Фазовые траектории гармонического осциллятора

Фазовые траектории гармонического осциллятора. Движение системы п точек в реальном трехмерном пространстве можно рассматривать как движение одной изображающей точки в пространстве, образованном обобщенными координатами qu- (Пространство конфигураций описано в 19.) [c.216]

Рис. 2.14. Фазовая плоскость гармонического осциллятора — семейство вложенных друг в друга эллипсов. Фазовая точка движется по фазовой траектории в направлении, указанном стрелкой. Выбор направления определяется тем, что положительная скорость (4 = У > 0) соответствует увеличению д с течением времени, а отрицательная (д = у <, 0) — уменьшению д

Гармонический осциллятор, рассмотренный выше, представляет собою пример автономной консервативной системы второго порядка. Как мы видели, такая система обладает интегралом движения (обычно интегралом сохранения энергии). Фиксируя значение произвольной постоянной в интеграле движения, мы получаем динамическую систему с одномерным фазовым пространством, которое может представлять замкнутую или незамкнутую кривую, состоящую из одной или нескольких фазовых траекторий. Придавая произвольной постоянной различные значения, получим множество одномерных фазовых пространств, которые в совокупности образуют фазовое пространство консервативной системы второго порядка. В конечном итоге двумерное фазовое пространство этой системы оказывается разбитым на фазовые траектории. Замкнутая фазовая траектория соответствует, как известно, периодическому движению в системе. [c.29]

В случае а фазовый элемент движется без искажений его формы, возвращаясь к своему первоначальному положению каждые Т секунд. Это напоминает периодическое движение твердого тела. В течение своего движения капелька фазовой жидкости заметает конечную долю доступного фазового пространства. Такая ситуация вполне может иметь место для реальной механической системы. Рассмотрим, например, систему гармонических осцилляторов с соизмеримыми частотами траектории представляющих их фазовых точек образуют замкнутые кривые на торе (см. разд. П.2). Если ограничиться рассмотрением пути на поверхности одного из таких торов, то движение будет как раз соответствовать фиг. П.6.1, а. Иной тип движения изображен на фиг. П.6.1, б. Здесь форма элемента объема лишь слабо меняется в течение движения. Однако данный элемент объема никогда не возвращается в свое начальное положение. Если за ним проследить достаточно долго, то этот элемент заметает большую часть фазового пространства, возможно даже — все фазовое пространство. Более того, если время ожидания стремится к бесконечности, то элемент пересечет каждый участок фазового пространства бесконечное число раз. Такой поток называется эргодическим. [c.378]

В механической модели, представленной на рис. 1.1, это соответствует учету нелинейной зависимости силы упругости пружины от ее растяжения, а в электрической модели — учету зависимости емкости конденсатора от его заряда. При таком обобщении гармонического осциллятора сохраняется замкнутость фазовых траекторий, отражающая существование интеграла энергии [c.10]

В заключение заметим, что из всех линейных осцилляторов только для гармонического осциллятора (система без затухания) фазовые траектории получаются замкнутыми, т.е. только для него характерны периодические процессы. В линейных осцилляторах с затуханием периодические процессы невозможны. [c.86]

Зная решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора, нетрудно найти уравнение траектории на фазовой плоскости. Если [c.542]

Рис. 8.1. Траектория, соответствующая ш-му состоянию данной энергии гармонического осциллятора, в подходящим образом выбранном масштабе пред-ставляется в фазовом пространстве окружностью с радиусом 1/2).

Скорость движения изображающей точки вдоль фазовой траектории (диаграммная скорость) для гармонического осциллятора не зависит от траектории, по которой движется изображающая точка, период обращения всегда равен Т = 27г/о о- Рассмотрим ансамбль одинаковых осцилляторов с разными начальными энергиями и одинаковыми начальными фазами (на фазовой плоскости начальные состояния будут изображаться точками на прямой, проходящей через начало координат). Через произвольное время фазы всех осцилляторов по-прежнему будут одинаковы, т. е. движение линейного осциллятора является изохронным. [c.23]

Отчетливо видны два типа фазовых траекторий, соответствующие двум типам движения. Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа центр с координатами ОС = О, а = 2%п (п — целое число), соответствуют колебаниям маятника относительно устойчивого нижнего положения равновесия. Такие колебания имеют место, если энергия системы < т (Од = 2mg (см. рис. 1.13). При этом, если Е 2mg , то колебания будут гармоническими, а фазовые траектории - эллипсами. Если Е 2mg , то колебания будут негармоническими. При увеличении энергии, а, значит, и амплитуды колебаний осциллятора, их период будет возрастать, поскольку возвращающая сила в уравнении (1.28) меньше, чем в случае гармонического осциллятора. [c.17]

Фазовая плоскость. Положим х=у и будем изучать движение гармонического осциллятора, изображая это движение на плоскости X, у, где X и у — прямоугольные декартовы координаты. Каждому состоянию нашей системы, каждой паре значений координаты х и скорости у соответствует точка на плоскости х, у. Обратно, каждой точке на плоскости х, у соответствует одно и только одно состояние системы. Плоскость х, у носит название плоскости состояний или, иначе, фазовой плоскости-, она изображает совокупность всех возможных состояний нашей системы. Каждому новому состоянию системы соответствуют все новые и новые точки фазовой плоскости. Таким образом, изменению состояний системы можно соподчинить движение некоторой точки на фазовой плоскости, которая носит название изображающей или представляющей точки. Траектория такой изображающей точки называется фазовой траекторией-, ее не следует смешивать с действительной траекторией движения. Скорость такой изображающей точки называется фазовой скоростью-, опять-таки ее не следует смешивать с действительной скоростью. Целой фазовой траекторией мы будем называть ту крив)гю, которую описывает изображающая точка за все время своего движения (от i = —оо до i = -4 00 ) ). [c.38]

Рис. 214. Траектория фазовой точки для гармонического осциллятора

Дифференциальные уравнения решаются аналитически в явном виде редко. Использование ЭВМ дает приближенное решение дифференциального уравнения на конечном временном отрезке, что не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. Поэтому важную роль приобретают методы качественного исследования дифференциальных яений. Используем введенное выше понятие фазового пространства для представления в нем совокупности движений гармонического и линейного осцилляторов. [c.83]

Такое поведение характерно не только для энергетических собственных состояний гармонического осциллятора. На рис. 3.2 показана функция Вигнера собственного энергетического состояния осциллятора Морса. Мы снова видим, что в области фазового пространства, заключённой внутри классической траектории, возникают бросающи- [c.103]

Как можно описать движение нерелятивистской частицы в связывающем потенциале Можно выбрать за основу классическую механику и порассуждать о траекториях в фазовом пространстве. Это один подход. Противоположный, квантово-механический подход заключается в том, чтобы найти собственные функции данной энергии этого осциллятора. К сожалению, аналитическое рассмотрение соответствующего уравнения Шрёдингера ограничено очень небольшим набором потенциалов специального вида, таких как потенциал гармонического осциллятора, потенциал Морса и ещё нескольких. В большинстве же случаев мы вынуждены обращаться к численным решениям. Однако как аналитические, так и численные решения часто скрывают поразительные и замечательные свойства рассматриваемого круга задач. Эти скрытые свойства выходят на свет только в полуклассическом пределе квантовой механики, который рассматривается в этом разделе. [c.181]

Это соотношение является уравнением траекторий на фазовой плоскости. Если энергия колебаний очень мала 2кх 1), то фазовая траектория близка по форме к эллипсу т дкх + х /2) = С. Следовательно период малых колебаний совпадает с периодом колебаний на эллипсе. Если же амплитуда колебаний велика, то фазовая траектория лежит внутри эллипса, соответствуюгцего колебанию гармонического осциллятора с той же энергией, и касается его в точках пересечения с осями координат (см. рис. 2.2). При любом значении координаты ж, кроме точек максимального отклонения и нуля, скорость бусинки меньше, чем [c.51]

Гармоническое приближение имеет большой плюс поскольку частота Оп осциллятора не зависит от амплитуды колебаний, все части заспределения движутся в фазовом пространстве с одинаковой угловой скоростью, так что функция Вигнера Wn(x,p t) в момент времени t может быть получена из начальной функции Вигнера W (ж,p t = 0) поворотом в фазовом пространстве вокруг точки х = Xf ,p = 0). Таким образом, мы можем найти распределение W (ж,p t) в момент времени t с помощью начального распределения п хо,ро-,Ь = 0) при условии, что каждая частица первоначального ансамбля движется в фазовом пространстве из точки (жо,ро) в точку х,р) вдоль классической траектории, которая определяется уравнениями [c.646]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...