Траектория движения точки изображающей в пространстве

Непосредственным следствием теоремы о сохранении фазового объема является уравнение движения для плотности вероятности ад(д, р, <) Чтобы нагляднее сформулировать его, договоримся сначала о способе изображения функции ад(д, р, <) в фазовом пространстве. Обычно мы привыкли рисовать графики, вводя кроме осей, по которым откладывается аргумент функции в нашем случае х = (я,р)), еще и ось изображаемой величины те. Но мы уже использовали плоскость чертежа для изображения б У-мерного пространства (д,р) как двумерного. Этот хотя и двумерный простор фазовом пространстве нам хотелось бы сохранить, чтобы рисовать траектории движения точек, изображающих состояния системы, и т. д. Так что для изображения функции р, <) придется использовать другой (но ничуть не худший) способ плотность вероятности У) д,р,1) для данного момента будет фиксироваться в пространстве (д, р) плотностью фиктивных точек в этом пространстве. Тогда газ этих точек (или ад-жидкость ) вследствие теоремы Лиувилля ведет себя в б У-мерном фазовом пространстве как несжимаемая жидкость. [c.290]

При Л > О уравнения (37), (38) определяют движение изображающих точек в полосе двухслойного фазового пространства системы, а при Л < О — в полосе П [З]. На рис 18 показана фазовая траектория движения Г, начинающаяся в полосе при X 0. Непосредственно из вида траектории Г следует, что если при / = О Л > О, то фазовые траектории системы при возрастании t выходят из части х < О, О s X h полосы и вновь в нее не возвращаются. Аналогично можно показать, что фазовые траектории, начинающиеся в полосе П при X > О, с течением времени выходят из части этой полосы, располагающейся при х > 0. [c.186]

Решение. Так как траектория х = х 1, о) движения точки, изображающей микроскопическое состояние системы в фазовом пространстве, с начальным условием = о при I = О (см. с. 288, рис. 189) задана, то соответствующая этому движению функция распределения с учетом условия нормировки выражается как [c.360]

Следствие 8.12.4. Принцип Якоби позволяет свести задачу об определении траектории движения изображающей точки к экстремальной задаче в пространстве конфигураций с римановой метрикой. В области Г + / > 0 конфигурационного пространства зададим риманову метрику формулой [c.620]

Вновь изобразим движение материальной системы как движение материальной изображающей точки в многомерном пространстве конфигураций. Траектория изображающей точки, соответствующая действительному движению системы, называется основной. Траектории изображающей точки, образованные из основной в результате варьирования радиусов-векторов точек материальной системы, называются траекториями сравнения. [c.185]

Правая часть этого равенства не изменяется при движении изображающих точек вдоль их траекторий в пространстве состоянии. Таким образом, получен полный относительный инвариант Э. Картана [c.384]

Нормальная форма дифференциальных уравнений возмущенного движения допускает простую геометрическую интерпретацию. Действительно, как ул е отмечалось, J) возмущенном движении изображающая точка М описывает в пространстве Ху,. . ., Хп некоторую траекторию у. Скорость и движения точки М направлена по касательной к этой траектории, а ее проекции определяются равенствами [c.22]

Прежде чем перейти к их изложению, уточним смысл фразы движение системы за конечный промежуток времени . В каждый данный момент времени конфигурация системы определяется значениями обобщенных координат q, . .., q-n, и если рассматривать эти числа как декартовы координаты в /г-мер-ном пространстве, то каждой конфигурации системы будет соответствовать определенная точка этого пространства. Такое -мерное пространство мы будем называть пространством конфигураций. С течением времени состояние системы изменяется, и точка, изображающая эту систему, описывает в пространстве конфигурации некоторую кривую. Мы будем называть эту кривую траекторией движения системы . Тогда движение системы можно будет рассматривать как движение изображающей точки вдоль этой траектории (в пространстве конфигураций). Время i можно при этом рассматривать как параметр. Тогда каждой точке траектории будет соответствовать одно или несколько значений t. Следует подчеркнуть, что пространство конфигураций, вообще говоря, не является трехмерным пространством, в котором происходит движение системы (подобно тому, как обобщенные координаты не всегда являются обычными координатами, определяющими положение точки). Траектория движения в пространстве конфигураций, конечно, не будет иметь сходства с истинной траекторией какой-либо точки рассматриваемой системы каждая точка траектории в пространстве кон- [c.42]

Следует заметить, что траектория, получающаяся в пространстве конфигураций в результате варьирования истинной траектории, может быть одинаковой как при б-вариации, так и при Д-вариации. Однако скорость движения изображающей точки вдоль полученной траектории будет при этом неодинаковой, так как в первом случае вариация ее скорости должна быть такой, чтобы не менялось полное время движения, а во втором —чтобы не менялось Н. [c.254]

Таким образом, дифференциал dp можно интерпретировать как длину элемента траектории в пространстве конфигураций с координатами q. ....В общем случае они не являются декартовыми, а представляют координаты пространства, метрика которого определяется коэффициентами т,л из равенства (7.41). Тогда Y2Т будет равняться скорости, с которой изображающая точка движется вдоль своей траектории в пространстве конфигураций. Если на систему не действуют силы, и поэтому Г постоянно, то будет постоянной и скорость движения этой точки, из чего можно сделать вывод, что она будет двигаться вдоль кривой наименьшей длины, т. е. вдоль одной из геодезических линий пространства конфигураций. [c.259]

Если рассматриваемая система состоит всего из одной точки, положение которой определяется координатами qi, то уравнения (7.46) будут определять ее траекторию в собственном смысле этого слова (а не траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций). Координаты qi могут быть при этом и не декартовыми, а движение точки может быть ограничено связями, заставляющими ее двигаться не в трех измерениях, а.в двух, т. е. по некоторой поверхности. Тогда ее положение на этой поверхности будет определяться координатами qi и 2, а dp будет, очевидно, пропорционально элементу длины ее траектории. Уравнения (7.46) будут тогда определять траекторию этой точки на поверхности, по которой она движется. В том частном случае, когда на точку не действуют никакие активные силы, ее траекторией будет одна из геодезических линий этой поверхности (как и в случае траектории в пространстве конфигураций). Если такой поверхностью будет, например, сфера, то точка будет двигаться по большому кругу, так как он является геодезической линией сферы. [c.260]

Всякое движение, посредством которого материальная система переходит от некоторой начальной конфигурации q к некоторой конечной конфигурации будет изображаться в определенном таким образом метрическом многообразии некоторой кривой, соединяющей обе точки, изображающие две конечные конфигурации, и имеющей параметрическими уравнениями конечные уравнения, выражающие закон движения qji — Qh (t). Такая кривая, которая в случае одной единственной точки, свободной или несвободной, тождественна с соответствующей траекторией в физическом пространстве, в общем случае называется динамической траекторией системы в том движении. о котором идет речь. [c.412]

Действительное механическое явление следует понимать или изображать как волновой процесс в -пространстве, а не как движение изображающей точки в этом пространстве. Рассмотрение движения изображающей точки, составляющее предмет классической механики, является лишь приближенным способом изучения поведения системы и может быть оправдано лишь подобно тому, как в некоторых случаях оправдывается применение лучевой или геометрической оптики для изучения действительных волновых оптических процессов. Макроскопический механический процесс должен изображаться как волновой сигнал описанного выше вида, который с достаточным приближением может считаться точечным в сравнении с геометрической структурой траектории. Как мы видели, для подобного сигнала или группы волн действительно выполняются точно те же законы движения, что и устанавливаемые классической механикой законы движения изображающей систему точки. Подобный способ рассмотрения теряет, однако, всякий смысл, если размеры траектории не очень велики по сравнению с длиной волны или даже сравнимы с ней. В этом случае следует перейти к строгому волновому рассмотрению, т. е. следует изображать многообразие возможных процессов, исходя из волнового уравнения, а не из основных уравнений механики, которые для объяснения сущности микроструктуры механического движения столь же непригодны, как и геометрическая оптика для объяснения явлений дифракции. [c.690]

Движение изображающей точки в фазовом пространстве отображает движение механической системы. Траектория этой точки называется фазовой траекторией. [c.44]

Формально движение изображающих точек по фазовым траекториям можно рассматривать как течение некоторой жидкости. Если бы столкновения между частицами отсутствовали, то изменение плотности изображающих точек описывалось бы уравнением непрерывности в пространстве шести измерений [c.467]

Если Мх = My = Mz = 0, (u =0 и Q О, то гиростат, как известно [108], совершает периодические колебания либо находится в перманентном вращении. В пространстве скоростей траектории движения изображающей точки — полодии — расположены па эллипсоиде энергии несущего тела гиростата [c.290]

Пусть в начальный момент времени состояние системы определяется точкой А фазового пространства. Тогда от точки А движение будет происходить по траектории Т+. В точке В изображающая точка достигнет поверхности переключения Ввиду того что имеется запаздывание, движение в течение времени То будет продолжаться по траектории 7"+. Через время То в точке а+реле выключится и изображающая точка скачком переместится в положение а° (см. рис. 57,а). Но точка располо-146 [c.146]

Соотношения (II) также являются интегралами системы дифференциальных уравнений (I), причем первая группа интегралов не будет содержать явно время t и поэтому она будет являться геометрической группой интегралов, определяющей траекторию движения, изображающей точки в /г-мер ном пространстве. Последний интеграл, содержащий время t в яв ном виде, называется кинематическим, дающим закон движения изображающей точки по траектории. Вторая группа п—1) интегралов служит для определения импульсов ру [c.63]

Аналогичным приемом можно исследовать движение точки переменной массы в случае, когда траектория изображающей точки (в пространстве г ) есть парабола или гипербола. [c.86]

Как известно, в динамике дискретных систем подобная вариационная задача, приводящая к уравнениям Лагранжа 2-го рода, составляет содержание принципа стационарного (или наименьшего) действия. Согласно этому принципу рассматривается совокупность траекторий движения изображающей точки в пространстве конфигураций системы, характеризуемой функцией Лагранжа между двумя положениями и (/1) при этом утверждается, что по сравнению с соседними траекториями вдоль траектории действительного движения [c.434]

Итак, в методе Гамильтона в качестве независимых переменных рассматриваются 5 обобщенных координат системы д , д ,...,д и 8 ее обобщенных импульсов р , р ,. .., р , определяемых равенствами (30.5). Для геометрической интерпретации движения механической системы вводится понятие о так называемом фазовом пространстве. Под фазовым пространством понимается 28-мерное пространство, по осям координат которого откладываются значения 5 обобщенных координат д я обобщенных импульсов р . Каждой точке фазового пространства (ее называют изображающей точкой) соответствует определенное состояние системы. При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве кривую, называемую фазовой траекторией механической системы. В отличие от конфигурационного пространства через каждую точку фазового пространства проходит одна-единственная фазовая траектория механической системы. [c.187]

Мы будем отображать колебания схемы движением изображающей точки не в трехмерном фазовом пространстве х, у, г, а по плоскости х, у. Ясно, что при таком рассмотрении фазовые траектории медленных и быстрых движений па плоскости х, у, являющиеся проекциями фазовых траекторий в пространстве х, у, г, могут пересекаться между собой, [c.810]

Для определения состояния системы с х степенями свободы выбрано 5 обобщенных координат. Введя конфигурационное пространство 5 измерений, можно рассматривать обобщенные координаты дк как координаты точки х-мерного пространства. При движении система заменяется одной изображающей точкой, движущейся в конфигурационном пространстве. Эта точка в пространстве конфигураций описывает кривую, которую условно можно назвать траекторией движения системы. [c.207]

Фазовые траектории гармонического осциллятора. Движение системы п точек в реальном трехмерном пространстве можно рассматривать как движение одной изображающей точки в пространстве, образованном обобщенными координатами qu- (Пространство конфигураций описано в 19.) [c.216]

Таким образом точка, изображающая систему, в фазовом пространстве в процессе движения находится на эллипсе, который и служит для системы фазовой траекторией (рис. 25.2). Так как площадь эллипса равна nab, то с учетом значений а н Ь имеем [c.216]

Рассмотрим некоторую прямую ОЬЛ в указанной области Она состоит из точек, каждая из которых изображает событие (соответствует месту в пространстве х и моменту времени t). Прямую ОМ интерпретируют как мировую линию, т, е. как траекторию движения так называемой мировой точки. Мировая линия состоит из точек, последовательно изображающих события, каждое из которых в свою очередь является, например, пребыванием материальной точки в точках физического пространства X, у, Z в момент времени t. Все мировые линии, соответствующие реальным движениям, имеют углы наклона к Охо, удовлетворяющие условию [c.262]

Пояснение термина мнимый сноп пуль и мнимая площадь рассеивания .При сопроводительном огне выпускаемые из оружия пули фактически описывают траектории в различных местах пространства и пересекают плоскость полета самолета, перпендикулярную к линии выстрела, также в различных точках пространства, но эти точки пересечения все время окружают самолет. Если бы нам удалось измерить отклонение каждой из этих точек от самолета и потом, приняв самолет за начало координат, обозначить эти точки на чертеже, то мы получили бы вокруг самолета какую-то определенную площадь, занятую этими точками, изображающими пролет пуль около самолета в разные моменты его движения, а соединив все точки кривыми с местом стояния [c.118]

Так как состоянием системы в данный момент времени однозначно определяется ее состояние в любой другой момент, то движение изображающей точки в фазовом пространстве, которое отображает собой изменения состояния данной системы с течением времени, однозначно определяется ее начальным положением. При этом изображающая точка описывает в фазовом пространстве линию, которую мы будем называть траекторией из только что сказанного следует, что через каждую точку фазового пространства проходит одна единственная траектория, и кинематический закон движения изображающей точки вдоль этой траектории является однозначно определенным. [c.12]

Возвращаясь к понятию линии тока, отметим, что в установившемся движении, она совпадает с траекторией частицы. Траектория представляет собой линию, изображающую путь, пройденный в пространстве частицей за некоторый отрезок времени. Линия же тока является мгновенной линией, вдоль которой в данный момент движется совокупность частиц. Очевидно, что только при установившемся движении эти понятия могут совпадать, так как в этом случае траектории всех частиц, проходящих через какую-либо определенную точку пространства, будут одинаковыми [c.14]

Траектория точки, изображающей в фазовом пространстве свободное движение, пред-ставляет собой прямую, параллельную оси х (рис. 213) и приподнятую над ней на величину С = /ЪпЁ, где Е =-р /(2т) — энергия частицы. [c.361]

С течением времени положение системы в пространстве изменяется и точка, изображающая эту систему, описывает в пространстве конфигураций некоторую кривую. Условимся называть эту кривую траект.орией движения системы. Движение изображающей точки вдоль этой траектории отображает действительное движение системы в пространстве. [c.391]

Как видно из равенства (II. 151), действие по Якоби зависит лишь от формы и положения действительной траектории изображающей точки в пространстве конфигураций. Кривая, на которой удовлетворяется условие (II. 149), называется экстремалью. Следовательно, действительная траектория — экстремаль. Через фиксированную точку Л пространства конфигураций, можно провести бесконечное множество экстремалей, соответствующих различным начальным условиям. Проведем через точку 44] действительную траекторию и экстремаль, образующую с действительной траекторией малый угол и пересекающую действительную траекторию в точке М%. Предположим, что при уменьшении угла между вспомогательной экстремалью и действительной траекторией точка Мг приближается к предельному положению Мг. Точка Ма называется точкой, сопряженной с М, пли ее кинетическим фокусом. Если точка М2 лежит между точками и Мэ, то якобие-во или лагранжево действия имеют минимум для действительного движения системы. [c.205]

Следует отметить, что в соотношения (II. 377а) и (П.377Ь) время 1 не входит. Эти соотношения определяют траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций. Последнее соотношение определяет закон движения изображающей точки по ее траектории. [c.375]

Ур-ния (7), содержащие в дапиом. случае только а,, и не содержащие время i, определяют в многомерном пространстве траекторию точки, изображающей данную механич. систему, а ур-1[не (8) даёт закол движения вдоль этой траектории. 31[ачения постоянных а,-, р,- определяются и в )том случае подстановкой начальных данных в равенстне (5), (7) и (8). [c.399]

Ф ЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в статистической физике, многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщённые координаты и импульсы р-, ( =1, 2,. .., М) механич. системы с N степенями свободы. Т. о., Ф. п. имеет размерность 2N. Состояние системы изображается в Ф.п. точкой с координатами 51, р , i(fi, рц, а изменение состояния системы во времени—движением точки вдоль линии, называемой фазовой траекторией. Точки, соответствующие определ. значению энергии системы, образуют в Ф. п. (2JV- 1)-мерную поверхность, делящую пространство на две части — более высоких и более низких значений энергии. Поверхности разл. значений энергии не пересекаются. Траектории замкнуюй системы (с пост, значением лежат на этих поверхностях. В принципе траектория может быть рассчитана на основе законов механики, такой расчёт можно осуществить практически, если число частиц системы не слишком велико. Для статистич. описания состояния системы из мн. частиц вводится понятие фазового объёма (элемента объёма Ф. п.) и функции распределении системы — вероятности пребывания точки, изображающей состояние системы, в любом элементе фазового объёма. Понятие Ф.п.— основное для классич. статистич. физики (механики), изучающей ф-ции распределения системы из мн. частиц. Д. Н. Зубарев. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в теории динамических систем—абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамич. системой, точки в к-ром однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы. Предполагается, что это пространство снабжено естеств. определением меры (расстояний, площадей и т. д.). [c.267]

Фазовые диаграммы автономных систем. Состояние автономной системы, определяемое обобщенными координатами и обобщенными скоростями (/ = 1,2,. ..,п п — число степеней свободы), можно представить изображающей точкой G в 2я-мер-ном фазовом пространстве. Состояние автономной системы с одной степенью свободы (п = 1) может быть представлено изображающей точкой G в системе координат q, q (на фазовой плоскости). При этом процесс движения механической системы отображается движением изображающей точки на фазовой плоскости траекторию изображающей точки называют фазовой траекторией, а совокупность фазовых траекторий, соответствующих всевозможным начальным условиям, — мзовой диаграммой (рис. 3, а). Если [c.23]

Фазовое пространство Ф системы плоскостями i J = г ) разбивается на три подпространства ( < —Ч о) к Фз (11 разбиение которых на траектории симметрично относительно начала координат. Отрезок w = 2 = О, if s ь г )о является отрезком состояния равновесия. На каждой плоскости ф = if,, существует пластинка скользящих движений, определяемая соотношениями I if = = Ф(1, О < L (и, г) sign 1)1 В. Изображающая точка, двигаясь в плоскости if = фо, может попасть либо на ребро Г (L (и, z) = S, и > Л + В), с которого уходит в подпространство либо на ребро Г (L (и, z) = О, и 0), с которого уходит в подпространство Фз- [c.184]

Если мы будем следить за изображающей точкой в фазовом пространстве и отмечать ее положения на фазовой траектории через малые промежутки времени, то совокупность этих мгновенных положений изображающей точки за достаточно больщое время заполнит Г-пространство с плотностью, пропорциональной p(p,q). Прием, предложенный Гиббсом, заключается в том, что, вместо того чтобы следить за движением одной изображающей точки с течением времени, мы представляем себе множество изображающих точек, распределенных в Г-пространстве с плотностью p(p,q). Это значит, что мы должны представить себе множество экземпляров одной и той же физической системы, отличающихся только значениями qi и pi в некоторый момент времени, который можно выбрать за начало отсчета t = 0. [c.301]

Как было только что установлено, выбранный пример может служить иллюстрацией особого случая наложения двух тензоров деформации в пространстве, которое подчиняется правилам геометрического сложения двух векторов в плоскости. Координаты точки Q являются полными (результирующими) деформациями г, координаты точки О —пластическими деформациями г", у"), а их разности представляют собой упругие деформации (в, т ). Когда перемещается по заданной траектории в плоскости е, у, точка О воспроизводит ее движение подобно тому, как это встречается в некоторых задачах элементарной дифференциальной геометрпи, относящихся к кривым погонп. Представим себе, что булавка, изображающая для наглядности точку Q, вставлена в проделанный в твердой (покрывающей плоскость) пластинке прорез в виде дуги эллипса QQ, и перемещается по предписанной ей траектории. Прп таком движении булавка будет смещать п пластинку. Еслп прп этом пластинка лишена возможности вращаться, то центр эллипса опишет геометрическое место точек О. Эта линия проходит от траектории Q на расстоянии, равном [c.490]

Ферми. При равновесном статистич. распределении электронов по разным квантовым состояниям они занимают все возможные состояния, соответствующие энергиям от минимальной (близкой к нулю) до максимальной, наз. энергией Ферми. Каждое состояние электрона изображается точкой в пространстве импульсов (т. е. в пространстве, где координатами служат компоненты импульса). Геометрич. место точек, отвечающих энергии Ферми, есть поверхность Ферми для щелочных М. она почти сферична, для поливалентных М.— имеет сложную форму, обычно состоит из нескольких частей и может быть многосвязной, сохраняя, однако, симметрию кристаллич. решётки М. Электроны проводимости, изображаемые точками, лежащими на новерхиости Ферми, изменяют свой импульс под действием внешних полей — электрического и магнитного прп этом точка, изображающая электрон, перемещается по поверхности Ферми. Движение электронов под действием магнитного поля представляется движением изображающих их точек по линиям пересечения поверхности Ферми плоскостями, перпендикулярными вектору напряжённости поля. Т. к. траектории электронов в пространстве координат подобны орбитам изображающих их точек в пространстве импульсов, движение электронов оказывается периодическим во времени и в пространстве. Частота периодич. движения электронов в магнитном ноле наз. циклотронной частотой и равняется соц= eHJт с т. о., озц определяется напряжённостью Ну магнитного поля и эффективной массой 3 электрона проводимости, к-рая может отличаться от массы свободного электрона в вакууме в несколько раз (иногда даже на два порядка). Поперечник траектории электрона — 2сру еН2, определяется импульсом электрона ру. Периодич. движение электронов в М. реализуется при большой длине (и времени) свободного пробега электронов, т. е. в чистых монокристаллах при низких темп-рах. Если в М., помещённом в магнитное поле, распространя-егся УЗ-вая волна, совпадение или кратность её временного и нространст венного периода с соответствующими периодами для траекторий электро- [c.212]

Задача 3. Доказать теорему Пуанкаре о возврате (Н. Poin are, 1890) если движение точки X, изображающей состояние консервативной (гамильтониан Я не зависит от времени) системы в фазовом пространстве, финитно (т. е. ограничено некоторой областью 9J, имеющей конечный объем К), то для любой конечной (не нулевой меры) области 9J, включающей начальную точку хо этой траектории, существует такое время Т, за которое фазовая точка х возвращается в эту область. [c.361]

Изменение напряженного состояния молено интерпретировать как движение изображающей точки по некоторой траектории в пространстве напряжений. Переход из одного напряженного состояния в другое (близкое) характеризуется вектором догрузки й<з, начало которого находится в точке Л, изображающей предшествующее напряжение, а конец — в точке А, изобрал<ающей последующее напряженное состояние (рис, 4, а). Пусть изображающая точка А находится на поверхности нагружения, тогда можно различать два варианта движения из данной точки в последующую в зависимости от направления вектора догрузки, [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...