Мера гиббсовская

Для произвольной инвариантной относительно Т меры ц составим выражение Р( х)=—SU x)d i- -h T), где К Т)—энтропия Г (по мере ). Гиббсовская мера цо однозначно определяется тем, что [c.68]

Эта мера [а обозначается и называется гиббсовской мерой, соответствующей функции ф. С точностью до констант из С1,С2] относительные вероятности наборов хс. .. Хт равны [c.15]

Существование гиббсовских мер. Предположим, что сдвиг о топологически перемешивает и [c.17]

Леммы 5 и- б показывают, что прн поиске гиббсовских мер щ для (т. е. при доказательстве теоремы 1.4) [c.19]

Теорема. Мера х является гиббсовской мерой, сооТ ветствующей функции [c.27]

Мы опишем гиббсовские меры как меры, па которых достигает максимума некоторая величина, аналогично тому, как зто делалось в лемме I.I. Если W= Сь...,С —разбиение пространства с мерой (X, Э, ц.) (т. с. С, попарно не пересекаются и = и С ), то его энтропией называется число [c.28]

Теорема. Предположим, что сдвиг а S.4-+S перемешивает, функция ф е и 114, — гиббсовская мера, соответствующая (р. Тогда Цф — это единственная мера хе е. Ио(2л), для которой [c.31]

Е, Дополнительные свойства гиббсовских мер [c.34]

В этом разделе будет показано, что гиббсовские меры обладают еще некоторыми хорошими свойствами. В дальнейшем мы предполагаем, что д = Дф, где фе 4, и что а Хл топологически перемешивает. [c.34]

Гипотеза 2 доказана в [27] гипотеза 3 доказана в 28] а ее обоб-шение на случай гиббсовских мер в [29] гипотеза I опровергнута в [35].— Прим. ред. [c.108]

В этой статье результаты, касающиеся равновесных состояний 6, 7, 24] и аттракторов [24], полученные ранее для диффеоморфизмов, переносятся иа случай потоков. Для У-потоков (Л = М) мера изучалась в работах (9, 16, 17, 20, 25, 26], а теория гиббсовских состояний (формально несколько отличающаяся от теории равновесных состояний, но приводящая к тем же самым мерам лля базисных гиперболических множеств) была развита в работе [26]. Некоторые результаты, полученные здесь для Потоков, являются новыми [c.145]

Как видно из [Б1], основным для построения метрической теории А-диффеоморфизмов и А-потоков является тот факт, что граница марковского разбиения д на базисном множестве Q является множеством нулевой д,-меры для всякой гиббсовской меры li. [c.226]

Сдвиги в пространстве последовательностей и гиббсовские меры [c.66]

Определение 6.3. Мера в пространстве М называется гиббсовской относительно потенциала V, если для любого отрезка [а, Ь условная мера на х-почти всех С является условным распределением Гиббса. [c.67]

В другой ситуации гиббсовские меры вводятся в части П1 глава 10. [c.67]

Переосмысление понятия термодинамич. предельного перехода привело к общему определению гиббсовского случайного поля, иначе — гиббсовской меры, или Шббса распределения, на фазовом пространстве бесконечной системы взаимодействующих частиц. Эта мера определяется своим гамильтонианом. В случае системы частиц с координатами qisR , импульсами pjG R , гамильтониан к-рой имеет вид [c.635]

Поток Т и) с инвариантной гиббсовской мерой наз. ДС статистич. механики. Её эргодич. свойства известны лишь для самых простых взаимодействий. Так, если U=0 (случай идеального газа неразличимых частиц), то Гу является Б-системой. Более содержательна др. бесконечномерная модель — газ Лоренца Н. Lorentz), отличающаяся от модели идеального газа тем, что точечные частицы движутся не во всём пространстве Я , а вне области, занимаемой бесконечным множеством ( -мерных шаров (рассеивателей), отражаясь от границы каждого шара по закону угол падения равен углу отражения . Упрощённый вариант этой модели, где имеется лишь одна движущаяся [c.635]

Другая идея статистич. физики, оказавшая влияние на Э.Т.,—это вариационный принцип Тиббса, согласно к-ро-му гиббсовская мера характеризуется макс. значением энтропии при фиксиров. средней энергии. Для одномерной решёточной спиновой модели его точная формулировка такова. Пусть X—пространство последовательностей x= xi, — oпреобразование сдвига, т. е. (X, S)—символич. ДС, для к-рой инвариантная мера пока не выбрана. На множестве всех 5-инвариавтных вероятностных мер ц вводится функционал [c.635]

В некоторых случаях при росте из расплава, из жидких или твердых растворов, из пара, а также при электрокристаллизации образуются особые формы кристаллов, напоминающие деревья и называемые поэтому дёндритами. Тенденция к дендритному росту имеется во всех случаях, когда между питающей и твердой фазами существует положительная разность гиббсовских свободных энергий AG, и эта разность увеличивается по мере удаления от поверхности раздела в глубь питающей фазы. В чистом расплаве дендритная морфология кристаллов может стать доминирующей только в том случае, если температурный градиент в расплаве на границе раздела фаз отрицателен. В случае растворов (сплавов) дендритная структура может возникать [c.190]

Когда работа Гиббса спустя много лет после ее выхода в свет стала известно в Европе, она совершенно не утратила своей новизны. Содержание работы и сегодня имеет непосредственную ценность, и интерес к ней ни в коей мере не является чисто историческим. Действительно, из того почтп неисчерпаемого богатства результатов, которые в ней содержатся или из нее вытекают, пока что может быть использована лишь очень небольшая часть. Заключенные в главах этой работы нетронутые сокровища во всем своем разнообразии и ценности еще ждут исследователей — теоретиков и особенно экспериментаторов. Научившись находить значения энтропии не только для газов, но и для огромного класса разбавленных растворов, мы имеем теперь возможность выразить общие функции, входящие в гиббсовские уравнения, через экспериментально определяемые величины. Частично это уже сделано, но еще больше предстоит сделать . [c.204]

Общая теория динамических систем традиционно делится на две большие ветви — топологическую динамику и эргодическую теорию. Методы символической динамики работают и там, н там, ио в настоящем сборнике эргодическая часть все-таки преобладает. В первой статье читатель найдет построение марковского разбиения для ограничения диффеоморфизма, удовлетворяющего аксиоме А, на множество не-блуждаюших точек и эргодическую теорию таких диффеоморфизмов. Существенное место здесь занимают термодинамический формализм , гиббсовские меры н вариационный принцип . Введенные Д. Рюэлем и Я- Г. Синаем по аналогии со статистической физикой эти понятия удачно вписались в традиционный для динамических систем круг. Это оживило эргодическую теорию гладких систем и уже принесло интересные результаты. Оказалось, например, что базисные множества диффеоморфизмов класса С , удовлетворяющих аксиоме А, имеют лебеговскую меру нуль. Замечательно, чю класс гладкости здесь нельзя понизить в пятой статье сборника описано построение толстой подковы Смейла , базисное множество которой имеет положительную лебеговскую меру. [c.6]

Данные заметки состоят из четырех разделов. Сначала мы изучим статистические свойства гиббсовских мер. Эти меры на пространстве последовательностей возникают в современной статистической механике оии интересуют нас постольку, поскольку являются решением задачи о восстаиов-ленни инвариантной меры, если она в некотором смысле приближенно известна. Гиббсовские меры удовлетворяют также вариационному принципу, нажность которого определяется тем, что он применим в более общих пространствах, чем пространство последовательностей. Исходя нз этого принципа мы строим термодинамический формализм на компактных простраиствах, чему посвящен второй раздел. В третьем вводятся диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А, и для них строится символическая динамика, т. е. выясняется, как они связаны со сдвигом на пространстве последовательностей. В последнем разделе с помощью символической динамики изучается эргодическая теория диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме Л. [c.10]

В этом разделе мы дока кем теорему Рюэля, которая в дальнейшем используется для построения и изучения гиббсовских мер. ДляфеС(2л) определим оператор L = L на С(2л) следующим образом [c.20]

Теорема. Разбиение 41 слабо бернуллиевское относительно гиббсовской меры = fгф. [c.35]

Доказательство. Импликация (П1)= (1У) очевндна, а (1у)= >(1) показывается точно так же, как лемма 1.5. Предположим, что М г = Мф и = X. Из определения гиббсовской меры и равенства получаем е.реР(ф) - + ,ф(х)) ехр(-Р( )/-1-5 г (х)) 1 1. [c.37]

Вариационное свойство (1-22) гиббсовских мер Иср доказали Лэнфорд н Рюэль [7] в случае Для 2 доказательство МОЖНО найти в [2] или [11]. Мы следовали доказательству из [2], которое в свою очередь основано на доказательстве Адлера и Вейса [1] теоремы Перри (теорема 1.22 с = 0). [c.39]

В дополненне к приведенному списку литературы можно рекомендовать обзор [14], в котором значительное место уделяется эргодической теории гладких динамических систем гиперболического типа я связяхс эрге-лической теории со статистической механикой. Б частности, топологические цепи Маркова и гиббсовские меры рассматриваются в 3 гл. 2 этого обзора. [c.39]

Мера (ле Мг(Х), удовлетворяющая условиюЛц(Г)+ ф(/ 1= = Р7(ф), называется равновесным состоянием для функции ф (относительно Т). Как было показано в 1, гиббсовское состояние 1(,, соответствующее функции является единственным равновесным состоянием для этой функции. [c.55]

Мера максимальной энтропии и распределение периодических точек. В работах данного сборника гиббсовские меры для А-снстем строятся с помощью марковских разбне-нин. Возможен н другой подход, развитый Боуэном в рабо тах [24], [25], [26], для мер с максимальной энтропией. При STOM подходе мера с максимальной энтропией получается как предел мер, сосредоточенных на периодических траекториях. [c.230]

В дальнейшем предполагается, что поток ft Х- Х перемешивает. Гиббсовская мера цо, отвечающая функции ф s О, называется мерой максимальной энтропии. Эта мера единственна, и динамическая система (X, f/, fio) при каждом t метрически сопряжена сдвигу Бернуллн (см. [Б4], [37], [3]). Как и в случае дискретного времени, периодические траектории потока [X,fi) равномерно распределены относительно меры Но, а топологичеекая энтропия вычисляется через асимптотику их числа. [c.234]

Проблема изоморфизма автоморфизмов Бериулли и С-систем 52 5. Эквивалентность динамических систем в смысле Какутаии. . 61 6. Сдвиги в пространстве последовательностей и гиббсовские меры 66 [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...