [c.9]

Равенства (16) и (17) показывают, что при использовании каждого из общих решений Максвелла или Морера условиями стационарности функционала Кастильяно являются различные системы из трех уравнений неразрывности и соответствующих деформационных граничных условий. Из функционала 5к1(ф) (табл. 3.2), в котором используется общее решение (1.7) с шестью функциями напряжений (оно имеет вид Максвелл + Морера ), следует шесть уравнений неразрывности с соо1ветствующими граничными условиями [5.3]. Использование других общих решений приводит к несоответствию между вариационной и дифференциальной формулировками задачи [5.3] этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании. [c.62]

Для исследования экстремальных свойств функционалов, участвующих в формулировке вариационных принципов теории оболочек, так же как и для функционалов теории упругости, может быть использовано свойство выпуклости (см. Приложение 1) одних функционалов Лагранжа и Кастильяно (исходных пунктов преобразований) и невыпуклости других. Экстремальные свойства различных полных и частных функционалов можно выяснить, используя 3 гл. 2. Результаты представлены в табл. 4.6 в этой таблице стрелки обозначают, что знаки min и max можно поменять местами, так что данный функционал имеет седловую точку. [c.130]

Во введении к части А дается общее представление о вариационных принципах и методах механики. Первые 10 глав посвящены формулировкам и применениям вариационных принципов и методов в теории упругодеформируемых сложных тел, скручиваемых стержней, балок, пластин, оболочек и конструкции. Первая, третья и четвертая главы носят подготовительный характер, и в них обсуждаются основные соотношения теории упругости для случаев малых и больших деформаций. Здесь же содержится изложение классических принципов виртуальной работы и дополнительной виртуальной работы, которые существенным образом используются в других главах при выводе минимальных вариационных принципов статики упругого тела. Важные обобще- [c.5]

Первое издание книги профессора Васидзу Вариационные методы в теории упругости и пластичности , опубликованное в 1968 г., было хорошо принято инженерами, преподавателями и студентами, занимающимися механикой деформируемого твердого тела и строительной механикой. Публикация этой книги была своевременной, потому что она совпала с периодом бурного развития приложений метода конечных элементов. Принципиальные отличия первого издания состояли в систематическом подходе при выводе вариационных принципов в теории упругости и пластичности, в преобразовании одного вариационного принципа в другой и в обеспечении систематического подхода при математической формулировке метода конечных элементов. Книга получила широкое распространение, и на нее часто ссылаются в литературе, связанной с методом конечных элементов. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...