Траектория изображающей точки

Интегралы (140.7) не содержат в явном виде времени t и называются геометрическими. Эти уравнения в многомерном пространстве обобщенных координат определяет кривую — траекторию изображающей точки. [c.385]

Траекториями изображающей точки на фазовой прямой (оси х) могут быть точки (состояния равновесия), отрезки прямой (между состояниями равновесия), полупрямая (от состояния равновесия до бесконечности) и, наконец, вся прямая, когда / (. ) - О не имеет действительных корней. Отметим, что изображающая точка не может достигнуть состояния равновесия за конечный промежуток времени. [c.215]

Вновь изобразим движение материальной системы как движение материальной изображающей точки в многомерном пространстве конфигураций. Траектория изображающей точки, соответствующая действительному движению системы, называется основной. Траектории изображающей точки, образованные из основной в результате варьирования радиусов-векторов точек материальной системы, называются траекториями сравнения. [c.185]

Исключая из соотношений (а) и (Ь) время /, найдем уравнение траектории изображающей точки на фазовой плоскости [c.278]

Следовательно, траекторией изображающей точки на плоскости q, q) является эллипс (рис. 38). [c.278]

Предположим, что механическая энергия поступает непрерывно во времени из источника энергии и также непрерывно во времени возрастают сопротивления движению и увеличивается рассеяние энергии. В этом случае процессу самовозбуждения соответствуют спиралеобразные траектории изображающей точки на фазовой плоскости, асимптотически при /->-оо приближающиеся к некоторой замкнутой кривой, которая называется предельным циклом. Приближение к предельному циклу может происходить как из внутренних к нему точек, так и из внешних. Предельный [c.279]

Если начальные условия соответствуют точке Л о, лежащей в области, ограниченной кривой = Но, самовозбуждение не возникает. Возникают затухающие колебания, которым соответствуют спиралеобразные траектории изображающей точки, асимптотически приближающиеся к началу координат (рис. 39). [c.279]

Замкнутым траекториям изображающей точки соответствуют колебания со стационарной амплитудой. Наличие предельного цикла — характерная чер-та автоколебаний. Стационарный режим, соответствующий кривой Е = ка, в некоторых случаях может отсутствовать ) [c.280]

Из определения интегральных инвариантов видно, что такими преобразованиями являются преобразования, переводящие некоторую траекторию изображающей точки в смежную траекторию. Этим преобразованиям соответствует изменение начальных условий для движения изображающей- точки. Заметив это, можно прийти к двум различным способам определения положения изображающих точек в их многообразии. Первый из них основывается на выборе начальных значений х координат в многообразии изображающих точек как независимых переменных. Величины x аналогичны известным из гидродинамики лагранжевым переменным. Можно также пользоваться функциями хц входящими в уравнения (11.379), как координатами изображающих точек. Величины Хц очевидно, аналогичны эйлеровым переменным М. [c.386]

То обстоятельство, что Уп оказалось отрицательным (напоминаем, что Ф положительно), указывает, что траектории изображающей точки пересекают окружности Е = h (они касаются этих окружностей при у = О, т. е. на оси х) извне внутрь, переходя от окружностей, которым соответствуют большие значения Л, к окружностям, для которых h меньше поэтому при t- oo мы должны иметь - 0 ). Но величина [c.511]

Доказательство теоремы можно проиллюстрировать чисто геометрическими соображениями. Из условия V О следует, что траектория изображающей точки М войдет внутрь поверхности V = г, или будет лежать на этой поверхности (см. окончание 2.1, рис. 2.4 и 2.5). В дальнейшем траектория изображающей точки М не сможет [c.38]

Рис. 6.8. Траектория изображающей точки при поиске прототипа (в качестве начальной точки выбраны данные аналога № 2 из табл. 6.1)

Рис. 9. Траектория изображающей точки в пространстве конфигураций.

Если рассматриваемая система состоит всего из одной точки, положение которой определяется координатами qi, то уравнения (7.46) будут определять ее траекторию в собственном смысле этого слова (а не траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций). Координаты qi могут быть при этом и не декартовыми, а движение точки может быть ограничено связями, заставляющими ее двигаться не в трех измерениях, а.в двух, т. е. по некоторой поверхности. Тогда ее положение на этой поверхности будет определяться координатами qi и 2, а dp будет, очевидно, пропорционально элементу длины ее траектории. Уравнения (7.46) будут тогда определять траекторию этой точки на поверхности, по которой она движется. В том частном случае, когда на точку не действуют никакие активные силы, ее траекторией будет одна из геодезических линий этой поверхности (как и в случае траектории в пространстве конфигураций). Если такой поверхностью будет, например, сфера, то точка будет двигаться по большому кругу, так как он является геодезической линией сферы. [c.260]

Рис. 63. Траектория изображающей точки в фазовом пространстве в случае периодического движения системы с одной степенью свободы.

При этих условиях маятник будет колебаться в пределах между — 6 и т. е. будет совершать периодическое движение типа либрации. Траектория изображающей точки будет при этом подобна кривой 1 на рис. 64. [c.318]

Рис. 64. Траектория изображающей точки в случае простого маятника.

Для наших непосредственных целей в этом нет необходимости, но в других случаях такой прием оказывается очень удобным. Уравнение энергии представляет собой уравнение траектории изображающей точки в плоскости хи [c.18]

Траектория изображающей точки в плоскости хи представляет собой эллипс [c.21]

Рассмотрим траекторию изображающей точки в пространстве q и выразим принцип Гамильтона вместо переменных х в переменных д. Строим варьированный путь, выбирая в каждый момент времени виртуальное перемещение bq и получая точку на варьированной траектории, соответствующую этому моменту времени. Это виртуальное перемещение произвольно, за исключением того условия, что каждая вариация б г представляется функцией времени класса Сг, обращающейся в нуль в моменты to и ty. Поскольку вариация синхронна, [c.90]

Через у здесь обозначена положительная функция от ж, график которой представляет часть кривой Г в верхней полуплоскости. Но X > О, так что спустя конечное число колебаний (между двумя последовательными минимальными значениями х) энергия будет меньше С, каково бы ни было ее начальное значение. Таким образом, предположение, что С > О приводит к противоречию, откуда следует, что С = 0. Траектория изображающей точки в плоскости ху имеет форму спирали, приближающейся к точке О (спираль имеет вид, показанный на рис. 73) двигаясь вдоль оси ж, частица стремится к положению равновесия О- Все эти результаты интуитивно понятны. [c.363]

Траектории изображающей точки, т. е. проекции характеристик на х-пространство, представляют дуги силовых линий поля. Эти кривые [c.401]

Кривые, определяемые этим уравнением, представлены на диаграмме как траектории изображающей точки. Они показаны на рис. 104 и рис. 105 первый из них относится к случаю, когда имеется один вещественный корень, а второй — к случаю, когда имеются три вещественных корня. Скорость движения изображающей точки по траектории определяется уравнениями (23.10.17) и [c.485]

Таким образом, на плоскости иу фазовыми траекториями служит семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат. На плоскости ху фазовые траектории также представляют собою спирали, скручивающиеся к началу кЬординат (рис. 2.18). Двигаясь по любой из этих фазовых траекторий, изображающая точка асимптотически (при t-> +00) приближается к началу координат, где находится особая точка — устойчивий фокус. Точка X = О, у = Q представляет собою отдельную фазовую траекторию, соответствующую асимптотически устойчивому состоянию равновесия осциллятора. [c.39]

Пусть лагранжиан Ь голономноИ системы не зависит явно от времени (силы потенциальны или обобщенно потенциальны). Тогда действительная траектория изображающей точки конфигурационного пространства служит экстремалью функционала [c.616]

Дифференцируя уравнения связей (II. 132Ь) по дуге траектории изображающей точки в пространстве конфигураций, найдем [c.192]

Рассмотрим наряду с движениями по основной траектории и траектории сравнения движение изображающей точки по траектории, соответствующей движению некоторой системы, освобожденной от связей. Предположим, что на эту свободную систему действуют активные силы, равные активным сила.м, приложенным к точкам несвободной системы, движение которой изучается. Пусть число степеней свободы этой вспомогательной системы равно чиелу етепеней свободы несвободной системы. Предположим, что элементы траекторий изображающей точки для вспомогательной свободной системы, несвободной системы и траектории сравнения совпадают в некоторой точке с точ- [c.192]

Как видно из равенства (II. 151), действие по Якоби зависит лишь от формы и положения действительной траектории изображающей точки в пространстве конфигураций. Кривая, на которой удовлетворяется условие (II. 149), называется экстремалью. Следовательно, действительная траектория — экстремаль. Через фиксированную точку Л пространства конфигураций, можно провести бесконечное множество экстремалей, соответствующих различным начальным условиям. Проведем через точку 44] действительную траекторию и экстремаль, образующую с действительной траекторией малый угол и пересекающую действительную траекторию в точке М%. Предположим, что при уменьшении угла между вспомогательной экстремалью и действительной траекторией точка Мг приближается к предельному положению Мг. Точка Ма называется точкой, сопряженной с М, пли ее кинетическим фокусом. Если точка М2 лежит между точками и Мэ, то якобие-во или лагранжево действия имеют минимум для действительного движения системы. [c.205]

Следует отметить, что в соотношения (II. 377а) и (П.377Ь) время 1 не входит. Эти соотношения определяют траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций. Последнее соотношение определяет закон движения изображающей точки по ее траектории. [c.375]

И данном положении V > 0. (1>упкция V возрастает, траектория изображающей точки пересекает поверхность V = с изнутри наружу (угол между векторами U и grad V острый) (рис. 2.4, б). [c.37]

Рассмотрим теперь движение системы по инерции (11 = 0). Тогда все возможные при таком движении траектории изображающей точки носят название геодезических линий [По отношенйю к метрике (2)]. Из интеграла энергии [c.134]

Следует подчеркнуть, что в принципе наименьшего действия в форме Якоби рассматривается траектория изображающей точки, а не закон ее движения по этой траектории. Это видно из того, что уравнение (7.44) содержит элемент траектории dp и не содержит времени /, так как Н = onst, а V зависит только от Qi. Поэтому из принципа наименьшего действия в форме Якоби можно получить дифференциальные уравнения траектории изображающей точки. Это лучше всего сделать посредством введения какого-либо параметра, например расстояния вдоль траектории. Тогда уравнение (7.44) можно будет записать в виде [c.259]

Легко видеть, что это уравнение дает проекцию траектории изображающей точки на плоскость quPi). Отсюда следует, что рассматриваемое движение будет периодическим только тогда, [c.318]

Траекторией изображающей точки в плоскости ху является окружность, проходимая по ходу часовой стрелки с постоянной угловой скоростью п. В результате мы приходим к формуле (1.2.16). Можно было бы с самого начала заменить независимую переменную t переменной т = nt, после чего исходное дифференциальное уравнение (1.2.14) ири-нимает вид [c.21]

Если известны три интеграла уравнений (22.18.3), то можно определить траектории изображающей точки в фазовом пространстве. Один такой инте- грал нам известен это — интеграл Якоби Н = h. Допустим, что мы знаем еще один пространственный интеграл F а, где [c.453]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...